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新课标高中数学必修一至必修五知识点总结


高中数学常用公式及结论大全(新课标) 必修 1
1、集合的含义与表示 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性:确定性、 互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为:{元素|元素的特征},例如 {x | x ? 5, 且x ? N} 2、常用数集及其表示方法 (1)自然数集 N(又称非负整数集) (2)正整数集 N*

或 N+ (3)整数集 Z (4)有理数集 Q:包含分数、整数、有限小数等 (5)实数集 R:全体实数的集合(6)空集Ф :不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系:属于∈,不属于 ? 例如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a∈A 4、集合与集合的关系:子集、真子集、相等 (1)子集的概念 如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素, 那么集合 A 叫做集合 B 的子集(如图 1), 记作 A ? B B ? A. 或 A,B B A 或 若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素,那么 P 不包含于 Q, 记作 P ? Q (图 1)

(2)真子集的概念 若集合 A 是集合 B 的子集, B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真子集(如 且 图 2). A ? B 或 B ? A. ? ? B A

(图 2) (3)集合相等:若集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合 A 等于集合 B,记作 A=B.

A ? B, B ? A ? A ? B
5、重要结论(1)传递性:若 A ? B , B ? C ,则 A ? C (2)空Ф 集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集. 6、含有 n 个元素的集合,它的子集个数共有 2 集);非空的真子集有 2 –2 个.
n n

个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2 –1 个(即不计空 A?B

n

n

7、集合的运算:交集、并集、补集 (1)一般地,由所有属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. A?B 记作 A∩B(读作"A 交 B") ,即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B} . (2)一般地,对于给定的两个集合 A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做 A,B 的并集.记 作 A∪B(读作"A 并 B") ,即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B} . (3)若 A 是全集 U 的子集,由 U 中不属于 A 的元素构成的集合,
1

叫做 A 在 U 中的补集,记作 CU A

,

C U A ? ?x | x ? U, 且x ? A?

CU A A 注:讨论集合的情况时,不要发遗忘了 A ? ? 的情况。 8、映射观点下的函数概念 如果 A,B 都是非空的数集,那么 A 到 B 的映射 f:A→B 就叫做 A 到 B 的函数,记作 y=f(x),其中 x ∈A,y∈B.原象的集合 A 叫做函数 y=f(x)的定义域,象的集合 C(C ? B)叫做函数 y=f(x)的值域.函数
符号 y=f(x)表示“y 是 x 的函数” ,有时简记作函数 f(x). 9、分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。如 y ? ?

?2 x ? 1 ?? x ? 3
2

x?0 x?0

10、求函数的定义域的原则: (解决任何函数问题,必须要考虑其定义域)

1 , 则x ? 1 ? 0 x ?1 ②偶次方根的被开方数大于或等于零; 如 : y ? 5 ? x , 则5 ? x ? 0 ③对数的底数大于0且不等于1; 如 : y ? loga ( x ? 2),则a ? 0且a ? 1
①分式的分母不为零; 如 : y ? ④对数的真数大于0; 如 : y ? loga ( x ? 2),则x ? 2 ? 0 ⑤指数为0的底不能为零; 如 : y ? (m ? 1) x ,则 m ? 1 ? 0 11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑) (1)奇函数满足 f (? x) ? ? f ( x) , 奇函数的图象关于原点对称; (2)偶函数满足 f (? x) ? f ( x) , 偶函数的图象关于 y 轴对称; 注:①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称; ②若奇函数在原点有定义,则 f (0) ? 0 ③根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑) 当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (x ) 在该区间上是增函数,图象从左到右上升; 当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (x ) 在该区间上是减函数,图象从左到右下降。 函数 f (x ) 在某区间上是增函数或减函数,那么说 f (x ) 在该区间具有单调性,该区间叫做单调(增/ 减)区间
2 13、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0)

? b ? b 2 ? 4ac 2 (2)判别式: ? ? b ? 4ac 2a (3) ? ? 0 时方程有两个不等实根; ? ? 0 时方程有一个实根; ? ? 0 时方程无实根。 b c (4)根与系数的关系——韦达定理: x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? a a
(1)求根公式: x1, 2 ?
2 14、二次函数:一般式 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) ; 两根式 y ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) (a ? 0) y b b 4ac ? b 2 (1)顶点坐标为 (? , (2)对称轴方程为:x= ? ; ); 2a 2a 4a 0

x

(3)当 a ? 0 时,图象是开口向上的抛物线,在 x= ?

b 4ac ? b 2 处取得最小值 2a 4a
2

b 4ac ? b 2 当 a ? 0 时,图象是开口向下的抛物线,在 x= ? 处取得最大值 2a 4a
(4)二次函数图象与 x 轴的交点个数和判别式 ? 的关系: ? ? 0 时,有两个交点; ? ? 0 时,有一个交点(即顶点) ? ? 0 时,无交点。 ; 15、函数的零点 注:函数 y ? f ?x ? 有零点 ? 函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴有交点 ? 方程 f ?x ? ? 0 有实根 16、函数零点的判定: 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b ?上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 。那么,函数
y ? f ? x ? 在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ?

使 f ( x) ? 0 的实数 x0 叫做函数的零点。例如 x0 ? ?1 是函数 f ( x) ? x 2 ? 1 的一个零点。

?a, b?, 使得f ?c? ? 0 。

17、分数指数幂 ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ) (1) a
m n

? a .如 x ? x ;(2) a
n m 3

3 2

?

m n

?

1
m an

?

1
n

. 如
m

1 x
3

?x

?

3 2

; (3) ( n a )n ? a ;

a

(4)当 n 为奇数时, an ? a ; 当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n
n n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0
r r r

18、有理指数幂的运算性质( a ? 0, r , s ? Q ) (1) a ? a ? a
r s r ?s



(2) (a ) ? a ;
r s rs

(3) (ab) ? a b

x 19、指数函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,其中 x 是自变量, a 叫做底数,定义域是 R

a ?1
y 图 象 1 0 (1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) x

0 ? a ?1
y

1 0

x

(3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

20、若 a ? N ,则
b

叫做以

为底 N 的对数。记作: loga N ? b ( a ? 0, a ? 1 , N ? 0 )

其中, a 叫做对数的底数, N 叫做对数的真数。
3

注:指数式与对数式的互化公式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) 21、对数的性质 (1)零和负数没有对数,即 loga N 中 N ? 0 ; (2)1 的对数等于 0,即 loga 1 ? 0 ;底数的对数等于 1,即 loga a ? 1 22、常用对数 lg N :以 10 为底的对数叫做常用对数,记为: log10 N ? lg N 自然对数 ln N :以 e(e=2.71828?)为底的对数叫做自然对数,记为: loge N ? ln N 23、对数恒等式: a
log a N

?N
M ? log a M ? log a N ; N

24、对数的运算性质(a>0,a≠1,M>0,N>0) (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (3) loga M n ? n loga M (n ? R) 25、对数的换底公式 推论① (2) log a

(注意公式的逆用)

log a N ?

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n 1 n 或 log a b ? ; ② log a m b ? log a b . m logb a

26、对数函数 y ? loga x ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) :其中, x 是自变量, a 叫做底数,定义域是 (0,??)

a ?1
y 图像 0 1 x 0

0 ? a ?1

x 1

定义域:(0, ∞) 性质 值域:R 过定点(1,0) 增函数 取值范围 0<x<1 时,y<0 x>1 时,y>0 减函数 0<x<1 时,y>0 x>1 时,y<0

27、指数函数 y ? a 与对数函数 y ? loga x 互为反函数;它们图象关于直线 y ? x 对称.
x

? 28、幂函数 y ? x ( ? ? R ) ,其中 x 是自变量。要求掌握 ? ? ?1, ,1,2,3 这五种情况(如下图)

1 2

4

29、幂函数 y ? x ? 的性质及图象变化规律: (Ⅰ)所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (Ⅱ)当 ? ? 0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数. (Ⅲ)当 ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.
3

3

2

y?x
2

y?x

2
2

y ? x3
1 1

1
1

1
1
-2 -1

y? x
-2 -1

y ? x ?1
1
2

1
-2

2

-2

1
-1

2

-2

-3

必修 2
30、边长为 a 的等边三角形面积 S 正? ? 31、柱体体积: V柱=S底 h , 球表面积公式: S球 ? 4?R ,
2

3 2 a 4
1 3 4 3 球体积公式: V ? ?R 3
锥体体积: V锥 = S 底 h

32、四个公理: ① 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 ② 过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。 ③ 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。 ④ 平行于同一直线的两条直线平行(平行的传递性) 。 33、等角定理: 1 2 3 空间中如果两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补(如图) 34、两条直线的位置关系: ?
? (在同一平面内,没有公共点) ?共面直线?平行: ?相交 : (在同一平面内,有一个公共点) ? ?异面直线   : (不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点) ?

直线与平面的位置关系: (1)直线在平面上; (2)直线在平面外(包括直线与平面平行,直线与平面相交) 两个平面的位置关系: (1)两个平面平行; (2)两个平面相交 35、直线与平面平行: 定义 一条直线与一个平面没有公共点,则这条直线与这个平面平行。 判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行,则该直线与此平面平行。 性质 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 36、平面与平面平行: 定义 两个平面没有公共点,则这两平面平行。 判定 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平 行。
5

① 如果两个平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。 ② 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行。 37、直线与平面垂直: 定义 如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直。 判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直。 性质 ①垂直于同一平面的两条直线平行。 ②两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直。 38、平面与平面垂直: 定义 两个平行相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则这两个平面垂直。 判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 39、三角形的五“心” (1) O 为 ?ABC 的外心(各边垂直平分线的交点).外心到三个顶点的距离相等 (2) O 为 ?ABC 的重心(各边中线的交点).重心将中线分成 2:1 的两段 (3) O 为 ?ABC 的垂心(各边高的交点). (4) O 为 ?ABC 的内心(各内角平分线的交点). 内心到三边的距离相等 (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心(各外角平分线的交点). 40、直线的斜率: (1) 过 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 两点的直线,斜率 k ?

性质

y 2 ? y1 , x1 ? x 2 ) ( x2 ? x1

0 (2)已知倾斜角为 ? 的直线,斜率 k ? tan ? ( ? ? 90 )

(3)曲线 y ? f (x) 在点( x0 , y 0 ) 处的切线,其斜率 k ? f ?( x0 ) 41、直线位置关系:已知两直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 ,则

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 且b1 ? b2     l1 ? l 2 ? k1 k 2 ? ?1
特殊情况: (1)当 k1 , k 2 都不存在时, l1 // l 2 ; (2)当 k 1 不存在而 k 2 ? 0 时, l1 ? l 2 42、直线的五种方程 : ①点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 ( x1 , y1 ) ,斜率为 k ). ②斜截式 y ? kx ? b ③两点式 ④截距式 (直线 l 在 y 轴上的截距为 b ,斜率为 k ).

y ? y1 x ? x1 ? (直线过两点 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y 2 ) ). y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ? 1 ( a, b 分别是直线在 x 轴和 y 轴上的截距,均不为 0) a b

⑤一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0);可化为斜截式: y ? ?

A C x? B B
6

2 2 43、 (1)平面上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 间的距离公式:|AB|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )

2 2 2 (2)空间两点 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z 2 ) 距离公式|AB|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? ( z1 ? z 2 )

(3)点到直线的距离 d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

44、两条平行直线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C 2 ? 0 间的距离公式: d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

注:求直线 Ax ? By ? C ? 0 的平行线,可设平行线为 Ax ? By ? m ? 0 ,求出 m 即得。 45、求两相交直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 与 A 2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点:解方程组 ?A1x ? B1 y ? C1 ? 0 ?A x ? B y ? C ? 0 2 2 ? 2 46、圆的方程: ①圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . 其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r

②圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

D E D 2 ? E 2 ? 4F 2 2 ,? ) ,半径为 r ? ,其中 D ? E ? 4 F >0 2 2 2 2 2 2 47、直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆的 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 位置关系 (1) d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; Aa ? Bb ? C (2) d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; 其中 d 是圆心到直线的距离,且 d ? A2 ? B 2 (3) d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
其中圆心为 ( ? 48、直线与圆相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点,求弦 AB 长度的公式: (1) | AB |? 2 r 2 ? d 2
2 (2) | AB |? 1 ? k

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 (结合韦达定理使用) ,其中 k 是直线的斜率
2) d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

49、两个圆的位置关系:设两圆的圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d 1) d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; 5) 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 3) r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; 4) d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线;

必修③公式表
50、算法:是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的, 而且能够在有限步之内完成.

7

51、程序框图及结构 程序框 名称 起止框 功能 表示一个算法的起始和结束, 是任何流程图不 可少的。 表示一个算法输入和输出的信息, 可用在算法 输入、输出框 中任何需要输入、输出的位置。 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公 处理框 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框 内。 判断框 判断某一条件是否成立, 成立时在出口处标明 “是”或“Y” ;不成立时标明“否”或“N” 。

52、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。 53、三种抽样方法的区别与联系 类别 共同点 各自特点 相互联系 简单随机抽 从总体中逐个抽取 样 各层抽样可采用 分层 抽取过程 将总体分成几层 简单随机抽样或 抽样 中每个个体 进行抽取 系统抽样 被抽取的概 将总体平均分成 率相等 在起始部分抽样 几部分,按事先确 系统抽样 时采用简单随机 定的规则分别在各 抽样 部分抽取 54、 (1)频率分布直方图(注意其纵坐标是“频率/组距)
? 极差 ? 组数 ? ? ? , 频率 ? ? 组距 ?

适用范围 总体中个体数较少 总体有差异明显的几部 分组成

总体中的个体较多

频数 频率 ? 频率 。 , 小矩形面积 ? 组距 ? 样本容量 组距

(2)数字特征 众数:一组数据中,出现次数最多的数。 中位数:一组数从小到大排列,最中间的那个数(若最中间有两个数,则取其平均数) 。 平均数: x ? 标准差:s ?
1 ?x1 ? x2 ? ? ? xn ? n
2 方差: s = [( x1 ? x) ? ( x2 ? x) ? ( x3 ? x) ? ? ? ( xn ? x) ]
2 2 2 2

1 n

2 2 2 1? x ? x ? x2 ? x ? ? ? xn ? x ? ? 1 ? ? n?

?

? ?

?

?

?

注: 通过标准差或方差可以判断一组数据的分散

程度;其值越小,数据越集中;其值越大,数据越分散。 55、事件的分类: (1)必然事件:必然事件是每次试验都一定出现的事件。P(必然事件)=1 (2)不可能事件:任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P(不可能事件)=0 (3)随机事件:随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件,简称为事件 基本事件:一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件,称作基本事件。
8

56、在 n 次重复实验中,事件 A 发生的次数为 m,则事件 A 发生的频率为 m/n,当 n 很大时,m 总是在 某个常数值附近摆动,就把这个常数叫做事件 A 的概率。 (概率范围: 0 ? P?A ? ? 1 ) 57、互斥事件概念:在一次随机事件中,不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件(如图 1) 。 如果事件 A、B 是互斥事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B) 图1 B 58、对立事件(如图 2) :指两个事件不可能同时发生,但必有一个发生。 A 对立事件性质:P(A)+P( A )=1,其中 A 表示事件 A 的对立事件。 A B 59、古典概型是最简单的随机试验模型,古典概型有两个特征: (1)基本事件个数是有限的; 图(2) (2)各基本事件的出现是等可能的,即它们发生的概率相同. 60、设一试验有 n 个等可能的基本事件,而事件 A 恰包含其中的 m 个基本事件,则事件 A 的概率 P(A) 公式为

m A包含的基本事件的个数 = n 基本事件的总数 运用互斥事件的概率加法公式时,首先要判断它们是否互斥,再由随机事件的概率公式分别求它们的概 率,然后计算。 在计算某些事件的概率较复杂时,可转而先示对立事件的概率。 构成事件A的区域长度(面积或体积) 61、几何概型的概率公式: P?A? ? 试验的全部结果构成的 区域长度(面积或体积)
P?A? ?

必修④公式表
62、终边相同角构成的集合: ?? | ? ? ? ? 2k? , k ? Z ?
l 63、弧度计算公式: ? ? r

r
l

)?

64、扇形面积公式: S ?

65、三角函数的定义:已知 P?x, y ? 是 ? 的终边上除原点外的任一点 则 sin ? ?

1 1 lr ? ? ? r 2 ( ? 为弧度) 2 2

y x y , ? ? , ? ? ,其中 r 2 ? x 2 ? y 2 cos tan r r x

P(x,y) r y )? x

66、三角函数值的符号 + — + — — — + + — + + —

sin ?

cos?

tan?

9

67、特殊角的三角函数值:

?
sin ?

0

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2
1 2

? 2
1

2? 3

3? 4

5? 6 1 2

?
0

3? 2
-1

0

3 2
-

2 2
-

cos ?

1

3 2 3 3
2

0

1 2
-

2 2
-1

-

3 2 3 3

-1

0

tan?

0

3
2

不存 在

3
sin ? cos ?

-

0

不存 在

68、同角三角函数的关系: sin ? ? cos ? ? 1, tan ? ? 69、和角与差角公式:

二倍角公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? ? 70、诱导公式 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限;其中,奇偶是指 的个数,符号参考第 66 条. 2 sin ?? ? 2k? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ?

cos?? ? 2k? ? ? cos? cos?? ? ? ? ? ? cos? tan?? ? 2k? ? ? tan? tan?? ? ? ? ? tan? ? ? sin( ? ? ) ? cos ? cos( ? ? ) ? sin ? 2 2
tan ? ?

cos?? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? tan? ? sin( ? ? ) ? cos ? 2

cos?? ? ? ? ? ? cos? tan?? ? ? ? ? ? tan? ? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2
?
6

71、辅助角公式: a sin ? ? b cos ? = a2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限与点 ( a, b) 的象限相同,且

b ).主要在求周期、单调性、最值时运用。 如 y ? a
?
2 ?

3 sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

)

72、半角公式(降幂公式): sin2

1 ? cos? ? 1 ? cos? , cos2 ? 2 2 2

73、三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的性质( A ? 0, ? ? 0 ) (1)最小正周期 T ?

2?

?

;振幅为 A;频率 f ?

1 ;相位: ?x ? ? ;初相: ? ;值域: [ ? A, A] ; T

对称轴:由 ?x ? ? ?

?
2

? k? 解得 x ;对称中心:由 ?x ? ? ? k? 解得 x 组成的点 (x,0)

(2)图象平移: x 左加右减、 y 上加下减。 例如:向左平移 1 个单位,解析式变为 y ? A sin[? ( x ? 1) ? ? ] 向下平移 3 个单位,解析式变为 y ? A sin(?x ? ? ) ? 3
10

(3)函数 y ? tan(? x ? ? ) 的最小正周期 T ?

? . ?

74、正弦定理:在一个三角形中,各边与对应角正弦的比相等。
a b c ? ? ? 2 R (R 是三角形外接圆半径) sin A sin B sinC

75、余弦定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A,
2 2 2 2

b ? c ? a ? 2ca cos B,
2 2

推论

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC.

b2 ? c2 ? a2 cos ? A , 2bc c2 ? a2 ? b2 cos ? B , 2ca a2 ? b2 ? c2 cos ? C . 2ab

C

b
A

a c
B

76、三角形的面积公式: S ?ABC ? 77、三角函数的图象与性质和性质 三角函数 -?

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A. 2 2 2
y ? cos x
y 1 -? 0 ? 2 -1 2

y ? sin x
y 1 0 ? -1 2

y ? tan x
y

图象

?

2?

x

?

x

2?

-? 0 ? 2

2

3? 2

x

定义域 值域 最大值 最小值 周期 奇偶性 在 [? 单调性

(??,??)
[-1,1]

(??,??)
[-1,1]

(k? ?

?
2

, k? ?

?
2

)

(??,??)

x?

?
2

? 2k? , ymax ? 1

x ? 2k? , ymax ? 1

x??

?
2

? 2k? ,y min? ?1
2?
奇函数

x ? ? ? 2k? , ymin ? ?1
2?
偶函数

?
奇函数 在 (?

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]

在 [?? ? 2k? ,2k? ] 上是增函数

?
2

? k? ,

?
2

? 2k? )

上是增函数 在[

上都是增函数

k ?Z

?
2

? 2k? ,

3? ? 2k? ] 2

在 [2k? , ? ? 2k? ] 上是减函数

上是减函数

11

78、向量的三角形法则: a+b b a a b b-a

79、向量的平行四边形法则: b a a+b

80、平面向量的坐标运算:设向量 a= ( x1 , y1 ) ,向量 b= ( x2 , y2 ) (1)加法 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)减法 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)数乘 ? a= ? ( x1 , y1 ) ? (?x1 , ?y1 )

(4)数量积 a·b=|a||b|cosθ = x1 x2 ? y1 y 2 ,其中 ? 是这两个向量的夹角

(5)已知两点 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则向量 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . 81、向量 a= ( x, y ) 的模:|a|= (a) ?
2

??? ??? ??? ? ? ?

82、两向量的夹角公式

? ? a? b cos ? ? ? ? ? a b

a ? a ? x 2 ? y 2 ,即 | a | 2 ? a

2

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

83、向量的平行与垂直 (b ? 0) a||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

记法: a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) 记法: a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 )

必修⑤公式表
84、数列前 n 项和与通项公式的关系:

,n ? 1; ?S 1 ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? S n ? S n ?1 , n ? 2. ?
85、等差、等比数列公式对比

n? N?

等差数列
an ? an?1 ? d

等比数列
an (q a n ?1 ? q

定义式 通项公式及 推广公式 中项公式

? 0)

an ? a1 ? ?n ? 1?d an ? am ? ?n ? m?d

an ? a1q n ?1 an ? am q n ? m
a?b 2

若 a, A, b 成等差,则 A ?

若 a, G, b 成等比,则 G ? ab
2

运算性质

若 m ? n ? p ? q ? 2r ,则

若 m ? n ? p ? q ? 2r ,则

an ? am ? a p ? aq ? 2ar
n?a1 ? a n ? 2 n?n ? 1? ? na1 ? d 2 Sn ?

an am ? ap aq ? ar2
q ? 1, ?na1 ? n S n ? ? a1 1-q a1 ? an q ? 1 ? q ? 1 ? q ,q ? 1. ?

前 n 项和公 式

?

?

一个性质

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 成等差数列

Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 成等比数列
12

86、解不等式 (1) 、含有绝对值的不等式
2 当 a > 0 时,有 x ? a ? x ? a ? ? a ? x ? a .
2

[小于取中间]

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .[大于取两边]
(2)、解一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0, (a ? 0) 的步骤: ①求判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0
两相异实根

??0
一个实根

??0
没有实根

②求一元二次方程的解:
2

③画二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象

④结合图象写出解集

ax2 ? bx ? c ? 0 解集 ax2 ? bx ? c ? 0 解集

?x x ? x 或x ? x ?
2 1

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ? x2 ?

?

2 2 注: ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0) 解集为 R ? ax ? bx ? c ? 0 对 x ? R 恒成立 ? ? ? 0

(3)高次不等式:数轴标根法(奇穿偶回,大于取上,小于取下) (4)分式不等式:先移项通分,化一边为 0,再将除变乘,化为整式不等式,求解。 如解分式不等式

x ?1 x ?1 ? ?1 :先移项 ? 1 ? 0; x x

通分

( x ? 1) ? x ? 0; x

再除变乘 (2 x ? 1) x ? 0 ,解出。 87、线性规划: (1)一条直线将平面分为三部分(如图) : (2)不等式 Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? C ? 0
直线

Ax ? By ? C ? 0

Ax ? By ? C ? 0 Ax ? By ? C ? 0

某一侧的平面区域,验证方法:取原点(0,0)代入不 等式,若不等式成立,则平面区域在原点所在的一侧。假如 直线恰好经过原点,则取其它点来验证,例如取点(1,0) 。 (3)线性规划求最值问题:一般情况可以求出平面区域各个顶点的坐标,代入目标函数 z ,最大的为最 大值。
13

选修
88、充要条件 (1)若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件, q 是 p 必要条件. (2)若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 89、逻辑联结词。 或 q”记作:p∨q; “p 且 q”记作:p∧q; 非 p 记作:┐p “p 90、四种命题: 原命题:若 p,则 q 逆命题:若 q,则 p 否命题:若┐p,则┐q 逆否命题:若┐q,则┐p 注意: (1)原命题与逆否命题同真同假,但逆命题的真假与否命题之间没有关系; (2)┐p 是指命题 P 的否定,注意区别“否命题” 。例如命题 P: “若 a ? 0 ,则 b ? 0 ” ,那么 P 的 “否命题”是: “若 a ? 0 ,则 b ? 0 ” ,而┐p 是: “若 a ? 0 ,则 b ? 0 ” 。 91、全称命题:含有“任意”“所有”等全称量词(记为 ? )的命题,如 P: ?x ? R, ( x ? 1) ? 0 、
2

特称命题:含有“存在”“有些”等存在量词(记为 ? )的命题,如 q: ?x ? R, x ? ?1 、
2

注:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题, 如上述命题 p 和 q 的否定:┐p: ?m ? R, (m ? 1) ? 0 ,
2

┐q: ?x ? R, x ? ?1
2

92、椭圆 ①定义:若 F1,F2 是两定点,P 为动点,且 PF ? PF2 ? 2a ( a 为常数)则 P 点的轨迹是椭圆。 1

x2 y2 ②标准方程:焦点在 x 轴: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ; a b
长轴长= 2 a ,短轴长=2b 93、双曲线 焦距:2c 恒等式:a
2

y2 x2 焦点在 y 轴: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ; a b

-b2=c2

离心率: e ?

c a

①定义:若 F1,F2 是两定点, PF1 ? PF2 ? 2a ( a 为常数) ,则动点 P 的轨迹是双曲线。 ②图形:如图 ③标准方程: 焦点在 x 轴:

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a2 b2 y2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a2 b2
离心率: e ?

焦点在 y 轴:

实轴长= 2 a ,虚轴长=2b, 焦距:2c 恒等式:a
2

+b2=c2

c a
14

渐近线方程:当焦点在 x 轴时,渐近线方程为 y ? ?

b a x ;当焦点在 y 轴时,渐近线方程为 y ? ? x a b

等轴双曲线:当 a ? b 时,双曲线称为等轴双曲线,可设为 x 2 ? y 2 ? ? 。 94、抛物线 ①定义:到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等的点 M 的轨迹是抛物线(如左下图 MF=MH) 。 ②图形: H M F( 准线 方程

p ,0 ) 2

F

y 2 ? 2 px, ( p ? 0)
p ,0 ) 2
p 2

y 2 ? ? p x ( p? 0 ) x2 ? 2 p y ( p 0 ) x2 ? ? p y ( p? 0 ) 2 , , ? 2 ,
F (?
x?

焦点: F (

p , 0) 2
p 2

F (0,
y??

p ) 2
p 2

F (0, ?
y? p 2

p ) 2

准线方程: x ? ?

注意:几何特征:焦点到顶点的距离=

p ;焦点到准线的距离= p ; 2

95.导数的几何意义: f / ( x 0 ) 表示曲线 f (x) 在 x ? x0 处的切线的斜率 k ; 导数的物理意义: f / ( x 0 ) 表示运动物体在时刻 x0 处的瞬时速度。 96、几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (3) (sin x)? ? cos x . (5) (ln x )? ?

(n ? Q) . (4) (cosx)? ? ? sin x .
n

(2) ( x )' ? nx

n ?1

1 x x ; (a )? ? a ln a . x
' ' ' ' '

(6) (e )? ? e ;.
x x

(7) ( ) ? ? ?

1 x

1 x2

97、导数的运算法则 (1) (u ? v) ? u ? v . (2) (uv) ? u v ? uv .
'

u ' u 'v ? uv ' (v ? 0) . (3) ( ) ? v v2

98.函数的单调性与其导函数的正负的关系: 在某个区间(a , b)内,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在这个区间内单调递增; 如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在这个区间内单调递减。 注:若函数 y ? f (x) 在这个区间内单调递增,则 f ' ( x) ? 0 若函数 y ? f (x) 在这个区间内单调递减,则 f ' ( x) ? 0
15

99、判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 (1)求导 f ?(x ) ; (2)令 f ?(x ) =0,解方程,求出所有实根 x 0 (3)列表,判断每一个根 x 0 左右两侧 f ' ( x ) 的正负情况:

极大值 极小值

如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; 如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 100、求函数在闭区间[a , b]上的最值的步骤: (1)求函数 f (x) 的所有极值; (2)求闭区间端点函数值 f (a), f (b) ; (3)将各极值与 f (a), f (b) 比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值。 注意: (1)无论是极值还是最值,都是函数值,即 f ( x0 ) ,千万不能写成导数值 f / ( x0 ) 。 (2)若在某区间内只有一个极值,则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。

选修
101、复数 z ? a ? bi ,其中 a 叫做实部, b 叫做虚部 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) (1)复数的相等 (2)当 a=0,b≠0 时,z=bi 为纯虚数; (3)当 b=0 时,z=a 为实数; (4)复数 z 的共轭复数是 z ? a ? bi (5)复数 z ? a ? bi 的模 | z | = a 2 ? b2 . 2 2 (6)i =-1, (-i) =-1. (7) 复数 z ? a ? bi 对应复平面上的点 ( a, b) , 102、复数的四则运算法则 (1)加: (a ? bi ) ? (c ? di ) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2)减: (a ? bi ) ? (c ? di ) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3)乘: (a ? bi )(c ? di ) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ;类似多项式相乘 (4)除:
?

a ? bi (a ? bi)(c ? di) ? (分子、分母乘分母共轭复数,此法称为“分母实数化” ) c ? di (c ? di)(c ? di)
2 2

103、常用不等式: (1)重要不等式:若 a, b ? R ,则 ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). (2)基本不等式:若 a ? 0, b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 基本不等式的适用原则可口诀表示为:一正、二定、三相等 当 ab 为定值时, a ? b 有最小值,简称“积定和最小” 当 a ? b 为定值时, ab 有最大值,简称“和定积最大”
16

104、推理: (1)合情推理:包含归纳推理(从特殊到一般)和类比推理(从特殊到特殊) (2)演绎推理:从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式,包括:大前提(已知的一般原理) 、小 前提(所研究的特殊情况) 、结论(根据一般原理,对特殊情况得出的判断) 105、证明: (1)直接证明:包括综合法(又叫由因导果法)和分析法(又叫执果索因法) (2)间接证明:又叫反证法,通常假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设 错误,从而证明原命题成立。

坐标系与参数方程
106、极坐标系:其中 | OM |? ? (1)如图,点 M 的极坐标为 ( ? ,? ) (2)极坐标与直角坐标的互化公式: ① x ? ? cos? , y ? ? sin ? ; 107、参数方程形如 ?
极点 O 极径 ? )极角 ?

· M ( x, y ) 点 y
极轴 x

x

2 2 2 ② ? ? x ? y , tan ? ?

y x

? x ? f (t ) , (t为参数) ????(*) ? y ? g (t )

参数方程是借助参数 t ,间接给出 x, y 之间的关系,而普通方程是直接给出 x 与 y 的关系,如

x ? y ?1 ? 0
(1)圆 x ? y ? r 的参数方程是 ?
2 2 2

? x ? r cos? , (?为参数) ? y ? r sin ?

(2)椭圆

? x ? a cos? x2 y2 ? 2 ? 1 的参数方程 ? , (?为参数, a ? b ? 0) 2 a b ? y ? b sin ?

(3)参数方程与普通方程的互化:消去参数方程的参数,得到普通方程。 消去参数的方法有:①公式法:用公式 sin ? ? cos ? ? 1等
2 2

②代入法:方程(*)中,由 x ? f (t ) 解出 t ? h(x) ,代入 y ? g (t ) ③加减消元法:方程(*)中,两式相加(减)消去参数 t 请同学们试着将圆的参数方程 ?

s ?x ? a ? r c o ? , (?为 参 数, 化 为 圆 的 标 准 方 程 ) n ?y ? b? rs i ?

__________________,说说你用的是什么方法? 提示:解参数方程问题,通常先将参数方程化为普通方程,再求解。

17

几何证明选讲
108.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线 段也相等。 推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分国一腰 109.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 推论:平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长线) ,所得的对应线段成比例 110.判定两个三角形相似的方法: 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形相似 判定定理 1:两角对应相等,两三角形相似 判定定理 2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 判定定理 3:三边对应成比例,两三角形相似 引理:若一条直线截三角形两边(或延长线)所得的对应线段成比例,那么直线平行第三边 111.相似三角形的性质定理: 1)相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比 2)相似三角形周长的比等于相似比 3)相似三角形面积的比等于相似比的平方 112.直角三角形的射影定理 C 如图 Rt △ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则 (1) CD ? AD ? BD
2 2

(2) AC ? BC ? AB ? CD
2

(3) AC ? AD ? AB ; BC ? BD ? AB

A

D

B

113.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角为直角 114.圆的切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径 推论 1:经过圆心垂直于切线的直线必经过切点 推论 2:经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 圆的切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 1( 115.弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 如图: ?1 ? ? 2 2 116.与圆有关的定理: ^ (1)相交弦定理:圆内两条相交弦,被交 点分成的两条线段长的积相等; (2) 割线定理: 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等; (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比 例中项; (4)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条 切线的夹角。
18


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