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高中数学总结2(函数的单调性)


1.3.1 函数的单调性
教学目的: (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性. 教学重点:函数的单调性及其几何意义. 教学难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程: 一、引入课题 1. 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x

1 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? ○ 2. 画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ .

y 1 -1 -1 1 x

y 2.f(x) = -2x+1 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 1 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ -1 1 x 大,f(x)的值随着 ________ . -1 2 3.f(x) = x y 1 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ . 1 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ -1 1 x 着 x 的增大而 ________ . -1 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) . 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义. (学生活动) 注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . ○

2.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (二)典型例题 例 1. (教材 P34 例 1)根据函数图象说明函数的单调性. 解: (略) 巩固练习:课本 P38 练习第 1、2 题 例 2. (教材 P34 例 2)根据函数单调性定义证明函数的单调性. 解: (略) 巩固练习: 1 课本 P38 练习第 3 题; ○
2 证明函数 y ? x ? ○

1 在(1,+∞)上为增函数. x

例 3.借助计算机作出函数 y =-x2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间. 解: (略) 思考:画出反比例函数 y ?

1 的图象. x

1 这个函数的定义域是什么? ○ 2 它在定义域 I 上的单调性怎样?证明你的结论. ○ 说明:本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象. 三、归纳小结,强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论


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