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高三数学复习学案:等差数列与等比数列的定义


课 题

等差数列与等比数列的概念

课 型

新 授

高考要求

1、了解数列的概念和几种简单的表示方法 (列表、图像、通项公式 ),了解 数列是一种特殊的函数。了解通项公式的意义,了解递推公式是给出数列 的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。 2、理解等差数列的概念,

掌握等差数列的通项公式。 3、理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式。

教学重难点

等差数列与等比数列的应用

学法指导
1、等差(比)数列与一般递推数列的关联:在等差(比)数列的定义中给出的是递推式,如

an ? an?1 ? d , an ? qan?1 都是一阶线性递推式的特例。
2、函数的思想:数列是特殊的函数,故在分析问题时,注意从函数观点和数形结合去认识等差、 等比数列的通项公式、公差 d、公比 q 的几何意义,要了解等差数列与一次函数的关系,等比数 列与指数函数的关系。把数列中的项在直角坐标系中作出,为一系列孤立点,但分布有规律,等 差数列的项分布在一条直线上,等比数列的项分布在一指数曲线上。

基础过关
1、 根据数列的前几项,写出一个通项公式: 4 1 4 2 ( 1) , , , , … ______________( 2) 1,3,6,10,15, … 5 2 11 7
1 1 5 13 (3) , ,? , , …_________________( 4) 7,77,777, … 2 4 8 16

________________

__________________

2、已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,则 a5 =________ 3、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 ? 3n ,则 ?an ? 的通项公式为______

, a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a 20 等于___________ 4、已知 ?an ?为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105
5、等比数列 ?an ? 中, an ? 0 且 a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 ,则 a3 ? a5 =_______ 6、在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10, a12 ? 31 ,求数列 ?an ? 的通项公式为____________

新课讲解
1、已知数列 ?an ? 满足下列条件,问数列 ?an ? 能否够成等差数列?

1

( 1) an ? kn ? b ( k , b 是常数 ) ( 2) S n 为数列 ?an ?的前 n 项和, S n ? an2 ? bn (a, b是常数)

2、已知 ?an ? , ?bn ?是项数相同的等比数列,求证: ?an ? bn ? 是等比数列

3、 ( 1) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 an ? 2S n ? S n?1 ? 0(n ? 2) , 又 a1 ? 是等差数列; ( 2) 数列 ?an ?的前 n 项和记为 S n , 已知 a1 ? 1, a n ?1 ? 等比数列

?1? 1 ,求证 :? ? 2 ? Sn ?

n?2 ?S ? S n (n ? 1,2,3, …) , 求证: 数列 ? n ? 是 n ?n?

4、已知一个等比数列 ?an ?中, a1 ? a3 ? 10, a 4 ? a 6 ?

5 ,求其通项公式及第 4 项。 4

2

5、设各项均为正数的数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足 5an ,5bn ,5an ?1 成等比数列, lg bn , lg an?1 , lg bn?1 差数列且 a1 ? 1, b1 ? 2, a2 ? 3, ①求证:数列

成等

?b?
n

为等差数列;②求 an 和 bn 。

6、有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两数的和为 21,中间两数的和 为 18,求这四个数。

7、设数列 ?an ?是等差数列, a5 ? 6 , ( 1)当 a3 ? 3 时,请在数列 ?an ? 中找一项 a m ,使 a3 , a5 , am 成等比数列;

( 2 ) 当 a3 ? 2

时 , 若 自 然 数 n1 , n2 , … nt , … 满 足 5 ? n1 ? n2 ? … ? nt ? … , 使 得

a3 , a5 , an1 , an2 , …, ant …成等比数列,求数列 ?nt ? 的通项公式。

3

课后练习
1.设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 ,令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2, ) ,若数列 ?bn ? 有连续四项在集合

??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q =

.

2、三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,也可以成等比数列,已知这三个数 的积等于 8,求此三数 _____________. 3 、 设 ?an ? 为 公 比 q ? 1 的 等比 数列, 若 a2004
a2006 ? a2007 ?

和 a2005

是 方 程 4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0

的 两根 ,则

______

4、在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? 10,且 a3 , a7 , a10 成等比数列,则公差 d=_____,公比 q=______.

本节小结

4


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