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高一数学必修1第三章指数函数与对数函数测试题


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高一数学必修 1 第三章测试题
注意事项:1.本卷共 150 分,考试时间 120 分钟 2.将答案写在答题卡的相应位置 一、选择题( 12 小题,每小题 5 分)

1.若 a< ,则化简 (2a-1) 的结果是

1 2


4

2

A. 2a-1 B.- 2a-1 C. 1-2a D.- 1-2a
2.若 ?1 ? a ? 0 ,则式子 3
1 a

, a 3 , a 3 的大小关系是(
1 1 a a


3

A、 3 ? a ? a 3
a 3

1

B、 a ? 3 ? a 3
3

C、 3 ? a 3 ? a

D、 a ? a 3 ? 3
3

1

a

1 (a b )(?3a b ) ? ( a 6 b 6 ) 3 3.化简 的结果
A. 6 a B. ? a C. ? 9a

2 3

1 2

1 2

1 3

1

5



) D. 9a
2

4.对于 0 ? a ? 1 ,给出下列四个不等式

① log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ③a
1? a

1 ) a

② log a (1 ? a ) ? log a (1 ? ④a
1? a

1 ) a

?a

1?

1 a

?a

1?

1 a

其中成立的是( ) A.①与③ B.①与④
5. a

C.②与③

D.②与④

? log2 3 , b ? log4 6 , c ? log8 9 ,则下列关系中正确的是
A. a ? b ? c C. c ? b ? a B. a ? c ? b D. c ? a ? b ( D.1 )

6. lg 5 ?
2

2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? lg 2 2 ? 3
B.3
2y

A.4
x

C.2 1 y

7.已知 2 =7 =A,且 + =2,则 A 的值是

1 x

A.7 B.7 2 C.± 2 D.98 7
8.函数 y ? a 在[0,1]上的最大值与最小值的差为 3,则 a 的值为(
x



A.

1 2

B.2

C.4

D.

1 4
( )

9.已知

f (10x ) ? x ,则 f (5) ?
5

A、 10

B、 5

10

C、 lg10

D、 lg 5

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10.若 0 ? a ? 1, P ? loga
( a 2 ? a ?1)

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3 , Q ? loga (a ?a ?1) ,则 P 与 Q 的大小关系是 (

A. P > Q

B. P < Q
4

C. P = Q

D. P 与 Q 的大小不确定

11.对于幂函数

f ( x) ? x 5 ,若 0 ? x1 ? x2 ,则 f (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ), 大小关系是( 2 2 x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2



A. f (

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2 x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) )? 2 2

B. f (

C.

f(

D. 无法确定

x 12 若点 (m, n) 在函数 y ? a 的图像上,则下列哪一点一定在函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的图像

上(

) B. (?n, m) C. (?m, n) D. (n, m)

A. (m, n)

二、填空题( 4 小题,每小题 4 分) 13. log 1
2

4 ? (?8) 3 ?

2

.

14.已知 a

?

5 ?1 x ,函数 f ( x) ? a ,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系为 2

15.若集合 {x, xy, lg( xy)} ? {0, |

x |, y}, 则log8 ( x 2 ? y 2 ) =

.

16.下列命题:①幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数;

②图象不经过点 (?1,1) 的幂函数一定不是偶函数; ③如果两个幂函数的图象具有三个公共点,那么这两个幂函数相同; ④幂函数 y ? x 的图象不可能在第四象限内。其中正确的题号是
三、解答题( 17.已知 x ? x 18.设 f(x)=
?1

?

6 小题,共 74 分)

? 3 ,求下列各式的值:(1) x 2 ? x 2 ;(2) x 2 ? x 2 .

1

?

1

3

?

3

4x ,若 0<a<1,试求: 4 +2
x

(1)f(a)+f(1-a)的值; 1 2 3 1 000 (2)f( )+f( )+f( )+…+f( )的值. 1 001 1 001 1 001 1 001
19.已知函数

f ( x) ? ln(a x ? b x )(a ? 1 ? b ? 0) .

(1) 求函数 f ( x ) 的定义域 I ;

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(2) 判断函数 f ( x ) 在定义域 I 上的单调性,并说明理由; (3)当 a , b 满足什么关系时, f ( x ) 在 ?1, ? 上恒取正值。 +?
20.已知 2 ? 256且 log 2 x ?
x

1 x ,求函数 f ( x) ? log2 ? log 2 2

2

x 的最大值和最小值. 2

21.有甲、乙两种商品,经销这两种商品所获的利润依次为 p (万元)和 q (万元),它们与投入的

资金 x (万元)的关系,有经验公式为 p ?

1 3 x, q ? x, 5 5

今有 3 万元资金投入经销甲、乙两种商品,为获得最大利润,应对甲、乙两种商品分别投入多少资 金,使总共获得的最大利润最大,并求最大利润是多少万元?
22.已知函数 f ( x ) ? log a
1 ? mx x ?1 ( a ? 0, a ? 1) 的图象关于原点对称.

(1)求 m 的值; (2)判断 f(x) 在 (1, ??) 上的单调性,并根据定义证明.

参考答案 一、选择题( 12 小题,每小题 5 分) 1.C

4 1 解析:∵a< ,∴2a-1<0.于是,原式= (1-2a)2= 1-2a. 2 解析:由 0 ? a ? 1 得 a ? 1 ?

2.A 3.C 4.D 6.B 7.B

1 1 ,1 ? a ? 1 ? , ②和④都是对的;5.A a a

1 1 1 1 2 解析:由 2x=72y=A 得 x=log2A,y= log7A,则 + = + =logA2+2logA7= 2 x y log2A log7A
10.B 11.A

logA98=2,A2=98.又 A>0,故 A= 98=7 2.
8.C 9.D

12.D

二、填空题( 4 小题,每小题 4 分) 13 . 2 14. m ? n 15.

1 3

16.②④ 分)
1 ? 2 2 1 1 ? 1 2

三、解答题(

6 小题,共 74
1 2

17.解析: (1)? ( x

? x ) ? ( x 2 )2 ? 2 x 2 x

? ( x 2 )2

?

1

? x1 ? x?1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ,
∴ x2 ? x
1 ? 1 2

?? 5,
? 3 得 x ? 0 ,∴ x ? x
1 2
1 2 ? 1 2

又由 x ? x
1

?1

? 0,

所以 x 2 ? x

?

? 5.
? 3 2

(2) (法一) x ? x

3 2

=(x 2 )3 ? ( x 2 )3 ? ( x 2 ? x 2 )[( x 2 )2 ? x 2 x

1

?

1

1

?

1

1

1

?

1 2

? ( x 2 )2 ]

?

1

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1 2 ? 1 2

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? ( x ? x )[( x ? x ?1 ) ? 1] ? 5(3 ?1) ? 2 5 ,
(法二) [( x ) ? ( x )] ? ( x ) ? ( x ) ? 2 x x
2 3 2 ? 3 2 3 2 2 ? 3 2 2 ? 3 2 ? 3 2

? x3 ? x?3 ? 2

而x ?x
3

?3

? ( x ? x?1 )( x2 ? x?2 ?1)

? ( x ? x?1 )[( x ? x?1 )2 ? 3] ? 3 ? (32 ? 3) ? 18
∴ ( x ? x ) ? 20 , 又由 x ? x ? 3 ? 0 得 x ? 0 ,∴ x 2 ? x
18.解析:(1)f(a)+f(1-a)=
a
?1

3 2

?

3 2 2

3

?

3 2

? 0 ,所以 x ? x

3 2

?

3 2

? 20 ? 2 5 .

4 4 + - 4a+2 41 a+2

a

1-a

4 4a 4 + = a + 4 +2 4 4 +2 4+2·a 4 +2 4a 4a+2 4a 2 = a + =1. a= a 4 +2 2+4 4 +2 1 2 3 1 000 1 1 000 2 999 (2)f( )+f( )+f( )+…+f( )=[f( )+f( )]+[f( )+f( )]+…+ 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 1 001 500 501 [f( )+f( )]=500×1=500. 1 001 1 001 =
a

4 4a

19.解析:(1)

f ( x) ? ln(a x ? b x )(a ? 1 ? b ? 0) 要意义, a x ? b x ? 0 -----------2 分

(只要学生得出答案,没有过程的,倒扣一分,用指数函数单调性或者直接解出)

a ?a? a x ? b x ? 0 ? ? ? ? 1(a ? 1 ? b ? 0 ? ? 1) b ?b?

x

? 所求定义域为 ? 0,??? -----------------------------------------4 分
(2)函数在定义域上是单调递增函数------------------------------5 分 证明: ?x1 , x2 ,0 ? x1 ? x2 ---------------------------------------6 分

?a ?1 ? b ? 0

? a x1 ? a x2 , b x1 ? b x2 -----------------------------------------7 分
? a x1 ? b x1 ? a x2 ? b x2 ? ln(a x1 ? b x1 ) ? ln(a x2 ? b x2 ) -----------------------------------9 分 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以原函数在定义域上是单调递增函数-------------------------10 分 (3)要使 f ( x ) 在 ?1, ? 上恒取正值 +?

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须 f ( x ) 在 ?1, ? 上的最小值大于 0--------------------------11 分 +? 由(2) ymax ? f (1) ? ln(a ? b) ------------------------------12 分

? ln(a ? b) ? 0 ? a ? b ? 1
所以 f ( x ) 在 ?1, ? 上恒取正值时有 a ? b ? 1 -------------------14 分 +?
20.解析:由 2 ? 256 得 x ? 8 , log2
x

1 ? log 2 x ? 3 2 3 1 f ( x) ? (log 2 x ? 1) ? (log 2 x ? 2) ? (log 2 x ? ) 2 ? . 2 4 3 1 当 log 2 x ? , f ( x) min ? ? ,当 log 2 x ? 3, f ( x)max ? 2 2 4

x ? 3即

21.解析:设投入甲商品为 x (0 ? x ? 3) 万元,则投入乙商品为 3 ? x 万元,

总利润为 y 万元 依题意 y ?

…………………………………………1 分

1 3 x? 3 ? x ………………………………………3 分 5 5

令 3 ? x ? t , 则x ? 3 ? t 2 …………………………………………4 分 因为 0 ? x ? 3 ,所以 0 ? t ? 所以 y ?

3 ……………………………………5 分

1 3 1 3 21 (3 ? t 2 ) ? t ? ? (t ? ) 2 ? ……………………………8 分 5 5 5 2 20 3 21 当 t ? 即 x ? 0.75 时 y 取最大值 ,此时 3 ? x ? 2.25 ………………11 分 20 2
答:甲投入 0.75 万元,乙投入 2.25 万元时,总共可获得最大利润 1.05 万元。…12 分
22.解析:由图象关于原点对称知它是奇函数,得 f(x)+f(-x)=0,即 log a
1 ? mx x ?1 ? log a 1 ? mx ?x ?1 ? 0,



1? m x
2

2

1? x

2

? 1, m= -1;
x1 ? 1 x1 ? 1 ?

(2)由(1)得 f ( x ) ? log a
x2 ? 1 x2 ? 1 ? 2( x2 ? x1 ) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x ?1 x ?1

,定义域是 ( ??, ?1) ? (1, ??) ,

设 1 ? x1 ? x2 ,得

? 0 ,所以当 a>1 时, f(x) 在 (1, ??) 上单调递减;当 0<a<1

时,f(x) 在 (1, ??) 上单调递增.

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