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【金版学案】2016高考数学理科二轮复习习题:专题9第二讲 数形结合思想


专题九

思想方法专题

第二讲

数形结合思想

数形结合的数学思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方 面, 其应用大致可以分为两种情形: 一是借助形的生动性和直观性来 阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的 图象来直观地说明函数的性质; 二是借助于数的精确性和规范严密性 来

阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的 方程来精确地阐明曲线的几何性质.

数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起 来, 关键是代数问题与图形之间的相互转化. 它可以使代数问题几何 化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注 意三点: 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数 特征, 对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意 义;第二是恰当设参数,合理用参数,建立关系,由数思形,以形思 数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.

数形结合思想应用广泛,高考试题对数形结合的考查主要涉及: 1.集合及其运算问题(韦恩图与数轴).
1

2.用函数图象解决有关问题(如方程、不等式、函数的有关性质 等). 3.运用向量解决有关问题. 4.三角函数的图象及其应用问题. 5.解析几何、立体几何中的数形结合问题.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)当 x∈(0,+∞)时,函数 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象相同.(×) (2)函数 y=af(x)与 y=f(ax)(a>0 且 a≠1)的图象相同.(×) (3)函数 y=f(x)与 y=-f(x)的图象关于原点对称.(×) (4)若函数 y=f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),则函数 f(x)的图象关于 直线 x=1 对称.(√) (5)将函数 y=f(-x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y=f(-x -1)的图象.(×)

1 . (2015· 沈阳三模 ) 对实数 a 与 b ,定义新运算“ ? ” :a? b=
? ?a,a-b≤1, ? 设函数 f(x)=(x2-2)?(x-x2), x∈R.若函数 y=f(x)-c ?b,a-b>1. ?

的零点恰有两个,则实数 c 的取值范围是(B)
? 3? A.(-∞,-2]∪?-1,2? ? ?

2

? 3? B.(-∞,-2]∪?-1,-4? ? ? ? 1? ?1 ? C.?-∞,4?∪?4,+∞? ? ? ? ? ? ? ? 3? ?1 ? D.?-1,-4?∪?4,+∞? ? ?

3 2 ? x - 2 ,- 1 ≤ x ≤ , ? 2 解析:由题意得 f(x)=? 3 2 ? - x + x , x <- 1 或 x > , ? 2 由 y=f(x)-c 的零点恰有两个,即方程 f(x)=c 恰有两根,也就 是函数 y=f(x)的图象与函数 y=c 的图象有两个交点,如图所示,满
? 3? 足条件的 c 为(-∞,-2]∪?-1,-4?. ? ?

2.方程 sin?x-
?

?

π? 1 ?= x 的实数解的个数是(B) 4? 4 B.3 D.以上均不对

A.2 C.4

? π? 1 解析:在同一坐标系内作出 y1=sin?x- ?与 y2= x 的图象(如 4 4? ?

下图所示).

3

3. (2015· 新课标Ⅱ卷)如图, 长方形 ABCD 的边 AB=2, BC=1, O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记∠BOP=x. 将动点 P 到 A, B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x), 则 y=f(x)的图 象大致为(B)

4

π 解析:当 x∈[0, ]时,f(x)=tan x+ 4+tan x,图象不会是 4 直线段,从而排除 A,C. π 3π π 3π π 当 x∈[ , ]时, f( )=f( )=1+ 5, f( )=2 2.∵ 2 2< 4 4 4 4 2 π π 3π 1+ 5,∴ f( )<f( )=f( ),从而排除 D,故选 B. 2 4 4 4.(2014· 江苏卷)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当
? 1? x∈[0,3)时,f(x)=?x2-2x+2?,若函数 y=f(x)-a 在区间[-3,4] ? ? ? 1? 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是?0,2?. ? ? ? 1? 解析:作出函数 f(x)=?x2-2x+2?,x∈[0,3)的图象,可见 f(0) ? ?

1 1 7 = ,当 x=1 时,f(x)极大= ,f(3)= ,方程 f(x)-a=0 在 x∈[-3, 2 2 2 4]上有 10 个零点,即函数 y=f(x)和图象与直线 y=a 在[-3,4]上有 10 个交点,由于函数 f(x)的周期为 3,因此直线 y=a 与函数 f(x)=
? 2 1? ? 1? ?x -2x+ ?,x∈[0,3)的应该是 4 个交点,则有 a∈?0, ?. 2? 2? ? ?

5

一、选择题 1.已知 0<a<1,则方程 a|x|=|logax|的实根个数为(B) A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.1 个或 2 个或 3 个

解析:判断方程的根的个数就是判断图象 y=a|x|与 y=|logax|的 交点个数, 画出两个函数图象(如图所示), 易知两图象只有 2 个交点, 故方程有 2 个实根.

2.(2015· 安徽卷)函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示, 则下列结论成立的是(C)

A.a>0,b<0,c>0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0

B.a>0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0

3.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 x∈[3,

6

4]时,f(x)=x-2,则(C)
? 1? ? 1? A.f?sin2?<f?cos2? ? ? ? ? ? π? ? π? B.f?sin ?>f?cos ? 3? ? 3? ? ? 3? ? 3? D.f?sin2?>f?cos2? ? ? ? ?

C.f(sin 1)<f(cos 1)

解析:由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期,设 x∈[-1, 0],知 x+4∈[3,4],f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2,画出函数 f(x) 的图象,如图所示:

1? 1 1 ? 1? ? A:sin <cos ?f?sin2?>f?cos 2?; 2 2 ? ? ? ? π π ? π? ? π? B:sin >cos ?f?sin ?<f?cos ?; 3 3 3? ? 3? ? C:sin 1>cos 1?f(sin 1)<f(cos 1); 3 3 ? 3? ? 3? D:sin >cos ?f?sin2?<f?cos2?. 2 2 ? ? ? ? 4.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1、抛物线 y2= 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是(A)

A.2 11 C. 5

B.3 D. 37 16

解析:记抛物线 y2=4x 的焦点为 F,是 F(1,0),注意到直线 l2: x=-1 是抛物线 y2=4x 的准线, 于是抛物线 y2=4x 上的动点 P 到直
7

线 l2 的距离等于|PF|,问题即转化为求抛物线 y2=4x 上的动点 P 到 直线 l1:4x-3y+6=0 的距离与它到焦点 F(1,0)的距离之和的最小 值,结合图形,可知,该最小值等于焦点 F(1,0)到直线 l1:4x-3y +6=0 的距离,即等于 |4×1-3×0+6| =2.故选 A. 5

5.已知 P 为抛物线 y2=4x 上的一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2 =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的 距离之和最小值是(C) A.5 C. 17-1 B.8 D. 5+2

解析:抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆 x2+(y-4)2=1 的圆 心为 C(0,4),设点 P 到抛物线的准线的距离为 d,由抛物线的定义 有 d=|PF|,所以|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥(|PC|-1)+|PF|≥|CF|-1= 17-1. 6.函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是(B) A.0 个 C.2 个 解析:解法一 B.1 个 D.3 个 因为 f(0)=1+0-2=-1,f(1)=2+23-2=8,

即 f(0)· f(1)<0 且函数 f(x)在(0,1)内连续不断,故 f(x)在(0,1)内的零
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点个数是 1.

解法二

设 y1=2x, y2=2-x3, 在同一坐标系中作出两函数的图

象(如上图所示),可知 B 正确. 7.(2015· 北京卷)如图,函数 f(x)的图象为折线 ACB,则不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集是(C)

A.{x|-1<x≤0} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1<x≤1} D.{x|-1<x≤2} 解析:令 g(x)=y=log2(x+1),作出函数 g(x)图象如图.
? ? ?x+y=2, ?x=1, ? 由 得? ?y=log2(x+1), ? ?y=1. ?

∴ 结合图象知不等式 f(x)≥log2(x+1)的解集为{x|-1<x≤1}.

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二、填空题 8.当 x∈(1,2)时,(x-1)2<logax 恒成立,则 a 的取值范围为 (1,2]. 解析:在同一坐标系内作出 y=(x-1)2,x∈(1,2)及 y=logax 的图象,若 y=logax 过(2,1),则 loga2=1,∴a=2.结合图形,若使 x∈(1,2)时,(x-1)2<logax 恒成立,则 1<a≤2.

三、解答题 3 9.已知 0<x< π ,方程 sin2x+2sin xcos x+3cos2x+a=0 有 3 2 个实数根,求 a 的取值范围.

10

解析:原方程可化为 2+sin 2x+cos 2x+a=0, 即 2sin?2x+
? ?

π? ?=-a-2. 4? π 3π )(0<x< ), 4 2

令 f(x)= 2sin(2x+

则原方程有 3 个实根等价于 y=f(x)与 y=-a-2 有 3 个交点.

由图象可得-1<-a-2≤1, ∴a 的取值范围为[-3,-1). x2 2 10.已知圆 C 过椭圆 +y =1 的右焦点,且圆心在 x 的正半轴 2 上,且直线 l:y=x-1 被圆 C 截得的弦长为 2 2. (1)求圆 C 的标准方程; (2)从圆 C 外一点 P 向圆引一条切线,切点为 M,O 为原点,且 有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的 P 点的坐标. x2 2 解析:(1)在椭圆 +y =1 中,c2=a2-b2=1,所以 c=1,于是 2 右焦点为(1, 0). 设圆心为(t, 0)(t>0), 圆心到直线的距离为 d= |t-1| . 2

?|t-1|?2 ?L?2 ? +2= (t 注意到弦长、半径、弦心距满足:? 2 ? =r2- d2,即? ? ? ? 2 ?

-1)2,解之得 t=3 或 t=-1(舍去),半径 r=3-1=2,所以圆 C 的 标准方程为(x-3)2+y2=4. (2)如图,不妨设 P(x,y),由于|PM|2=|PC|2-|CM|2,且|PM|=

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|PO|,

所以|PO|2=|PC|2-|CM|2,也即|PC|2-|PO|2=|CM|2=4,于是(x 5 5 -3)2+y2-(x2+y2)=4,即 x= ,即点 P 所在曲线方程为 x= .要使 6 6 |PM|最小,由|PM|2=|PC|2-4,只需|PC|最小,也即圆心到直线 x=
?5 ? 的距离最小,可知点 P 在 x 轴上时满足题意,即点 P?6,0?. ? ?

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