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2012届江苏省南京市高三9月学情调研(数学)


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南京市 2012 届高三第一次调研测试 数 学 2011.09
注意事项: 1.本试卷共 160 分.考试用时 120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后,交回答题纸. 参考公式: 一组数据的方差 s ?<

br />2

1 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? n

? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为这组数据的平均

数. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)

10? ? 。 3 m ? 2i (m ? R, i是虚数单位) 为纯虚数,则 m= 2.若复数 1? i
1.计算 cos



3.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,8,10,11,9.已知这组数据的平均 数为 10,则其方差为 。 4.已知等比数列{an}的各项均为正数.若 a1=3,前三项的和为 21,则 a4+a5+a6= 。

, 2, 3, 4} , 5. 设 P 和 Q 是 两 个 集 合 , 定 义 集 合 P ? Q ? {x | x ? P, 且x ? Q} . 若 P ? {1

Q ? {x | x ?

1 ? 2, x ? R} ,则 P ? Q ? 2

。 。

6.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 I 为

S ← 1 I ← 1 While S<5

S ?S?
End While Print I 7.已知扇形的周长为 8cm,则该扇形面积的最大值为 8.过椭圆 cm 。
2

I ?1 I I ? I ?1

第(6)题

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线,与该椭圆的另一个交点为 a 2 b2


M,与 y 轴的交点为 B.若 AM=MB,则该椭圆的离心率为

9.若方程 lg | x |? ? | x | ?5 在区间 (k , k ? 1)(k ? R) 上有解,则满足所有条件的 k 的值的和 为 。 10.如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正 0 南方向.海上停泊着两艘轮船,甲位于灯塔 A 的北偏西 75 方向,与 A 相距 D A C

3 2 海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 600 方向,与 B 相距 5 海里的 C
处.则两艘船之间的距离为
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海里.
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B

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11.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 为棱 AA1 的中点.若截面△BC1D 是面积为 6 的直 角三角形,则此三棱柱的体积为 。 A1 B1

C1

D A

C B 第(11)题

12.设 p:函数 f ( x) ? 2

| x ?a|

在区间 (4, ??) 上单调递增;q: loga 2 ? 1 .如果“ ? p ”是真命

题,“p 或 q”也是真命题,那么实数 a 的取值范围是 。 13.如图,在正方形 ABCD 中,已知 AB=2,M 为 BC 中点.若 N 为正方形内(含边界)任意 一点,则 AM AN 的最大值是 。 D N M C

A 第(13)题 14.已知函数 f ( x) ? ax ? x , x ? [ ,1] , A,B 是其图象上不同的两点.若直
4

B

1 2

线 AB 的斜率 k 总满足

1 ? k ? 4 ,则实数 a 的值是 2



二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 14 分) 某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员,某些队员不止参加了一支球队, 具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,球: (1)该队员只属于一支球队的概率; 羽毛球 (2)该队员最多属于两支球队的概率; 篮球 2 5 1 3 2 3

4 乒乓球

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16.(本题满分 14 分) 0 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60 ,Q 为 AD 中点. (1)若 PA=PD,求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (2)点 M 在线段 PC 上,PM=tPC,试确定实数 t 的值,使得 PA//平面 MQB. P M

Q A 17.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3 sin x cos x . (1)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

D O B

C

, ] 上的值域; 6 3 (2)在△ABC 中,若 f (C ) ? 2 , 2sin B ? cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ,求 tan A 的值.

? ?

18.(本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y 2 ? 2 px 上横坐标为 4 的点到该抛物线的焦点 的距离为 5. (1)求抛物线的标准方程; (2)设点 C 是抛物线上的动点.若以点 C 为圆心的圆在 y 轴上截得的弦长为 4,求证: 圆 C 过定点.

19.(本题满分 16 分)
2 设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? a | ln x ?1| . (1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程;

(2)当 x ? [1, ??) 时,求函数 f ( x ) 的最小值.

20.(本题满分 16 分) 在数列 {an } 中,已知 a1 ? p ? 0 ,且 an?1 ? an ? n2 ? 3n ? 2, n ? N * . (1)若数列 {an } 为等差数列,求 p 的值; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ;

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(3)当 n ? 2 时,求证: ?
i ?1

n

2 n ?1 . ? ai2 n ? 1

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南京市 2012 届高三第一次调研测试 数学附加题 2011.09
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后,交回答 题纸. 21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题 .. 纸指定区域内 作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知四边形 ABCD 内接于⊙O,EF//CD,FG 切⊙O 于点 G.求证 EF=FG. D A E

.O
B G F

C

B. 选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 M ? ?

?0 1? ? 0 ?1? ,N ?? 设直线 2 x ? y ? 1 ? 0 在 ? ? .在平面直角坐标系中, ?1 0? ?1 0 ?

矩阵 MN 对应的变换作用下得到曲线 F,求曲线 F 的方程.

C. 选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? 4 ? 2t x2 ? y 2 ? 1上任意一点, 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),P 是椭圆 4 ? y ?t ?2
求点 P 到直线 l 距离的最大值.

D. 选修 4—5:不等式选讲
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已知 a,b 为正数,求证:

1 4 9 ? ? . a b a?b

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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 请在答题纸指定区域内 作答,解 ........ 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 2 22.已知圆 F 2 (1,0) .动圆 M 过点 F2,且与圆 F1 相内切. 1 : ( x ? 1) ? y ? 16 ,定点 F

(1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)若过原点的直线 l 与(1)中的曲线 C 交于 A,B 两点,且△ABF1 的面积为 求直线 l 的方程. y

3 , 2

M F1 O F2 x

23.


2 n 3


2

? a0 ? a x ? ? a x ? ? a x ? 1 ? ?a n ? n? N . ) 1n x ? (1)当 n ? 5 时,求 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 的值; a , Tn ? b2 ? b3 ? b4 ? ? bn . 试 用 数 学 归 纳 法 证 明 : 当 n ? 2 时 , ( 2 ) 设 bn ? n2 2 ?3 n( n ? 1) (n? 1) Tn ? . 3
n

(x ?

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南京市 2012 届高三第一次模拟考试
数学参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1 1.- 2.2 3.2 4.168 5.{4} 2 7.4 13.6 8. 6 3 9.-1 10. 13 11.8 3

2011.9
6.5 12.(4,+∞)

9 14. 2

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分 14 分) 解:从图中可以看出,3 个球队共有 20 名队员.????????????????2 分 (1)记“随机抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件 A. ??????4 分 3+5+4 3 则 P(A)= = . 20 5 3 答:随机选取一名队员,只属于一支球队的概率为 . ?????????????8 分 5 (2)记“随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件 B. ????10 分 - 2 9 则 P(B)=1-P( B )=1- = . 20 10 9 答:随机抽取一名队员,该队员最多属于两支球队的概率为 . ????????14 分 10 16.(本题满分 14 分) 证明:(1)因为 PA=PD,Q 为 AD 的中点,所以 PQ?AD. 连接 BD,因为 ABCD 为菱形,?DAB=60?,所以 AB=BD.所以 BQ?AD.???2 分 因为 BQ? 平面 PQB,PQ? 平面 PQB,BQ∩PQ=Q.所以 AD?平面 PQB.????2 分 因为 AD? 平面 PAD,所以平面 PQB?平面 PAD.???????????????2 分 1 (2)当且仅当 t= 时,PA∥平面 MQB.????????????????2 分 3 证明如下: 连接 AC,设 AC∩BQ=O,连接 OM. 在△AOQ 与△COB 中, 因为 AD∥BC, 所以 ?OQA=?OBC,?OAQ=?OCB. 所以△AOQ∽△COB. AO AQ 1 AO 1 所以 = = .所以 = . ??2 分 OC CB 2 AC 3 A P M

Q

D O B

C

1 CO CM 2 在△CAP 与△COM 中,当 t= 时,因为 = = ,?ACP=?OCM, 3 CA CP 3 所以△CAP∽△COM.所以 ?CPA=?CMO.所以 AP∥OM. ????????2 分 因为 OM? 平面 MQB,PA? / 平面 MQB,

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1 所以 PA∥平面 MQB.以上每步可逆,当 PA∥平面 MQB 可得 t= 3 17.(本题满分 14 分)

?????2 分

解:(1)f(x)=1+cos2x+ 3sin2x=2sin(2x+ )+1. ????????????3 分 6

?

? ? ? ? 5? 因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ .?????????????????5 分 6 3 6 6 6
1 ? ? 所以- ≤sin(2x+ )≤1.所以-1≤2sin(2x+ )≤2 2 6 6 所以 f(x)∈[0,3].即函数 f(x)在[- , ]上的值域为[0,3].?????????7 分 6 3

? ?

? ? 1 (2)由 f(C)=3 得,2sin(2C+ )+1=2,所以 sin(2C+ )= . 6 6 2 ? ? 13? 在△ABC 中,因为 0<C<?,所以 <2C+ < . 6 6 6
2? ? 5? ? 所以 2C+ = .所以 C= ,所以 A+B= . ???????????????9 分 6 6 3 3 因为 2sinB=cos(A-C)-cos(A+C).所以 2sinB=2sinAsinC. ???????11 分 2? 2? ? 因为 B= -A,C= .所以 2sin( -A)= 3sinA. 3 3 3 即 3cosA+sinA= 3sinA.即( 3-1)sinA= 3cosA. 3+ 3 sinA 3 所以 tanA= = = .???????????????????14 分 cosA 2 3-1 18.(本题满分 16 分) p 解:(1)根据题意,抛物线 y2=2px 的准线方程为 x=- ,且 p>0. ????2 分 2 p 因为抛物线上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,所以该点到准线 x=- 的距离也为 2 5.所以 p=2. 故所求抛物线的标准方程为 y2=4x.
2

??????????????5 分

t (2)因为点 C 在抛物线上,故可设点 C 为( ,t). 4 t2 所以点 C 到 y 轴的距离为 . 4 因为圆 C 在 y 轴上截得的弦长为 4,所以圆 C 的半径 r=
2

?t ? +22=1 t4+64. 4 ?4?

2 2

?????????????????8 分 t 1 所以圆 C 的方程为(x- )2+(y-t)2=( t4+64)2. 4 4 t2 即 x2+y2- x-2ty+t2-4=0. ??????????????????????10 分 2 (方法一)因为圆 C 是动圆. 所以当 t=0 时,圆 C 的方程为 x2+y2-4=0,
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当 t=2 时,圆 C 的方程为 x2+y2-2x-4y=0.
?x2+y2-4=0 , 联立①②,得? 2 2 ?x +y -2x-4y=0.

② 6

?x=2, 解得? 或 ?y=0,

?x=-5, ? 8 ????????14 分 ?y=5.

t2 把(2,0)代入圆 C 方程,左边=22+02- ?2-2t?0+t2-4=0=右边,方程成立,所以圆 2 C 恒过定点(2,0). 6 8 8 16 把(- , )代入圆 C 的方程得,左边= t2- t 不恒为 0,即随着 t 的变化而变化. 5 5 5 5 6 8 故点(- , )可能不在圆 C 上. 5 5 所以圆 C 恒过定点(2,0).
2

?????????????????????16 分

t (方法二)将方程 x2+y2- x-2ty+t2-4=0 整理为 2 x (1- )t2-2yt+(x2+y2-4)=0. 2 x ① ????????14 分

?1-2=0, ①式对任意实数 t 都成立的充要条件是?-2y=0, ?x +y -4=0.
2 2

?x=2, 即? ?y=0.

所以圆 C 恒过定点(2,0). 19.(本题满分 16 分) 解:(1)当 a=1 时,f(x)=x2+|lnx-1|.

????????????????16 分

1 当 0<x<e 时,f(x)=x2-lnx+1,f ?(x)=2x- . ??????????????2 分 x 令 x=1 得 f(1)=2,f ?(1)=1,所以切点为(1,2),切线的斜率为 1. 所以曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 x-y+1=0. ?????????????5 分 a (2) ①当 x≥e 时,f(x)=x2+alnx-a,f?(x)=2x+ (x>e). x 因为 a>0,所以 f?(x)>0 恒成立.所以 f(x)在[e,+∞)上为增函数. 故当 x=e 时,ymin=f(e)=e2. ????????????????????????7 分 ②当 x≤e,即 x∈[1,e]时, a 2 f(x)=x2-alnx+a,f ?(x)=2x- = (x+ x x (i)当 a )(x- 2 a )(1<x<e). 2

a ≤1,即 0<a≤2 时,f ?(x)在 x∈(1,e)时为正数,所以 f(x)在[1,e]上为增 2 a <e,即 2<a<2e2 时,f ?(x)在 x∈(1, 2 a )上为减函数,在( 2 a )时为负数,在 x∈( 2 a ,e)时 2

函数.故当 x=1 时,ymin=1+a,且此时 f(1)<f(e). (ii)当 1<

为正数,所以 f(x)在[1, 故当 x=

a ,e]上为增函数. 2 a )<f(e). 2

a 3a a a 时,ymin= - ln ,且此时 f( 2 2 2 2

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(iii)当

a ≥e, 即 a≥2e2 时, f ?(x) 在 x∈(1, e)时为负数, 所以 f(x)在[1, e]上为减函数. 在 2

故当 x=e 时,ymin=f(e)=e2.????????????????????????13 分 综上所述, 当 a≥2e2 时,f(x)在 x≥e 时和 1≤x≤e 时的最小值都是 e2,所以此时 f(x)的最小值 f(e) =e2; 当 2<a<2e2 时, f(x)在 x≥e 时最小值为 e2, 在 1≤x≤e 时, 最小值为 f( 而 f( a )<f(e),所以此时 f(x)的最小值 f( 2 a 3a a a )= - ln . 2 2 2 2 a 3a a a )= - ln( ), 2 2 2 2

当 0<a≤2 时,f(x)在 x≥e 时最大值为 e2,在 1≤x≤e 时最小值为 f(1)=1+a,而 f(1) <f(e),所以此时 f(x)的最小值为 f(1)=1+a. +a,(0<a≤2), ?1 3a a a =? 2 -2ln2,(2<a≤2e ),????????16 分 ?e ,(a>2e ).
2 2 2

所以函数 y=f(x)的最小值为 ymin

20.(本题满分 16 分) 解:(1)设数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd. 由题意得,[a1+(n-1)d](a1+nd)=n2+3n+2 对 n∈N*恒成立. 即 d2n2+(2a1d-d2)n+(a12-a1d)=n2+3n+2.

? ?d =1,2 ?d=1, ?d=-1, 所以?2a1d-d =3,即? 或? ?a1=2, ?a1=-2. ? ?a12-a1d=2,
因为 a1=p>0,故 p 的值为 2. ????????????????????3 分 (2)因为 an+1?an=n2+3n+2=(n+1)(n+2),所以 an+2?an+1=(n+2)(n+3). an+2 n+3 所以 = . ??????????????????????????5 分 an n+1 a3 4 a5 6 an n+1 ①当 n 为奇数,且 n≥3 时, = , = ,?, = . a1 2 a3 4 an-2 n-1 n+1 an n+1 相乘得 = ,所以 an= p.当 n=1 时也符合. a1 2 2 a4 5 a6 7 an n+1 ②当 n 为偶数,且 n≥4 时, = , = ,?, = . a2 3 a4 5 an-2 n-1 n+1 an n+1 相乘得 = ,所以 an= a. a2 3 3 2 2(n+1) 6 因为 a1?a2=6,所以 a2= .所以 an= ,当 n=2 时也符合. p p 1 p,(n为奇数) ? n+ 2 所以数列{a }的通项公式为 a =? 2(n+1) ? p ,(n为偶数)
n n

2

?????????7 分

n n n (1+ ) (3+n+1) 2 2 22 6 10 n 2(n+1) 当 n 为偶数时,Sn=p+ +2p+ +?+ p+ =p? + ? p p 2 p 2 p 2
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n(n+2) n(n+4) p+ . 8 2p

6 10 14 2n n+1 当 n 为奇数时,Sn=p+ +2p+ +3p+ +?+ + p p p p p 2 n+1 n+1 n-1 (1+ ) (3+n) 2 2 (n+1)(n+3) (n-1)(n+3) 2 2 =p? + ? = p+ . 2 p 2 8 2p n+3) (n-1)(n+3) p+ ,(n为奇数) ?(n+1)( 8 2p 所以 S =? n(n+2) n(n+4) ? 8 p+ 2p ,(n为偶数).
n n

?????????10 分

(3)当 n 为偶数时,∑

2 2 2 2 2 2 1 1 1 + +?+ ) 2= 2+ 2+ 2+?+ 2+ 2≥4( a1 a2 a3 a1a2 a3a4 an-1 an an-1an i=1 ai 1 1 1 =4[ + +?+ ] 2×3 4×5 n×(n+1) 1 1 1 1 1 >2[ + + +?+ + ] 2×3 3×4 4×5 n×(n+1) (n+1)×(n+2) 1 1 1 1 1 1 n =2( - + - +?+ - )= .????13 分 2 3 3 4 n+1 n+2 n+2
n

当 n 为奇数,且 n≥2 时, ∑

+ 2 2= 2+ 2+ 2+?+ a1 a2 a3 an-12 an i=1 ai

2

2

2

2

2

2

1 1 1 2 1 1 1 ≥4( + +?+ )+ 2>4( + +?+ ) a1a2 a3a4 an-2an-1 an 2×3 4×5 (n-1)×n n-1 1 1 1 1 >2( + +?+ + )= . 2×3 3×4 (n-1)×n n×(n+1) n+1 ??????????????????????15 分 n-1 n 又因为对任意 n∈N*,都有 < , n+1 n+2
n

故当 n≥2 时,∑

.??????????????????????16 2> n+1 i=1 ai

2

n-1



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南京市 2009 届高三第一次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准
1.(几何证明选讲)(本题满分 10 分) 证明:因为 FG 切⊙O 于点 G,所以 FG2=FB· FA.?????????????2 分 因为 EF∥CD,所以∠BEF=∠ECD. 又 A、B、C、D 四点共圆,所以∠ECD=∠EAF,所以∠BEF=∠EAF.???5 分 又∠EFA=∠BFE,所以△EFA∽△BFE. ????????????7 分 EF FB 所以 = ,即 EF2=FB· FA. AF FE 所以 FG2= EF2,即 EF=FG..??????????????????????10 分 2.(矩阵与变换)(本题满分 10 分) 1? ?0 -1? ?1 0? ? ? ?=? ?.??????????????3 分 0? ?1 0? ?0 -1? 设(x,y)是直线 2x-y+1=0 上任意一点,点(x,y) 在矩阵 MN 对应的变换作用下变为 (x?,y?), ?x=x?, ?1 0? ?x? ?x?? ? x? ?x?? 则有? ? ? ?=? ?,即? ?=? ?,所以?y=-y?.??????????7 分 ? ? ? ?0 -1? y ?y?? ?-y? ?y?? 因为点(x,y)在直线 2x-y+1=0 上,从而 2 x?-(-y?)+1=0,即 2x?+y?+1=0. 所以曲线 F 的方程为 2x+y+1=0. ??????????????????10 分 解:由题设得 MN=?

2009.3

?0 ?1

3.(坐标系与参数方程)(本题满分 10 分)
?x=4-2t, 解:直线 l 的参数方程为? (t 为参数),故直线 l 的普通方程为 x+2y=0.?2 分 ?y=t-2

x2 因为 P 是椭圆 +y2=1 上任意一点,故可设 P(2cos? ,sin?)其中 ?∈R.????4 分 4 2 2∣sin(?+ )∣ 4 ∣2cos?+2sin?∣ 因此点 P 到直线 l 的距离是 d= = .????8 分 2 2 5 1 +2 2 10 ? 所以当 ?=k?+ ,k∈Z 时,d 取得最大值 . ?????????????10 分 4 5

?

4.(不等式选讲)(本题满分 10 分) 证明:(方法一)因为 a>0,b>0, 1 4 b 4a 所以(a+b)?( + )=5+ + ????????????????????4 分 a b a b ≥5+2 b 4a × =9.?????????????????8 分 a b

1 4 9 所以 + ≥ .??????????????????????????10 分 a b a+b (方法二)因为 a>0,b>0,

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1 4 由柯西不等式得(a+b)?( + )=[( a)2+( b)2]?[ ( a b ≥( a? 1 + b? a

12 ) +( a

42 )] b

????5 分

42 ) =9. ??????????????8 分 b

1 4 9 所以 + ≥ .??????????????????????????10 分 a b a+b (方法三)因为 a>0,b>0,

b(a ? b )? 4 aa ( ? b ?) ab 9 1 4 9 ? ? ???????????????? ? 4 分 ? a b a ? b ab(a ? b)

?

4a 2 ? 4ab ? b2 (2a ? b)2 ? ?0 ab(a ? b) ab(a ? b)

???????????

8分

1 4 9 所以 + ≥ .?????????????????????????? 10 分 a b a+b 5.(本题满分 10 分) 解:(1)设圆 M 的半径为 r. 因为圆 M 与圆 F1 相内切,所以 MF1=4-r. 因为圆 M 过点 F2,所以 MF2=r. 所以 MF1=4-MF2,即 MF1+MF2=4. 所以点 M 的轨迹 C 是以 F1,F2 为焦点的椭圆. ????????3 分 2 x y2 且此椭圆的方程形式为 2+ 2=1(a>b>0). a b 其中 2a=4,c=1,所以 a=2,b= 3. x2 y2 所以曲线 C 的方程 + =1.?????5 分 4 3 (2)(方法一)当直线 l 的斜率不存在时, A,B 两点的坐标分别是(0, 3),(0,- 3), 此时 S△ABF1= 3≠ 3 ,不合题意.?????????????????????6 分 2 12k2 , 3+4k2 y

M F1 O F2 x

x2 y2 设直线 l 的方程为 y=kx (k≠0),代入椭圆方程 + =1,得 y1= 4 3 y2=- 12k2 . 3+4k2

1 1 1 所以 S△ABF1=S△AOF1+S△BOF1= OF1?∣y1∣+ OF1?∣y2∣= OF1?(y1-y2)= 2 2 2 3 ,所以 2
2

12k2 . 3+4k2

因为 S△ABF1=

?????????????????8 分 12k 3 1 = .解得 k=± . 2 3+4k2 2

故所求直线 l 的方程为 x±2y=0.????????????????????10 分 (方法二)因为直线 l 过椭圆的中心,由椭圆的对称性可知,S△ABF1=2SAOF1.

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因为 S△ABF1=

3 3 ,所以 SAOF1= . 2 4

????????????6 分

1 3 不妨设点 A(x1,y1)在 x 轴上方,则 SAOF1= ?OF1?y1= . 2 4 所以 y1= 3 3 3 ,x1=± 3,即点 A 的坐标为( 3, )或(- 3, ).?????8 分 2 2 2

1 所以直线 l 的斜率为± . 2 故所求的直线 l 的方程为 x±2y=0.???????????????????10 分 (方法三)当直线 l 的斜率不存在时, A,B 两点的坐标分别是(0, 3),(0,- 3), 此时 S△ABF1= 3≠ 3 ,不合题意.?????????????????????6 分 2

12 x2 y2 2 设直线 l 的方程为 y=kx (k≠0),代入椭圆方程 + =1,得 x ? , 4 3 4k 2 ? 3
所以 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 4 3

k 2 ?1 , 4k 2 ? 3

F1 到直线 AB 的距离 d=

k k 2 ?1

,

1 3k 2 所以 S△ABF1= ? AB ? d =2 2 3 ? 4k 2
所以 12k2 3 1 .解得 k=± . 2= 2 2 3+4k

???????8 分

??????????9 分

故所求直线 l 的方程为 x±2y=0.????????????????????10 分 6.(本题满分 10 分) 解:(1)当 n=5 时, 原等式变为(x+1)5=a0+a1(x-1)+ a2(x-1)2+ a3(x-1)3+a4(x-1)4+ a5(x-1)5. 令 x=2 得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=35=243.??????????????3 分 (2)因为(x+1)n=[2+(x-1)]n, 所以 a2=Cn?2n 2.


2

a2 2 所以 bn= n-3=2Cn=n(n-1)(n≥2).?????????????????5 分 2 2(2+1)( 2-1) ①当 n=2 时,左边=T2=b1+b2=2,右边= =2,左边=右边,等式成 3 立. ????????????????????6 分 k(k+1)( k-1) ②假设当 n=k(k≥2,k∈N*)时,等式成立,即 Tk= , 3 那么,当 n=k+1 时, k(k+1)( k-1) k(k+1)( k-1) 左边=Tk+bk+1= +(k+1)[(k+1)-1]= +(k+1)k 3 3

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k-1 k(k+1)( k+2) (k+1)[( k+1)+1][(k+1)-1] =k(k+1)( +1)= = 3 3 3 =右边. 当 n=k+1 时,等式成立. n(n+1)( n-1) 综合①②,当 n≥2 时,Tn= . 3

???????????10 分

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