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3-2 对数运算和对数函数


好学者智,善思者康

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第 5 讲 对数运算和对数函数

知识框架

高考要求
要求层次 对数的概念及其运算性质 对数运算 和对数函 数 换底公式 对数函数的概念 对数函数的图象和性质 指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数( a

? 0 且 a ? 1 )
B A B C B

重难点 理解对数的概念 掌握当底数 a ? 1 与 0 ? a ? 1 时,对数 函数的不同性质 掌握对数函数的概念、图象和性质; 能利用对数函数的性质解题

例题精讲
<教师备案>本讲的内容为对数和对数函数,关于对数的历史,在后面的小故事中有所体现,还有一部 分可称为前转: “给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙” ,这是 16 世纪意大利著 名学者伽利略的一段话.从这段话可以看出,伽利略把对数与宝贵的空间和时间相提并论. 对数的发展绝非一人之功.首先要提到的是 16 世纪瑞士钟表匠标尔基,当他结识了天 文学家开普勒,看到开普勒每天与天文数字打交道,数字之大、计算量之繁重,真的难以 想象,于是便产生了简化计算的想法.从 1603 ? 1611 年,标尔基用了八年的时间,一个数一 个数的算,造出了一个对数表,这个对数表帮了开普勒的大忙.开普勒认识到了对数表的 使用价值,劝标尔基赶快把对数表出版,标尔基认为这个对数表还过于粗糙,一直没下决 心出版.正在标尔基犹豫不决的时候, 1614 年 6 月在爱丁堡出版了苏格兰纳皮尔男爵所造 的题为《奇妙的对数表的说明》一书,这个对数表的出版震动了整个数学界.“对数”一词
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是纳皮尔首先创造的,意思是“比数”.他最早用“人造的数”来表示对数. 俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者,传说有一次他在解答一道数学题时,冥 思苦想没法解决,睡觉时做了一个梦,梦中一位老人揭示他解答的方法,醒后他真的把 此题解出来了,莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来,大家一看竟是数学家纳皮尔,这个 传说告诉我们:纳皮尔在人们心目中的地位是多么的高. 板块一:对数的定义和相关概念

(一)知识内容
<教师备案>在指数函数 y ? a x 中,对于每个 y ? R ? ,存在唯一的 x 与之对应,幂指数 x 叫做以 a 为底的
y 的对数,这样从 y 到 x 的对应是指数运算的一个相反运算,让同学思考由函数的定义,

判断这是否可以定义一种新的函数?这种运算和对应的函数有什么样的性质呢? 1.对数: 一般地, 如果 a x ? y (a ? 0 , a ? 1) , 且 那么数 x 叫做以 a 为底 y 的对数, 记作 x ? log a y , 其中 a 叫做对数的底数, y 叫做真数. 关系式 指数式 对数式
ax ? y
log a y ? x

a

x

y

底数 (a ? 0, a ? 1) 底数 (a ? 0, a ? 1)

指数 ( x ? R) 对数 ( x ? R)

幂(值) ( y ? R ? ) 真数 ( y ? R ? )

对数恒等式及对数的性质,对数 log a N (a ? 0, a ? 1) 满足: ⑴零和负数没有对数; ⑵ 1 的对数是零,即 log a 1 ? 0 ; ⑶底的对数等于 1 ,即 log a a ? 1 . 2.常用对数:通常将以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 log10 N 记为 lg N . 3.自然对数:在科学技术中常使用以无理数 e ? 2.71828? 为底的对数,以 e 为底的对数称为自 然对数,并且把 loge N 记为 ln N . 4.对数与指数间的关系:当 a ? 0, a ? 1 时, a x ? N ? x ? log a N . 5.指数和对数的互化:

ab ? N ? log a N ? b . a loga N ? N , log a a N ? N

(二)主要方法:
1.重视对数的概念,应用基础概念解决具体问题 2.熟练运用指数和对数的互化

(三)典例分析:
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【例1】 ⑴将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:

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① 54 ? 625 ;② 2?6 ?

1 ?1? ;③ ? ? ? 5.73 ;④ log 1 16 ? ?4 ; 64 ? 3? 2

m

⑤ lg0.01 ? ?2 ;⑥ ln10 ? 2.303 . ⑵求下列各式中 x 的值: 2 ① log 64 x ? ? ;② log x 8 ? 6 ;③ lg100 ? x ;④ ? ln e2 ? x . 3

【例2】 将下列对数式写成指数式:

(1) log 1 16 ? ?4 ; (2) log 2 128=7;
2

(3)lg0.01=-2; (4)ln10=2.303

【例3】 ⑴ log 9 27 ,⑵ log 4 3 81 ,⑶ log ?2? 3 ? 2 ? 3 ,⑷ log 3 4 625 5

?

?

板块二:对数的运算性质和法则

(一)知识内容
1.对数的运算性质: 如果 a ? 0 ,且 a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么:
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⑴ loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ; (积的对数等于对数的和) 推广 loga ( N1 ? N2 ...Nk ) ? loga N1 ? log a N2 ? ... ? log a Nk ⑵ log a
M (商的对数等于对数的差) ? log a M ? log a N ; N

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⑶ log a M ? ? ? log a M (? ? R) ⑷ log a
n

N ?

1 log a N n

(正数幂的对数,等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数) <教师备案>以性质⑴为例进行证明如下: 已知 loga M , loga N ( M 、 N ? 0 ) ,求 loga (MN ) 设 loga M ? p , loga N ? q ,根据对数的定义,可得 M ? a p , N ? aq 由 MN ? a p ? a q ? a p ? q ∴ loga (MN ) ? p ? q ? log a M ? log a N 2.换底公式: logb N ?
log a N ( a, b ? 0, a, b ? 1, N ? 0 ) log a b

<教师备案>证明: 法一: 根据指数的运算性质推导 设 logb N ? x ,则 b x ? N . 两边取以 a 为底的对数,得 x loga b ? log a N , 所以 x ?
log a N log a N ,即 logb N ? . log a b log a b

法二: 根据对数恒等式及对数的运算性质推导 由对数恒等式得: logb N ? log a b ? log a (blog N ) ? log a N ,
b

所以有 logb N ?

log a N . log a b

换底公式的意义:把以一个数为底的对数换成以另一个大于 0 且不等于 1 的数为底的对数, 以达到计算、化简或证明的目的. <教师备案>常见错误: loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ; loga (MN ) ? loga M ? loga N ;
log a M log a M . ? N log a N

3.关于对数的恒等式 ① a loga N ? N ② log a a n ? n ③ log a b ?

1 log b a

n ④ log a M ? log an M



log a M log b M ? log a N log b N
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(二)主要方法
1.解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域; 2.解决对数不等式、对数方程时,要重视考虑对数的真数、底数的范围; 3.对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性.

(三)典例分析
【例4】 求下列各值:
1 log ⑴ log 2 36 ? log 2 3 ;⑵ log3 3 ;⑶ lg1 ;⑷ 3log 5 ;⑸ 9log 5 ;⑹ 3 2
3 3
3

3



⑺ log

3

3

3 ;⑻ (lg 5)2 ? lg 2 ? lg 25 ? (lg 2)2 ;⑼ log8 9 ? log27 32 .

【例5】 求值:

⑴ 2lg3 ? lg 7 ? lg

log5 25 7 ? lg ;⑵ log 5 5 3 5 ;⑶ 5 9 4

3

;⑷ log3 4 ? log25 9 ? log16 5 .

【例6】 若 a 、 b ? 0 ,且 a 、 b ? 1 , loga b ? logb a ,则

A. a ? b

B. a ?

1 b

C. a ? b 或 a ?

1 b

D. a 、 b 为一切非 1 的正数

【例7】 ⑴ log8 3 ? p , log3 5 ? q ,那么 lg5 等于______(用 p , q 表示) ;

⑵知 log18 9 ? a , 18b ? 5 ,用 a, b 表示 log36 45 .

【点评】⑴换底公式的一个重要应用: logm n ? logn m ? 1 ⑵ log18 2 ? log18
18 ,将未知转化为已知,是对数函数运算性质的重要应用. 9
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【例8】 已知 log 2 3 ? a , 3b ? 7 ,求 log12 56

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【例9】 已知 lg5 ? m , lg3 ? n ,用 m, n 表示 log30 8 .

【例10】 已知 ab ? m(a ? 0, b ? 0, m ? 1) 且 logm b ? x ,则 log m a 等于

A. 1 ? x

B. 1 ? x

C.

1 x

D. x ? 1

【例11】 已知 f ( x) ? a

x?

1 2

,且 f (lg a) ? 10 ,求 a 的值.

【例12】 下列各式中,正确的是

A. lg x 2 ? 2lg x

1 B. loga x ? loga n x n

C.

log a x x ? log a log a y y

1 D. loga x ? loga x 2

【例13】 已知 log ( x ? 3) ( x 2 ? 3x) ? 1 ,求实数 x 的值.

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【例14】 设 a 为实常数,解关于 x 的方程 lg( x ? 1) ? lg(3 ? x) ? lg(a ? x) .

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板块三:对数函数 1.对数函数:我们把函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1 )叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是
(0, ??) ,值域为实数集 R .

2.对数函数的图象和性质: 一般地,对数函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1)的图象和性质如下表所示:
0 ? a ?1
y

a ?1
y
y=loga x(a>1)

图象

O

1 y=loga x(0<a<1)

x

O

1

x

定义域 值域 性质

(0, ??)

R

⑴过定点 (1, 0) ,即 x ? 1 时, y ? 0 ⑵在 (0, ??) 上是减函数; (2)在 (0, ??) 上是增函数.

<教师备案>因为对数函数与指数函数密切相关,所以在学习对数函数的概念、图象与性质时,要处处 与指数函数相对照.如:指数函数的值域 (0, ??) ,变成了对数函数的定义域;而指数函数的 定义域为实数集 R ,则变成了对数函数的值域;同底的指数函数与对数函数的图象关于直 线 y ? x 对称等.
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【例15】 求下列函数的定义域:

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⑴ y ? log a x2 ;⑵ loga (4 ? x) ;⑶ y ? log 1 ( x ? 1) .
2

【例16】 求下列函数的定义域: 1 ⑴y? ; log3 (3x ? 2)

⑵ y ? log x ?1 (3 ? x) .

【例17】 已知 f ( x) ? log a (a x ? 1) (a ? 0, 且 a ? 1) ,

⑴求 f ( x) 的定义域; ⑵讨论函数 f ( x) 的单调性;

【例18】 求函数 f ( x) ? log 2

x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) 的定义域和值域. x ?1

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【例19】 函数 y ? lg(20 x ? x ) 的值域是
2

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A.y>0

B.y∈R
2

C.y>0 且 y≠1

D.y≤2

【例20】 已知函数 f ( x) ? lg[mx ? 2(m ? 1) x ? 9m ? 4] ,

⑴若此函数的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围; ⑵若此函数的值域为 R ,求实数 m 的取值范围.

【点评】本题涉及到解一元二次不等式的解法,可根据学生情况进行讲解.
【例21】 已知函数 f ( x) ? log 3

mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 R,值域为 [0 , 2] ,求 m,n 的值. x2 ?1

【例22】 下面结论中,不正确的是

A.若 a>1,则 y ? a x 与 y ? log a x 在定义域内均为增函数 B.函数 y ? 3 x 与 y ? log 3 x 图象关于直线 y ? x 对称 C. y ? log a x 2 与 y ? 2 log a x 表示同一函数 D.若 0 ? a ? 1,0 ? m ? n ? 1 ,则一定有 log a m ? log a n ? 0
【例23】 已知 f ( x) ? lg(a ? b )( a, b为常数),
x x

①当 a,b>0 且 a≠b 时,求 f(x)的定义域; ②当 a>1>b>0 时,判断 f(x)在定义域上的单调性,并用定义证明

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【例24】 在函数 y ? log a x(0 ? a ? 1 , x ? 1) 的图象上有 A,B,C 三点,它们的横坐标分别是 t,t+2,

t+4, (1)若△ABC 的面积为 S,求 S=f(t) ; (2)判断 S=f(t)的单调性; (3)求 S=f(t)的最大值.

【例25】 已知函数 f ( x) ? log a

x?2 的定义域为 ?? , ? ? , 值域为 ? log a a( ? ? 1), log a a(? ? 1)? , f (x) 且 x?2

在 ?? , ? ? 上为减函数. (1)求证 ? >2; (2)求 a 的取值范围.

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【例26】 对于 f ( x) ? log 1 ( x2 ? 2ax ? 3) ,
2

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⑴函数的“定义域为 R ”和“值域为 R ”是否是一回事; ⑵结合“实数 a 取何值时, f ( x) 在 [?1, ?) 上有意义”与“实数 a 取何值时,函数的定义域为 ?
(?? , ? (3, ?) ”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别. 1) ?

⑶结合⑴⑵两问,说明实数 a 的取何值时 f ( x) 的值域为 (?? , 1] . ?

【例27】 ⑷实数 a 取何值时, f ( x) 在 (??, 内是增函数. 1]

⑸是否存在实数 a ,使得 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ,若存在,求出 a 的值;若不存在, 1] 说明理由.

【点评】该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题.解题过程中遇到了恒成立问题, “恒为正”与“取遍所有大于零的数”不等价,同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况, 解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进行处理.
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【例28】 比较下列各组数的大小:

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⑴ log2 3.4 , log2 8.5 ; ⑵ log 0.3 1.8 , log 0.3 2.7 ; ⑶ loga 5.1 , loga 5.9 (a ? 0, 且 a ? 1) ; ⑷ 0.32 , log2 0.3 , 20.3 .

【点评】利用对数函数的性质比较大小的题,一般都可以通过对数函数的单调性,通过直接比较、中 间值法或者图象法得到相关结论. 如:设 1 ? a ? 10 ,比较 lg a2 , (lg a)2 , lg(lg a) 的大小.
1 ? a ? 10 ? 0 ? lg a ? 1 ,于是 lg(lg a) ? 0 ? (lg a)2 ? lg a 2 .

【例29】 设 f (log 2 x) ? 2 ( x ? 0) ,则 f(3)的值是
x

A.128

B.256

C.512

D.8

【例30】 a、b、c 是图中三个对数函数的底数,它们的大小关系是

A.c>a>b
【例31】 (2005 年天津文)

B.c>b>a

C.a>b>c

D.b>a>c

已知 log 1 b ? log 1 a ? log 1 c ,则()
2 2
c

2

A. 2 ? 2 ? 2
b a

B. 2a ? 2b ? 2c

C. 2c ? 2b ? 2a

D. 2c ? 2a ? 2b

【例32】 如果 log a 2 ? logb 2 ? 0 ,那么 a,b 的关系及范围.

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【例33】 ⑴若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则()

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A. 0 ? a ? b ? 1 B. 0 ? b ? a ? 1 2 ⑵已知 log a ? 1 ,求 a 的取值范围. 3

C. a ? b ? 1

D. b ? a ? 1

【点评】在上面的对数函数图象中,共有四条对数函数 y ? log a x ,底数 a 的大小比较可以通过作一条 直线: y ? 1 ,于四条曲线分别交于点 P , P2 , P3 , P4 ,易知,这四点的横坐标即对应相应的底数 1 的值,故比较这四点的横坐标即可.
【例34】 已知函数 f ( x) ? 1 ? log x 3 , g ( x) ? 2log x 2 ,

⑴试比较函数值 f ( x) 与 g ( x) 的大小; ⑵求方程 | f ( x) ? g ( x) | ? f ( x) ? g ( x) ? 4 的解集.

【例35】 函数 y ? log a x 在 x ?[2, ??) 上恒有 | y |? 1 ,求 a 的范围.

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【例36】 已知 a>0,a≠1, 0 ? x ? 1 ,比较 | log a (1 ? x) | 和 | log a (1 ? x) | 的大小.

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【例37】 若 log 2 a ? 1 ,则 a 的取值范围是
3

A. 0 ? a ?

2 3

B. a ?

2 3

C.

2 ? a ?1 3

D. 0 ? a ?

2 或 a>1 3

【例38】 若关于

lg( x ? a) ? 2 至少有一个实数根,则求 a 的取值范围. lg x ? lg 3

【例39】 设 a , b 为正数,若 lg(ax) lg(bx) ? 1 ? 0 有解,则求

a 的取值范围. b

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【例40】 如果 log
2a ? 1 2

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(a2 ? 1) ≤ log

2a ?

1 2

2a ,求 a 的取值范围.

【例41】 已知 A ? {x | log x (5 x ? 8 x ? 3) ? 2} , B ? {x | x 2 ? 2 x ? 1 ? k 4≥0} ,要使 A B,求实数 k 的取值
2

范围.

【例42】 设正数 a,b,c 满足 a ? b ? c .
2 2 2

b?c a?c ) ? log 2 (1 ? ) ?1; a b b?c 2 (2)又设 log 4 (1 ? ) ? 1 , log8 (a ? b ? c) ? ,求 a,b,c 的值. a 3
(1)求证: log 2 (1 ?

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【例43】 (1)已知 log a x ? log a y ? 2(a ? 0 , a ? 1) ,求

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1 1 ? 的最小值. x y

(2)已知 2 x ? 5 y ? 20 ,求 lg x ? lg y 的最大值. (3)已知 x 2 ? 4 y 2 ? 4 ,求 xy 的最大值.

【例44】 解方程 log 2 (2

x ?1

? 2) ?

2 log 2 (2 x ? 1)

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