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安徽省蚌埠二中2012届高三12月月考(数学文)


蚌埠二中 2011—2012 学年度高三 12 月月考

数学(文科)试题
(试卷分值:150 分 考试时间:120 分钟 ) 命题人:王传江 注意事项: 第Ⅰ卷所有选择题的答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置、第Ⅱ卷的答案做在答 题卷的相应位置上,否则不予计分。

第Ⅰ卷(选择题
1. 化简复数 z ? (1

? i ) ? 4 i 得
2

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) A. 2 ? 2i B. 2 ? 2i
2

C. ? 2i

D. 2i

2. 已知集合 P ? ? 0, m ? , Q ? ? x | 2 x ? 5 x ? 0, x ? Z ? ,若 P ? Q ? ? ,则 m ? A. 1
2

B. 2

C. 1 或

5 2

D. 1 或 2

3. 若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 ? 0, b ? 处的切线方程是 y ? x ? 1 ,则 A. a ? 1, b ? 1 B. a ? ? 1, b ? 1 C. a ? 1, b ? ? 1 D. a ? ? 1, b ? ? 1 4. 已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? ,那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的 A. 充要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 x ? ? 5. 将函数 f ( x ) ? 2 co s( ? ) 的图像向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数
3 6 g ( x ) 的图像,则 g ( x ) 的解析式为

4

A. g ( x ) ? 2 co s( C. g ( x ) ? 2 cos(

x 3 x

?

?
4

) ?1

B. g ( x ) ? 2 co s( D. g ( x ) ? 2 cos(

x

?

?
4

) ?1

?

?
12

) ?1

3 x

?

?
12

) ?1

3

3

6. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,如下图表示该函数在区间 ? ? 2,1 ? 上的图像, 则 f (2011) ? f (2012) ? A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

第 6 题图

第 7 题图

第 -1- 页

7. 某校对高三年级的学生进行体检,现将高三男生的体重(单位: kg )数据进行整理后分成 五组, 并绘制频率分布直方图 (如上图所示).根据一般标准, 高三男生的体重超过 65kg 属 于偏胖,低于 55kg 属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别 为 0 .2 5 , 0 .2 0 , 0 .1 0 , 0 .0 5 ,第二小组的频数为 4 0 0 ,则该校高三年级的男生总数和体 重正常的频率分别为 A. 1000, 0.50 B. 800, 0.50 C. 800, 0.60 D. 1000, 0.60 8. 已知流程图如下图所示, 该程序运行后, 为使输出 b 的值为 1 6 , 则循环体的判断框内① 处 应填的是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 6

第 8 题图 9. 已知等差数列 ? a n ? 前 1 7 项和 S 17 ? 51 ,则 a 5 ? a 7 ? a 9 ? a11 ? a13 ? A. 3 B. 6 C. 1 7 D. 5 1 10. 定义在区间 ? 0, a ? 上的函数 f ( x ) 的图像如下图所示,记以 A (0, f (0)) , B ( a , f ( a )) , 为顶点的三角形的面积为 S ( x ) ,则函数 S ( x ) 的导函数 S ?( x ) 的图像大致是 C ( x, f ( x) )

第 10 题图

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分25分) 2 ? ? 4 4 11. 已知 co s ? ? sin ? ? , ? ? (0, ) ,则 co s( 2 ? ? ) ?
3 2 3

. .

12. 已知 x , y 均为正数,且 x ? y ? 1 ,则

1 x

?

9 y

的最小值为
*

13. 设 数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 a n ? S n ? n ( n ? N ) , 则 数 列 ? a n ? 的 通 项 公 式 是 . 14. 设函数 f ( x ) 的定义在 R 上的偶函数,且是以 4 为周期的周期函数,当 x ? ? 0, 2 ? 时,
第 -2- 页

f ( x ) ? 2 x ? cos x ,则 a ? f ( ?

3 2

) 与b ? f (

15 2

) 的大小关系为

.

15. 一个三角形数阵如下:
1 2
3

2 2 6 8 9 2 2 2 ?? 按照以上排列的规律,第 1 0 行从左向右的第 3 个数为

2 4 2 7 2

2 5

.

三、解答题(本大题 6 小题,满分 75 分) 16.(本小题满分 12 分)
x 已知点 A ( c o s ? 1 c oxs 2B ()? ? ? 3 s i n , x , ? ??? ? (1)若向量 B A 与 a 共线,求实数 x 的值; ??? ? ? (2)若向量 B A ? a ,求实数 ? 的取值范围.

? , c x , x ) ? 0, ? ? ,向量 a ? ?1 , 0 . os ? ?

17.(本小题满分 12 分) 某学校共有教职工 900 人,分成三个批次进行继续教育培训,在三个批次中男、 女教职工人 数如下表所示. 已知在全体教职工中随机抽取 1 名,抽到第二批次中女教职工的概率是 0.16 . 第一批次 第二批次 第三批次 196 x y 女教职工 204 156 z 男教职工 (1)求 x 的值; (2) 现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取 54 名做培训效果的调查, 问应在第三批次中 抽取教职工多少名? (3)已知 y ? 96 , z ? 96 ,求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.

18.(本小题满分 13 分) 如图,在六面体 A B C D E F G 中,平面 ABC ∥平面 DEFG , AD ? 平面 DEFG , AB ? AC , ED ? DG , EF ∥ DG ,且 AC ? EF ? 1 , AB ? AD ? DE ? DG ? 2 . (1)求证:平面 BEF ? 平面 DEFG ; (2)求证: BF ∥平面 ACGD ; (3)求三棱锥 A ? B C F 的体积.

第 18 题图 19.(本小题满分 12 分) 已知数列 ? a n ? 的各项均为正数,且前 n 项之和 S n 满足 6 S n ? a n ? 3 a n ? 2 ,且 a 2 ,a 4 ,a 9
2

成等比数列.

第 -3- 页

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)若数列 b n ? 2 的前 n 项和为 T n ,求 T n .
an

20.(本小题满分 13 分) 函数 f ( x ) ? x ? ( a ? 1) x ? a , g ( x ) ? x ln x .
3

(Ⅰ)若 y ? f ( x ) , y ? g ( x ) 在 x ? 1 处的切线相互垂直,求这两个切线方程; (Ⅱ)若 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 单调递增,求 a 的范围.

21.(本小题满分 13 分) 等差数列 ? a n ? 中, 首项 a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , n 项和为 S n , 前 已知数列 a k , a k , a k , ? , a k , ? 成
1 2 3 n

等比数列,其中 k1 ? 1 , k 2 ? 2 , k 3 ? 5 . (Ⅰ)求数列 ? a n ? , ? k n ? 的通项公式; (Ⅱ) b n ? 令
an 2kn ? 1

, 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 T n . 若存在一个最小正整数 M, 使得当 n ? M

时, S n ? 4Tn ( n ? N * )恒成立,试求出这个最小正整数 M 的值.

第 -4- 页

蚌埠二中 2011—2012 学年度高三 12 月月考 数学(文科)参考答案
一、选择题 1. D 2. D
2 ? 15 6

3. A

4. C

5. B

6. A

7. D

8. B

9. A

10. D

二、填空题 11. 12. 1 6 13. a n ? 1 ? ( ) ( n ? N )
n

1

?

2

14. a ? b

15 . 2 47

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (I) BA ? (cos x ? ? ?
??? ? ? ? B A与 a共 线 ,

3 sin x ,1 ? cos 2 x ? cos x ).
2

? 1 ? cos 2 x ? cos x ? 0即 2 cos
? cos x ? 0 或 cos x ? 1 2

x ? cos x ? 0 .

又? x ? ( 0 , ? ), ? x ?
??? ? ? (II)? B A ? a ,

?
2

或x ?

?
3

?? ?

3 sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?
6

.)

? 0 ? x ? ? ,? ? ?? 1 ? sin( x ?

?
6

? x? )?1

?
6

?

5? 6

.

?
6

2 ? ?1 ? ? ? 2.

? ? 的取值范围是

(? 1, 2 ]

17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由
x 900 ? 0 . 16 ,解得 x ? 144 .

(2)第三批次的人数为 y ? z ? 900 ? (196 ? 204 ? 144 ? 156 ) ? 200 , 设应在第三批次中抽取 m 名,则 ∴应在第三批次中抽取 12 名. (3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为 A ,第三批次女教职工和男教职工数 记为数对 ( y , z ) ,由(2)知 y ? z ? 200, ( y , z ? N , y ? 96, z ? 96) ,则基本事件总数有:
( 96 ,104 ), ( 97 ,103 ), ( 98 ,102 ), ( 99 ,101 ), (100 ,100 ), (101 ,99 ), (102 ,98 ), (103 ,97 ), (104 ,96 ) ,共 9 个,
m 200 ? 54 900

,解得 m ? 1 2 .

而事件 A 包含的基本事件有: (101, 99), (102, 98), (103, 97), (104, 96) 共 4 个, ∴ P ( A) ?
4 9

.

第 -5- 页

18. (本小题满分 13 分) 解:(1)∵平面 ABC ∥平面 DEFG ,平面 ABC ? 平面 ADEB ? AB , 平面 DEFG ? 平面 ADEB ? DE ? AB // DE . Q A B ? D E ? AB ? DE , ∴ ADEB 为平行四边形, BE // AD . ? AD ? 平面 DEFG ,? BE ? 平面 DEFG , ? BE ? 平面 BEF , ∴平面 BEF ? 平面 DEFG . (2)取 D G 的中点为 M ,连接 A M 、 F M , 则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行四边形, ∴ DE // FM ,又∵ AB // DE , ∴ AB // FM ∴四边形 ABFM 是平行四边形,即 BF // AM , 又 B F ? 平面 A C G D 故 B F∥ 平面 A C G D . (3)? 平面 ABC ∥平面 DEFG ,则 F 到面 ABC 的距离为 AD.
V A ? BCF ? V F ? ABC ? 1 3 ? S ? ABC ? A D = 1 3 ?( 1 2 ?1 ? 2 ) ? 2 ? 2 3

19. (本小题满分 12 分)

(II) b n ? 2

3n?2

,公比 q ? 8 ,所以前 n 项和为 Tn ?

2(1 ? 8 )
n

1? 8

?

2 7

(8 ? 1)
n

20. (本小题满分 13 分) 解: (I) f ?( x ) ? 3 x ? ( a ? 1) , g ?( x ) ? ln x ? 1 高考资源网 w。w-w*k&s%5¥u ∴ f ?(1) ? 2 ? a g ?(1) ? 1
2

∵两曲线在 x ? 1 处的切线互相垂直 ∴ (2 ? a ) ? 1 ? ?1 ∴ a ?3 ∴ f ?(1) ? ? 1 f (1) ? 0 ∴ y ? f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 , 同理, y ? g ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 (II) 由 F ( x ) ? x ? ( a ? 1) x ? a ? x ln x
3

得 F ?( x ) ? 3 x ? ( a ? 1) ? ln x ? 1 ? 3 x ? ln x ? a ? 2 ∵ F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 单调递增 ∴ F ?( x ) ? 0 恒成立
2 2

即 a ? 3 x ? ln x ? 2
2

令 h ( x ) ? 3 x ? ln x ? 2 %5¥u
2

h ?( x ) ? 6 x ?

1 x

( x ? 0)

令 h ?( x ) ? 0 得 x ?
1 2 ln 6

6 6

,令 h ?( x ) ? 0 得 0 ? x ?
3 2 ? 1 2 ln 6

6 6

∴ h ( x ) min ? h (

6 6

)? ?

3 2

?

∴ a 的范围为 ? ? ? , ?

?

21. (本小题满分 13 分)
第 -6- 页

解: (Ⅰ)由 a 22 ? a1 ? a 5 ,得 (1 ? d ) 2 ? 1 ? (1 ? 4 d ) ,解得 d ? 2 ,? a n ? 2 n ? 1 ,
a k n ? 2 k n ? 1 ,又在等比数列中,公比 q ?

a2 a1

? 3 ,∴ a k n ? 3

n ?1



? 2kn ? 1 ? 3

n ?1

,? k n ?
an ? 3

3

n ?1

?1



2
n ?1

(Ⅱ) b n ? 则 Tn ?
1 3 2 3 Tn ? 1 3 1 3
1 0

2n ? 1

2kn ? 1

, ,
? 2n ? 1 3 2 3
n ?1 n

? ?

3 3 3
1

? ?

5 3 5 3
3 2

?? ? ?? ?

2n ? 1 3 2n ? 3 3
n ?1 n ?1

3 2 3
1

2



两式相减得:
Tn ? 1 ?
1 ?1? 2? 3

?
1 3
n

2 3
2

?

2 3
3

?? ?

?

2n ? 1 3
n

? 2 3

?

2n ? 1 3
n

? 2?

2n ? 2 3
n



∴ Tn ? 3 ?

n ?1 3
n ?1


n?2 3
n

∵ Tn ? 1 ? Tn ? 3 ?

? (3 ?

n ?1 3
n ?1

)?

2n ? 1 3
n

?0,

∴ T n 单调递增,∴ 1 ? Tn ? 3 .又 S n ? n 2 在 n ? N * 时单调递增. 且 S1 ? 1 , 4T1 ? 4 ; S 2 ? 4 , 4T2 ? 8 ; S 3 ? 9 , 4T3 ?
92 9

; S 4 ? 16 ? 12 , 4T4 ? 12 ;….

故当 n ? 3 时, S n ? 4Tn 恒成立,则所求最小正整数 M 的值为 3.

第 -7- 页


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