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1.2.1充分条件与必要条件(李用)


§1.2 .1充分条件与必要条件

【实例引入】
同学们,当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时

候,你向老师介绍你的妈妈说:“这是我的妈妈”。那
么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说:“这

是我的孩子”呢?
不会了!为什么呢? 因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证 你是她的

孩子。那么,这在数学中是一层什么样的 关系呢?今天我们就来学习这个有意义的课题——

充分条件与必要条件。

一、引入

事例一
? ?

音乐欣赏《我是一只鱼》 提问:鱼非常需要水,没了水,鱼就 无法生存,但只有水,够吗? 探究: p:“有水”;q:“鱼能生存”. 判断“若p,则q‖和“若q,则p‖的真假.

2015-3-19

一、引入

事例二:
有一位母亲要给女儿做一 件衬衫,母亲带女儿去商店买 布,母亲问营业员:“要做一 件衬衫,应该买多少布料?” 营业员回答:“买三米足够 了!”
?

引导分析:

p:有3米布料
2015-3-19

q:做一件衬衫

【问题探究】
例 :判断下列命题的真假。 (1)若x>a2+b2,则x>2ab 。 (2)若ab=0,则a=0。
解(1)因为若x>a2+b2 ,而a2+b2 2ab,所以可以 得到 x>2ab 。 真命题 (2)因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。 假命题 所以并不能得到a一定为0。

符号“ ? ”的含义
如果命题“若p则q”为真,则记作 p ? q(或q ? p)
如果命题“若p则q”为假,则记作

p ?? q(或q ?? p)

【问题探究】
例 :判断下列命题的真假。 (1)若x>a2+b2,则x>2ab 。 (2)若ab=0,则a=0。

解(1)因为若x>a2+b2 ,而a2+b2 2ab,所以可以 得到 x>2ab 。 真命题 (2)因为若ab=0 则应该有a=0 或b=0。 假命题 所以并不能得到a一定为0。 在真命题(1)中,p足以导致q,也就是说条件p充分了。 在假命题(2)中条件p不充分。 在真命题(1)中, q 是p成立所必须具备的前提。 在假命题(2)中, q不是p成立所必须具备的前提。

【定义得出】
定义:如果命题“若p,则q‖为真命题,即p ? q, 那么我们就说p是q的充分条件;q是p的必要条
注: 件. ①充分性:条件是充分的,也就是说条件是充足的,足够 的,足以保证的。符合“若p则q‖为真(p=>q)的形式,

即“有之必成立”。

②必要性:必要就是必须的,必不可少的。符合“若非q则 非p‖ 为真(非q=>非p)的形式,即“无之必不成立”。 ③p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的,它 们是同一个逻辑关系“p=>q‖的不同表达方法。

P10练习 用符号



填空。

(1) x2=y2
(2)内错角相等

x=y;
两直线平行;

(3)整数a能被6整除

a的个位数字为偶数;

(4)ac=bc

a=b

【典例演练】
例1,下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命 题 中的p是q的充分条件? (1)若x=1,则x2 –4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)为增函数; 2 为无理数 ( 3 )若 x 为无理数,则 x 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命

题,所以命题(1)(2)中的p是q的充分条件. 练习1: (1) 若两个三角形全等,则这两个三角形相似; (2) 若x > 5,则x > 10。 解:命题(1)是真命题,命题(2)是假命题 所以命题(1)中的p是q的充分条件。

例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题 中的q是p的必要条件? (1) 若x=y,则x2=y2。 (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等. (3) 若a>b,则ac>bc。 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命 题,所以命题(1)(2)中的q是p的必要条件。

练习2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命 题中的p是q的必要条件? (1) 若a+5是无理数,则a是无理数。

(2) 若(x-a)(x-b)=0,则 x=a。
分析:注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。 所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。

解:命题(1)(2)的逆命题都是真命题, 所以命题(1)(2)中的p是q的必要条件。

【方法小结】 判别充分条件 与必要条件
1、判别步骤:

① 认清条件和结论。 ② 考察p
2、判别技巧:

q和 q

p的真假。

① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

从集合的角度来理解充分条件、必要条件

p

q,相当于P

q ,即

P

q 或 P、q

?P足以导致q,也就是 说条件p充分了; ?q是p成立所 必须具 备的前提。

练习3,判断下列命题的真假: (1)x=2是x2 –4x+4=0的必要条件; (2)圆心到直线的距离等于半径是这条 直线为圆的切线的必要条件; (3)sinA=sinB是A=B的充分条件; (4)ab≠0是a ≠ 0的充分条件。
答:命题(1)为真命题: 命题(2)为真命题; 命题(3)为假命题; 命题(4)为真命题。

能 力 测 试
1、用符号“充分”或“必要”填空:
充分 (1)“0<x <5‖是“ x – 2 <3‖的 ______条件。

(2)“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形 为正方形”的必要 ______条件。 充分 (3)“xy > 0‖是“ x+y = x + y ‖的 ______条件。

(4)“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除” 充分 条件。 的________

练习4.用“充分”或“必要”填空,并说明理由: 1. ―a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 充分 条件; 2. ―四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件; 3. ―x≠3‖是“|x|≠3‖的 必要 条件; 4. ―x-1=0‖是“x2-1=0‖的充分 条件; 5. ―两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 充分 条件; 6. ―至少有一组对应边相等”是“两个三角形全 等”的 条件; 必要 7. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不 为0)来说,“b2-4ac≥0‖是“这个方程有两个正 根”的必要 条件; 充分 8. ―a=2,b=3‖是“a+b=5‖的 条件;

2. m=-2是直线 (2-m )x+my+3=0和 直线 x-my-3=0互相垂直的 充分而不必要的条件 . __________________

例3.开关A闭合作为命题的条件p, 灯泡B亮作为命题的结论q,你 能根据下列各图所示.判断p是 q的什么条件吗?

【课堂小结】
1、定义:

如果已知p

q,则说p是q的充分

条件, q是p的必要条件。
2、判别步骤:

① 认清条件和结论。 ②考察p
3、判别技巧:

q和q

p的真假。

① 可先简化命题。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。

③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

自学导引

(学生用书P8)

1.通过具体实例中条件之间的关系的分析,理解充分条件,必要 条件的含义.

2.通过具体实例理解充分条件,必要条件在思考和解决数学问
题中的作用.

课前热身

(学生用书P8)

p ?q ”;“若p则q” 1.一般地,命题“若p则q”为真,可记作“________ p ?q 为假,可记作“________ ”. 充分条件 同时称q是p的 2.一般地,如果p?q,那么称p是q的________, 必要条件 ________.

名师讲解

(学生用书P8)

1.对充分条件?必要条件的理解 一般地,若p ?q,则p是q的充分条件.“充分”的意思是:要使q

成立,条件p成立就足够了.即是说有条件p成立,q就一定成
立.另一方面,q又是p的必要条件.“必要”是说缺少q,p就不 会成立.

例如,“x=2”是“x2=4”的充分条件,即x=2?x2=4,但x2=4的充分 条件还有x=-2,可见p?q,p不一定是唯一的.同时x2=4是x=2 的必要条件.因为x2=4不成立,x=2一定不成立. 我们可以用集合的关系来理解:若A?B,则A是B的充分条件, 同时B是A的必要条件.例如A=[0,1],B=[0,2].若x∈A,则x∈B, 所以A是B的充分条件.若x?B,则一定有x?A,也就是说,若B

不成立,A也就不成立了.因此,B是A的必要条件.

2.充分不必要条件,必要不充分条件 如果“p?q且q?p ”,那么称p是q的充分不必要条件.例 如,x=2?x2=4,反过来x2=4?x=2,所以称x=2是x2=4的充分不

必要条件.
如果“p? q且q?p”,则称p是q的必要不充分条件.例如,p:“四 边形对角线相等.”q:“四边形为正方形.”显然p?q且q?p, 所以p是q的必要不充分条件.

典例剖析

(学生用书P8)

题型一 用定义判定充分条件与必要条件 例1:下列命题中,p是q的充分条件的是( )

①p:a+b=0,q:a2+b2=0;
②p:x>5,q:x>3; ③p:四边形是矩形;q:四边形对角线相等; ④已知α、β是两个不同的平面,直线a?α,直线b?β,命题p:a与 b无公共点,命题q:α∥β. A.①② C.③④ B.②③ D.②③④

解析:①∵a+b=0?a2+b2=0,即p?q, ∴p不是q的充分条件. ②∵x>5?x>3,即p?q, ∴p是q的充分条件. ③∵四边形是矩形?对角线相等,即p?q, ∴p是q的充分条件.

④∵a、b无公共点不能推出α?β无公共点,即p?q,
∴p不是q的充分条件. 答案:B

变式训练1:下列命题中,p是q的必要条件的是( A.p:x=1或x=2,
q : x ?1 ? x ?1

)

B.p:m>0,q:x2-x-m=0无实根

C.p:a>0且a≠1,q:y=ax是增函数
D.p:f(x)=loga(x+1),q:f(x)为增函数

解析 : 方法1, 可用排除法, 易知B?C?D均不合题意. 排除B、C、D.所以A正确. 方法2, 对于选项A, x ? 1 ? x ? 1 ? x≥1, x≥1, ? ? ?? ? 2 ?( x ? 1) ? x ? 1, ?( x ? 1)( x ? 2) ? 0, ? x ? 1或x ? 2,? q ? p, 故选A.

答案:A

题型二 充分不必要条件,必要不充分条件的判定 例2:指出下列各组命题中,p是q的什么条件? (1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除;

(2)p:x>1,q:x2>1;
(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形; (4)p:|a·b|=a·b,q:a·b>0. 分析:判断p是q的什么条件,主要判断p?q及q?p两个命题的 正确性,若p?q为真,则p是q成立的充分条件;若q?p为真, 则p是q成立的必要条件.

解:(1)∵p?q,且q?p,∴p是q的充分不必要条件. (2)∵p?q,且q?p,∴p是q的充分不必要条件. (3)∵p?q,且q?p,∴p是q的必要不充分条件.

(4)∵a·b=0时,|a·b|=a·b,|a·b|=a·b?a·b>0,
而a·b>0时,有|a·b|=a·b, ∴p是q的必要不充分条件.

变式训练2:指出下列各组命题中,p是q的什么条件? (1)在△ABC中,p:A>B,q:tanA>tanB; (2)p:x=3,q:(x+2)(x-3)=0; a (3)p:a>b>0, q : ? 1; b (4)p:|x-2|<3,0<x<5.

解:(1)在△ABC中,A>B?tanA>tanB.反过来 tanA>tanB?A>B.(可举反例,取A=30°,B=120°), ∴p是q的既不充分也不必要条件.

(2)∵x=3?(x+2)(x-3)=0,
而(x+2)(x-3)=0?x=-2或x=3. ∴p?q,但q?p. ∴p是q的充分不必要条件.

a a ? 3? a ? b ? 0 ? ? 1, 而 ? 1 ? a ? b ? 0. b b ? p ? q, 但q ? p,? p是q的充分不必要条件.

? 4?

p : ?1 ? x ? 5, q : 0 ? x ? 5,? p ? q, 但q ? p.

? p是q的必要不充分条件.

题型三 充分条件?必要条件的应用 例3:是否存在实数m,使“4x+m<0”是“x2-x-2>0”的充分条件? 如果存在,求出m的取值范围.

分析:“4x+m<0”是条件,“x2-x-2>0”是结论,先解出这两个不等
式,再探求符合条件的m的范围.

解 : x 2 ? x ? 2 ? 0的解是x ? 2或x ? ?1, m 由4x ? m ? 0得x ? ? . 4 m m 要想使x ? ? 时, x ? 2或x ? ?1成立, 必须有 ? ≤ ? 1, 即m≥4, 4 4 m 所以当m≥4时, ? ≤ ? 1 ? x ? ?1 ? x 2 ? x ? 2 ? 0. 4 所以当m≥4时,"4x ? m ? 0" 是 " x 2 ? x ? 2 ? 0 "的充分条件.

规律技巧:本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结 合数轴确定m的范围.

变式训练3:使不等式x2-2x-3>0成立的充分不必要条件是( ) A.x>3或x<-1 C.x>0 B.x>5 D.x<1

解析:∵x2-2x-3>0?x>3或x<-1,
∴x>3是x2-2x-3>0成立的充分不必要条件,而x>5?x>3. ∴x>5是使不等式成立的充分不必要条件. 答案:B

技能演练 基础强化

(学生用书P9)

1.使x(y-2)=0成立的一个充分条件是( )

A.x2+(y-2)2=0
C.x2+y2=1

B.(x-2)2+y2=0
D.x+y-2=0

解析:∵x2+(y-2)2=0?x=0且y=2?x(y-2)=0,故选A. 答案:A

2.a ? b, b ? 0的一个必要条件是( ) A.a ? b ? 0 B.a ? b ? 0 a a C. ? 1 D. ? ?1 b b
解析:a<b,b<0?a<0,b<0?a+b<0,故选A. 答案:A

3.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是( A.x<1 C.x>3 B.x>1 D.x<4

)

解析:x>2?x>1,而x>1?x>2,故选B.
答案:B

4.已知平面α和两条不同直线m?n,则m∥n的一个必要条件是 ( ) A.m∥α,n∥α

B.m⊥α,n⊥α
C.m∥α,n?α D.m?n与α成等角 答案:D

5.a ? b的一个充分不必要条件是( ) A.a 2 ? b2 1 1 C. ? a b B. a ? b D.a ? b ? 1

解析:∵a-b>1?a>b+1?a>b,而a>b?a>b+1.

∴a-b>1是a>b的充分不必要条件.故选D.
答案:D

6.设a、b、c∈R,在下列命题中,真命题是( A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac>bc”是“a>b”的充分条件

)

C.“ac=bc”是“a=b”的必要条件
D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 解析:排除选项A、B、D知,C正确. 答案:C

7.在“x2+(y-2)2=0是x(y-2)=0的充分不必要条件”这句话中, 已知条件是________,结论是________. 答案:x2+(y-2)2=0 x(y-2)=0

8.下列" 若p, 则q" 形式的命题中, 哪些p是q的充分条件 ?

?1? 若x 2 ? ax ? b ? 0有解, 则?≥0;
3 2 2 若 f x ? 2x ? 3x ? 1, 则函数 f x 在 ( ? , ??)上是增函数; ? ? ? ? ? ? 4 ? 3? 若a是有理数, 则 a是无理数.

解:∵命题(1)与(2)为真命题,而(3)为假命题, ∴命题(1)与(2)中的p是q的充分条件.

能力提升 9.指出下列条件中,p是q的什么条件,q是p的什么条件. (1)p:∠C=90°;q:△ABC是直角三角形;

(2)p:A∩B=A;q:A?B.

解:(1)∵∠C=90°?△ABC为直角三角形. ∴p?q. ∵△ABC是直角三角形,也可能∠B=90°,

∴q?p.
∵p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件. (2)∵A∩B=A?A?B, ∴p?q. 又A?B?A∩B=A,∴q?p. ∴p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件.

10.已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1. 该条件是否是必要条件?证明你的结论. 证明:若a2-b2=1, 则a4-b4-2b2=(a2+b2)(a2-b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1. ∴a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的充分条件. a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件,证明如下:

若a4-b4-2b2=1,
则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b2+1)2=0, ∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0. ∵a2+b2+1≠0,∴a2-b2=1. ∴a2-b2=1是a4-b4-2b2=1的必要条件.

品味高考 11.(2008·天津)设a?b是两条直线,α?β是两个平面,则a⊥b的一 个充分条件是( )

A.a⊥α,b∥β,α⊥β
B.a⊥α,b⊥β,α∥β C.a D.a α,b⊥β,α∥β α,b∥β,α⊥β

解析:∵α∥β,b⊥β,∴b⊥α,又a?α,∴b⊥a.故选C. 答案:C

12.(2009·安徽)下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>d B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过第二象限

)

C.p:x=1,q:x2=x
D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上为增函数 答案:A


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