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等比数列前n项和性质


等比数列的前n项和(二)
有关的性质

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等比数列前n项和公式:

?na1 ? S n ? ? a1 ? a1 q n ? 1-q ?


q ?1 , q ? 1。

?na1 ? S n ? ? a1 ? a n q ? 1-q ?


q ?1 , q ? 1。

例3已知数列?an ? 前n项和Sn ? 2 ? 1,求此数列的
n

通项an,并证明它是一个等比数列。
分析:判断一个数列是等比数列(或等差数列),一定要用定

义来判断:任意两相邻的项具有某种特征:比(或差)为定值。
n n ?1 n ?1

解:由已知,得a1 ? S1 ? 1,
又a1 ? 1满足上式,an ? 2 (n ? N *)
an?1 2 由于 ? n?1 ? 2(n ? N *) ??an ? 是一个等比数列 an 2
n

an ? Sn ? Sn?1 ? (2 ? 1) ? (2 ? 1) ? 2 当n ? 2时,
n ?1

a1 (1 ? q ) 探究:由Sn ? 得Sn是形如Sn ? Aq n ? B的式子, 1? q 反之,若一个数列 ?an ?的前n项和为 且A ? B ? 0 ,
n
n

Sn ? Aq ? B,A ? 0, q ? 1, 则数列?an ? 是等比数列吗?

当n ? 1时,a1 ? S1 ? Aq ? B
当n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? Aq ? B ? ( Aq ? B) ? ( Aq ? A)q
n n ?1 n ?1

若?an ? 是等比数列,则Aq ? B ? Aq ? A, ? B ? ? A,即A ? B ? 0

当A ? B ? 0时, ?an ? 是等比数列;
当A ? B ? 0时, ?an ? 不是等比数列。

等比数列前n项和的性质一:

数列{an }是等比数列
类似结论:

?S n ? Aq

n

- A( A ? 0)

数列{an }是等比数列

相反数

?S n ? Aan ? B( AB ? 0, A ? 1)

例题解析 例1、若等比数列
实数m= -1
?an ?

S n ? m ? 3 ? 1, 则 中,
n

?an ?的前 练习:1、已知等比数列 1n项和为
Sn ? x ? 3
n ?1

2、已知等比数列 n 的前n项和为 S n ? 3 ? 2a, 1 ? 则a的值为 18 n?2 ? ? a 3、已知等比数列 n 的前n项和为 S n ? 4 ? 3 ? 5a,

1 ? , 则x的值为 6 ?a ?

2
n?2

则a的值为

4 ? 45

等差数列中依次每k项的和,仍成等差数列。 在等比数列中,是否也有类似的性质?

已知数列?an ? 是等比数列,S n是其前项和, 求证:S7,S14 ? S 7,S 21 ? S14成等比数列。

证明:q ? 1时,S7 ? 7a1,S14 ? 14a1,S21 ? 21a1,

此时,S14 ? S7 ? S21 ? S14 ? S7 ? 0
? S7,S14 ? S7,S21 ? S14成等比数列

a1 (1 ? q ) a1 (1 ? q ) a1 (1 ? q ) 当q ? 1时,S7 ? ,S14 ? ,S21 ? 1? q 1? q 1? q
7 14 21

a (q ? q ) a q (1 ? q ) 此时( S14 ? S7 ) ? ? 2 2 (1 ? q) (1 ? q)
2 2 1 7 14 2 2 14 1
7 14 21 2 14 1

7 2

a1 (1 ? q ) a1 (q ? q ) a q (1 ? q ) S7 ? ( S21 ? S14 ) ? ? ? 2 1? q 1? q (1 ? q)

7 2

? (S14 ? S7 ) ? S7 ? (S21 ? S14 )
2

? S7,S14 ? S7,S21 ? S14成等比数列

探究:对于一般的等比数列 ?an ?,其前n项
的和为 S n ,则

S m , S 2 m ? S m , S3m ? S 2 m

也成等比数列吗?

例:等比数列{an }的前n项和为Sn,若Sm ? 10,S2 m ? 30, 求S3m的值。

解:? S m,S 2 m - S m,S 3m - S 2 m 成等比数列

? ( S 2 m - S m ) ? S m ? ( S 3m - S 2 m )
2

即: (30 - 10) ? 10 ? ( S 3m - 30)
2

解得:S 3m ? 70

S10 31 例:等比数列{an }的前n项和为S n,a1 ? ?1, 若 ? , S5 32 S15 求 的值。 S10

解:

S10 31 ? ? S 5 32

? 设S10 ? 31k , S 5 ? 32k (k ? 0)

? S 5,S10 - S 5,S15 - S10 成等比数列
993 k 即: (31k - 32 k ) ? 32 k ? ( S15 - 31k ) 解得:S15 ? 32 S15 993 ? ? S10 992
2

? ( S10 - S 5 ) ? S 5 ? ( S15 - S10 )
2

练一练
1、等比数列{an }的前n项和为S n,若S10 ? 20, S 20? 80,则S30 ? 260 。

2、任意等比数列,它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X、Y、Z,则下列等式中恒成立的是( D) A.X+Z=2Y C.Y2=XZ B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

2.若某等比数列中前7项的和为48, 前14项的和为60, 63. 则前21项的和为______

等比数列前n项和的性质三:

若等比数列?an ?共有2n项,则:
推导过程:

S偶 S奇
?

?q
2n

? S偶 ? S偶

a2 ?1 ? q 1? q
2

2n

?,S

a1 ?1 ? q 1? q



2

?,

a2 ? ? ? q. S奇 a1

等比数列前n项和的性质四:
?

如果?a n ?为公比为q的等比数列,对?m、p ? N 有:

S m? p ? S m ? q S p
m

例:已知一个项数为偶数的等比数列的首项为1, 其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数 列的公比和项数.

解 : 设此数列的公比为q, 项数为2n. S偶 170 则q= ? ? 2. S奇 85

又 ? S奇 ?

a1 ?1 ? q 1? q

2n

2

? ? 85,即1 ? q

2n 2

1? q

? 85.

? 2n ? 8, 即此数列共有8项.

变式训练:已知一个等比数列其首项是1, 项数是偶数,所有奇数项和是85,所有偶 数项和是170,求此数列的项数?
提示:

q?

S偶 S奇

170 ? ?2 85

S n ? S 偶 ? S 奇 ? 170 ? 85 ? 255
由等比数列前n项和公式得: n 1? 2 ?n?8 255 ? 1-2

2:已知等比数列?an ? ,a1 +a2 +a3 +a4 =4,

a9 +a10 +a11 +a12 =16,求a17 +a18 +a19 +a20的值.

解 : 设等比数列?an ? 为q,
? a9 +a10 +a11 +a12 ? ? a1 +a2 +a3 +a4 ? ? q ,
8

? q ? 4.
8

? a17 +a18 +a19 +a20 ? (a9 +a10 +a11 +a12 ) ? q ? 64.

8

练习

1 1.已知等比数列的公比为q ? , 且a1 +a3 +a5 +? +a99 ? 60 2 则S100 ? ________ 90 .

[例 4]

已知 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,且 a1,a2,

a3,…,an 成等差数列(n 为正偶数).又 f(1)=n2,f(-1) 1 =n,试比较 f(2)与 3 的大小.

[分析] 确定{an}的通项公式,利用错位相减法解题

[解] f(1)=a1+a2+…+an=n2, ① f(-1)=-a1+a2-a3+a4-…-an-1+an=n, ② n 由于{an}是等差数列,n 是偶数,故由②得2(an-an-1)=n,即 d =2. n?n-1? 把 d=2 代入①,得 na1+ ×2=n2. 2 化简,得 a1+n-1=n. ∴a1=1. 于是 an=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*).

1 1 12 13 1n f( )=1·+3· ( ) +5· ( ) +…+(2n-1)· ( ), 2 2 2 2 2 1 1 12 13 1 n 2n-1 f( )=1· ( ) +3· ( ) +…+(2n-3)· ( ) + n+1 . 2 2 2 2 2 2 把两式相减,得: 1 1 1 2n-1 12 13 1n (1- )f( )= - n+1 +2[( ) +( ) +…+( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 12 1 n- 1 ? ? [1-? ? ] 2 n - 1 2 2 1 = - n+1 +2· . 2 1 2 1- 2 2n-1 1 1 n- 2 n 1 1 ∴f( )=1- +2-( ) =3- n-1+ n- n-2. 2 2n 2 2 2 2 1 即 f( )<3. 2

迁移变式 4 an 2 .bn= n-1 2
n

在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+

(1)证明:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

an+1 an 解:(1)∵an+1=2an+2 ,∴ n = n-1+1, 2 2
n

an ∵bn= n-1,∴bn+1=bn+1,即 bn+1-bn=1,b1=1, 2 故数列{bn}是首项为 1,公差为 1 的等差数列. (2)由(1)知 bn=n,an=n2 ,则 Sn=1· 2 +2· 2 +…+(n-1)· 2 +n · 2 , 2Sn=1· 21+2· 22+…+(n-1)· 2n 1+n· 2 n,


n-1

0

1

n-2

n-1

两式相减,得 Sn=n· 2 -2 -2 -…-2 =n· 2 -2 +1.
n 0 1 n-1 n n

等差数列前n项和的性质: ① 数列{a n }是等比数列 ? S n ? Aq n - A( A ? 0)
② ?a n ?为等比数列 ? S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 也成等比数列。
且新等比数列首项为S k,公比为q k 。

③ 若等比数列?a n ?共有2n项,则:

S偶 S奇

?q

? ? ? 如果 a 为公比为 q 的等比数列 , 对 ? m 、 p ? N 有: ④ n

S m? p ? S m ? q S p
m


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