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1.3.3函数的最值 课件


一、复习与引入
1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: ①如果在x0附近的左侧 f ?( x) ? 0 右侧 f ?( x) ? 0 ,那么,f(x0) 是极大值; ②如果在x0附近的左侧 f ?( x ) ? 0 右侧 f ?( x) ? 0 ,那么,f(x0) 是极小值. 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到. 3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.

二、新课——函数的最值
y

观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 发现图中____________是极小值,_________是极 f(b) 大值,在区间上的函数的最大值是______,最小值 f(x3) 是_______。
2 3

问题在于如果在没有给出函数图象的情况下,怎 样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?

导数的应用-----求函数最值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)

(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其 中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值 (极小值)不一定就是最大值(最小值).

三、例题选讲

例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大 值与最小值.
y? ? 4 x 3 ? 4 x. 解:

令 y? ? 0 ,解得x=-1,0,1. 当x变化时, y?, y 的变化情况如下表: x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y’ 0 + 0 - 0 + y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表可知,最大值是13,最小值是4.

例2、函数 y = x? 3 x? + -9x在 [-4 , 4 ]上的最大值 为 ,最小值为 .
分析: (1) 由 f ?(x)=3x? +6x-9=0, 得x1=-3,x2=1

函数值为f (-3)=27, f (1)=-5
(2) 区间[-4 , 4 ]端点处的函数值为 f (-4) =20 , f (4) =76

当x变化时,y′ 、 y的变化情况如下表: x y′ y -4 (-4,-3) + 20 -3 (-3,1) 1 (1,4) 4 0 0 + 0 76 27 -5

比较以上各函数值, 可知函数在[-4 , 4 ]上的最大值为 f (4) =76, 最小值为 f (1)=-5

练习:
求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:

(1) f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 18x ? 7 , x ??? 2 , 4?
3 2

最大值 f (-1)=3,最小值 f (3)= -61

五、小结
1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的 最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值. 2.求函数的最值时,应注意以下几点: (1)要正确区分极值与最值这两个概念. (2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未 必有最大值与最小值. (3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不 要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值 和f(a)、f(b)放在一起比较.


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