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2013年全国高中数学联赛一试word版


2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题 一、填空题:本题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
2 1.设集合 A ? ?2,1 3? ,集合 B ? x | ? x ? A, 2 ? x ? A .则集合 B 中所有元素的和为 0, ,

?

?

.

2.在平面直角坐标系 xoy 中,点 A、B 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,满足 OA ? OB ? ?4 ,F 是抛物线的焦点, 则 S?OFA ? S?OFB = .

??? ??? ? ?

3.在 ?ABC 中,已知 sin A ? 10sin B sin c , cos A ? 10cos B cos C ,则 tan A 的值为 4.已知正三棱锥 P ? ABC 地面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为 5.设 a , b 为实数,函数 f ? x ? ? ax ? b 满足:对任意 x ??0,1? ,有 f ? x ? ? 1 .则 ab 的最大值为 6.从 1, 2,?, 20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为 7.若实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是 8.已知数列 ?an ? 共有 9 项,其中 a1 ? a9 ? 1 ,且对每个 i ??1,2,?,8? ,均有

ai ?1 ? 1? ? ?2,1, ? ? ,则 ai ? 2?

这样的数列的个数为 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(本题满分 16 分)给定正数数列 ?xn ? 满足 Sn ? 2Sn?1 , n ? 2,3,?, 这里 Sn ? x1 ? ? ? xn .证明:存 在常数 C>0,使得

xn ? C ? 2n , n ? 1, 2,?.
10. (本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A1 、 A2 a 2 b2

分别为椭圆的左、右顶点, F 、 F2 分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上不同于 A 和 A2 的任意一 1 1 点.若平面中两个点 Q、R 满足 QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 , RF ? PF1 , RF2 ? PF2 ,试确定线段 1 QR 的长度与 b 的大小关小,并给出证明. 11. (本题满分 20 分)设函数 f ? x ? ? ax ? b ,求所有的正实数对(a,b),使得对任意实数 x,y 有
2

f ? xy ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? .


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