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“质疑”背后的真相


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“质疑”背后的真相
----《对人教 A 版选修 2-1 一道习题答案的质疑》一文引发的思考
朱贤良(安徽省枞阳县会宫中学,246740) E-MAIL:zxl.ah@163.com 1、 “质疑”有理 文[1]对人教 A 版选修 2-1 教材第 98 页习题 3.1 的第 11 题给出了与教参结果一致的初步解答, 并 在深思熟虑的基础上对答案提出了质疑,总结如下: 题目 已知空间向量 a, b, c 是空间的一个单位正交基底,向量 a + b, a ? b, c 是空间的另一个基底.

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若向量 p 在基底 a, b, c 下的坐标为 (1, 2,3) ,求 p 在基底 a + b, a ? b, c 下的坐标. 解析 设 p 在基底 a + b, a ? b, c 下的坐标为 ( x, y, z ) ,所以 …………①

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p = x( a + b) + y ( a ? b) + zc = ( x + y) a + ( x ? y)b + zc
又 p = a + 2b + 3c

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…………………………………………………②

3 ? ?x = 2 ? ? 1 ?x + y = 1 ? 由①②有 ? x ? y = 2 ? ? y = ? . ?z = 3 ?z = 3 2 ? ? ? ?
质疑 文[1]中作者根据教材中的叙述“特别地,设 e1 , e2 , e3 为有公共起点 O 的三个两两垂直的单

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位向量(我们称它们为单位正交基底) ……对于空间任一向量 p …… p = xe1 + ye2 + ze3 ,我们把 x, y, z 称作向量 p 在单位正交基底 e1 , e2 , e3 下的坐标,记作 p = ( x, y, z ) ” ,提出了两点看法:

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? ? ? ? ? ?? ? ? 3 ? ? 1 ? ? ? 3 1 ( a + b) ? ( a ? b) + 3c ; 2 2 2 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) a, b, c 是空间的一个单位正交基底,所以 a + b, a ? b, c 两两互相垂直,可 a + b, a ? b 不是单位
(1) ( , ? ,3) 是 p 在基向量 a + b, a ? b, c 上的分解系数,即 p = 向量, a + b = a ? b = 2 ,故 p 在基底 a + b, a ? b, c 下的坐标应为 (

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3 2 2, ? ,3) . 2 2 ? ?

笔者以为,文[1]提出质疑事出有因,有合理之处.因为从教材来看,教材中只给出了向量 p 在单 位正交基底 e1 , e2 , e3 下坐标的概念,至于向量 p 在任一基底(不一定是单位正交基底)下的坐标并未进 行定义.由 p =

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? ? ? ? ? ? ?? 3 ? ? 1 ? ? 3 1 ( a + b) ? ( a ? b) + 3c ,我们能否说 p 在基底 a + b, a ? b, c 下的坐标为 ( , ? ,3) ?这 2 2 2 2

是“质疑”的根本出发点.不过, “质疑”虽有理,但理止于此!
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2、 “质疑”不当

文[1]中提出的第( 2)点认为, a + b, a ? b, c 虽两两互相垂直,但 a + b = a ? b = 2 ,故由

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? ? 3 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 3 2 p = ( a + b) ? ( a ? b) + 3c 得, p 在基底 a + b, a ? b, c 下的坐标应为 ( 2, ? ,3) .笔者以为,此说 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 法不成立: 既然教材没有定义向量 p 在非单位正交基底下的坐标, 又如何得出 p 在基底 a + b, a ? b, c 下
的坐标为 (

3 2 2, ? ,3) ? 2 2

? ? 从 文 [1]的 论 述 可 以 看 出 , 作 者 “ 质 疑 ” 的 不 当 之 处 在 于 混 淆 了 向 量 p 在 非 单 位 正 交 基 底

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a +b a ?b ? a + b, a ? b, c 下 的 坐 标 与 p 在 单 位 正 交 基 底 ? ? , ? ? , c 下 的 坐 标 . 事 实 上 , a +b a ?b ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? a+b 2 a ?b p= 2 ? ? ? ? ? + 3c ,即 p 在单位正交基底 2 2 a ?b a+b ? ? a+b ? ? a+b ? ? a ?b ? 3 2 也 , ? ? , c 下的坐标为 ( 2, ? ,3) . 2 2 a ?b

? ? ? ? ? 就是说,如果以空间一点 O 为坐标原点,分别以 a + b, a ? b, c 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向,建
??? ? ? ? 3 2 立空间直角坐标系,作向量 OP = p ,则点 P 的坐标为 ( 2, ? ,3) .

2

2

3、 “质疑”背后的真相

? ? ? ? 鉴于人教 A 版数学教材中没有给出向量 p 在任一基底下坐标的定义, 而文[1]中又混淆了 p 在非单

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a +b a ?b ? 位正交基底 a + b, a ? b, c 下的坐标与 p 在单位正交基底 ? ? , ? ? , c 下的坐标, 笔者查阅了相关书籍 a +b a ?b
资料,以寻找“质疑”背后的真相. 文[3]中有如下定义: 定义 1.5 空间中任意三个有次序的不共面的向量 e1 , e2 , e3 ,称为空间中的一组基.对于空间中任

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?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? 一向量 m ,若 m = xe1 + ye2 + ze3 ,则把有序三元实数组 ( x, y, z ) 称为 m 在基 e1 , e2 , e3 中的坐标.
向量有了坐标后, 我们再对空间中的点也引入坐标. 由于空间中取定一个点 O 以后, 任意一个点 M ???? ? ???? ? 与向量 OM 互相唯一决定,因此我们把向量 OM 称为点 M 的定位向量(或矢径) . 定义 1.6 空间中一个点 O 和一组基 e1 , e2 , e3 合在一起称为空间的一个仿射标架或仿射坐标系,记

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?? ?? ? ?? ???? ? ?? ?? ? ?? 作 [O; e1 , e2 , e3 ] ,其中 O 称为原点.对于空间中任意一点 M ,把它的定位向量 OM 在基 e1 , e2 , e3 中的坐
标称为点 M 在仿射坐标系 [O; e1 , e2 , e3 ] 中的坐标.
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…… 空间中取定一个仿射标架后,空间中全体向量的集合与全体有序三元实数组的集合之间就建立了 一一对应;通过定位向量,空间中全体点的集合与全体有序三元实数组的集合之间也建立了一一对应. …… 定义 1.7 如果 e1 , e2 , e3 两两垂直,并且它们都是单位向量,则 [O; e1 , e2 , e3 ] 称为一个直角标架或直 角坐标系. 点(或向量)在直角坐标系中的坐标称为它的直角坐标,在仿射坐标系中的坐标称为它的仿射坐 标. …… 文[4]中也有类似的表述,不再摘录. ? ? 3 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 1 真相大白!原题中 p = ( a + b) ? ( a ? b) + 3c , ( , ? ,3) 是 p 在基向量 a + b, a ? b, c 上的分解系

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2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 数,也就是 p 在基底 a + b, a ? b, c 下的坐标(是仿射坐标,非直角坐标) .只是,我们高中阶段只介绍
了点或向量在直角坐标系中的坐标,即直角坐标. 4、对教材编写的一点建议

高中数学教材中未引入仿射坐标的概念,这没有什么争议;但习题中却出现了向量 p 在非单位正 交基底下的坐标,该是编者之过了.在不增加高中学生学习负担的前提下,为了避免引发各种“质疑” 引起的错误,笔者建议在空间向量基本定理与基底、基向量的概念后增加一句: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于 p = xa + yb + zc ,我们称 ( x, y, z ) 为向量 p 在基底 a, b, c 下的坐标,记作 p = ( x, y, z ) .

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参考文献: [1] 方厚良, 罗灿. 对人教 A 版选修 2-1 一道习题答案的质疑[J].数学通讯 (下半月) ,2012 (12) : 32-33. [2] 人民教育出版社等.普通高中课程标准实验教科书 A 版数学选修 2-1[M].北京:人民教育出 版社,2007:93-94,98-101. [3] 丘维声.解析几何[M].北京:北京大学出版社,1988:14-15. [4] 吕林根,许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社,1987:25-26.

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