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2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)


2.2.2(二)

2.2.2
【学习要求】

双曲线的简单几何性质(二)

1.了解直线与双曲线的位置关系及其判定方法. 2.会求直线与双曲线相交所得的弦长、弦中点等问题. 【学法指导】 在与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质,进一步体会数 形结合的思想,掌握利用方程研究曲线性质的基本方法, 培养分析、归纳、推

理等能力.

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填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.2(二)

1.直线与双曲线的位置关系及判定 直线:Ax+By+C=0, x2 y2 双曲线: 2- 2=1(a>0,b>0), a b 两方程联立消去 y,得 mx2+nx+q=0. 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 1 个或 2 个 1个 0个 判定方法 ? ? m ≠0 m=0 或? ? ?Δ>0

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m≠0且Δ=0 m≠0且Δ<0

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2.2.2(二)

2.弦长公式 设斜率为 k 的直线 l 与双曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,则:|AB|= 1 1+ 2|y1-y2|(k≠0). k

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1+k2|x1-x2|

,或|AB|=

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2.2.2(二)

题型一

直线与双曲线的位置关系

例 1 已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=1 有且仅有一个 公共点,k 为何值? ? ?y=kx-1, 解 由? 2 2 ?(1-k2)x2+2kx-2=0. ? ?x -y =1

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当 1-k2≠0 时,即 k≠± 1 时, ∵直线和双曲线只有一个交点, ∴Δ=0,解得 k=± 2.
当 k=± 1 时,直线和双曲线的渐近线平行,它们有且只有一 个交点.
综上,k=± 1 或 k=± 2.

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2.2.2(二)

小结

判定直线与双曲线是否相交、相切、相离时应注意:

(1)直线与双曲线相交时,有一个交点或两个交点之分;

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(2)直线与双曲线有一个公共点时,有相交或相切之分. 故直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要 不充分条件.

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2.2.2(二)

跟踪训练 1

(1)已知双曲线 C:x2-y2=1,F 是其右焦点,

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过 F 的直线 l 只与双曲线的右支有唯一的交点,则直线 l ±1 的斜率等于________.

解析

当直线 l 与双曲线的渐近线平行时,与双曲线的右支

有唯一交点,直线 l 的斜率为± 1.

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2.2.2(二)

(2)已知直线 y=kx 与双曲线 4x2-y2=16.当 k 为何值时,直 线与双曲线: ①有两个公共点;②有一个公共点;③没有公共点.

? ?y=kx 由? 2 2 ? ?4x -y =16

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消去 y,得(4-k2)x2-16=0

(*).

当 4-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)无解.

当 4-k2≠0 时,Δ=-4(4-k2)×(-16)=64(4-k2),
当 Δ>0,即-2<k<2 时,方程(*)有两解;

当 Δ<0,即 k<-2 或 k>2 时,方程(*)无解;

2.2.2(二)

当 Δ=0,且 4-k2≠0 时,不存在这样的 k 值.
综上所述,①当-2<k<2 时,直线与双曲线有两个公共点; ②不存在使直线与双曲线有一个公共点的 k 值; ③当 k≤-2 或 k≥2 时,直线与双曲线没有公共点.

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题型二 双曲线中的相交弦问题 例 2 已知曲线 C:x2-y2=1 和直线 l:y=kx-1.

2.2.2(二)

(1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的 面积为 2,求实数 k 的值.

? ?y=kx-1, (1)由? 2 2 ? ?x -y =1,

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得(1-k2)x2+2kx-2=0.

∵直线与双曲线有两个不同的交点,
2 ? ?1-k ≠0, ∴? 2 2 ? 4 k + 8 ? 1 - k ?>0, ?

解得- 2<k< 2,且 k≠± 1,
∴k 的取值范围为(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2).

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(2)结合(1),设 A(x1,y1),B(x2,y2). -2 2k 则 x1+x2=- ,x x = , 1-k2 1 2 1-k2
∴|AB|= 1+k2|x1-x2|
? 2k ? 8 ? ?2 - ? 1-k2? +1-k2 ? ?

2.2.2(二)

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= 1+k ·

2



?1+k2??8-4k2? . 2 2 ?1-k ?

1 ∵点 O 到直线 l 的距离 d= 2, 1+k
1 1 ∴S△AOB= |AB|d= 2 2 8-4k2 = 2, ?1-k2?2

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2.2.2(二)

即 2k4-3k2=0.
6 ∴k=0 或 k=± . 2

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6 6 ∴适合题意的 k 的取值为 0, ,- . 2 2 小结 直线与双曲线相交的题目,一般先联立方程组,消去

一个变量,转化成一元二次方程,由根与系数的关系以及判 别式求解.若与向量有关,则将向量用坐标表示,并寻找其坐

→⊥OB →?x x +y y =0, 标间的关系如OA 结合根与系数关系求解. 1 2 1 2

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2.2.2(二)

x2 y 2 跟踪训练 2 设双曲线的顶点是椭圆 + =1 的焦点, 该双 3 4 曲线又与直线 15 x - 3y + 6 = 0 交于 A , B 两点,且 OA⊥OB(O 为坐标原点). (1)求此双曲线的方程; (2)求|AB|. 解 (1)已知椭圆的焦点为(0,± 1),即是双曲线的顶点,因此
设双曲线方程为

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y2-mx2=1(m>0)
又直线 15x-3y=-6
2 2 ? ?y -mx =1 由? ? ? 15x-3y=-6




A(x1,y1)、B(x2,y2)是方程①、②组成的方程组的两个解.
?5 ? ? ? 2 4 得? -m?x + ?3 ?

15 x+3=0, 3

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研一研·题型解法、解题更高效 5 5 当 m= 时,显然不满足题意,当 m≠ 时, 3 3 ? 4 15 ? ? 3 ?x1+x2=-5 ? -m 3 则? , ? ? x 1x 2= 3 5 ? -m ? 3 ? 又 OA⊥OB,所以 x1x2+y1y2=0,
8 2 15 ∴x1x2+y1y2= x1x2+ (x1+x2)+4=0, 3 3

2.2.2(二)

? ? 4 15? ? 8 3 2 15? 3 ? ∴ · + ?+4=0; 35 3 ?-5 -m -m? ? 3 3 ? ?

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2.2.2(二)

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1 ∴m= ,经验证,此时 Δ>0; 3 2 x ∴双曲线的方程为 y2- =1. 3 ?x1+x2=- 15, ? (2)∵? , 9 xx= ? ? 1 2 4 ∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 =
? 1+? ? ?

9 15? ?2 2 · ?- 15? -4·=4. ? 4 3 ?

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题型三

2.2.2(二)

直线与双曲线位置关系的综合应用 x2 2 例 3 设双曲线 C: 2-y =1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于 a 两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; 5→ → (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且PA = PB,求 a 的值. 12 2 x 解 (1)将 y=-x+1 代入双曲线 2-y2=1 中得 a 2 2 2 2 (1-a )x +2a x-2a =0, ①
2 ? ?1-a ≠0, ∴? 4 2 2 ? ?4a +8a ?1-a ?>0.

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解得 0<a< 2且 a≠1. 又双曲线的离心率 e= 1 +1, a2

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2.2.2(二)

6 ∴e> 且 e≠ 2. 2

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(0,1).

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5→ → ∵ PA = PB , 12
5 ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1). 12 5 由此得 x1= x2,由于 x1、x2 都是方程①的根,且 1-a2≠0. 12 17 2a2 5 2 2a2 由根与系数的关系,得 x2=- , x =- . 12 1-a2 12 2 1-a2 2a2 289 17 消去 x2,得- = ,由 a>0,得 a= . 13 1-a2 60

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2.2.2(二)

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小结

直线与双曲线的位置关系,要注意二次项系数为零的

情况,如本题,若注意不到 1-a2≠0,则会造成离心率范围 扩大.另外,设而不求、根与系数的关系、消参是常用的方法. 在解题时,应有意识地运用这些方法.达到熟练掌握的程度.

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2.2.2(二)

x2 y2 跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线 2- 2=1(a,b>0)的左、 a b 右顶点,双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为 3. (1)求此双曲线的方程; 3 (2)已知直线 y= x-2 与双曲线的右支交于 D、E 两点, 3

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→ +OE → =mOC → ,求 且在双曲线的右支上存在点 C,使得OD
m 的值及点 C 的坐标.
解 (1)由双曲线的实轴长为 4 3,得 a=2 3.

b 双曲线右焦点的坐标为(c,0),一条渐近线为 y= x,由点到 a 直线的距离公式,得 b= 3. x 2 y2 ∴双曲线的方程为 - =1. 12 3

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(2)设 D(x1,y1),E(x2,y2),C(x0,y0). 3 将直线 y= x-2 代入双曲线方程, 3 化简得 x2-16 3x+84=0,

2.2.2(二)

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→ +OE → =mOC →, ∵OD x1+x2 16 3 y1+y2 12 ∴x0= = ,y0= = . m m m m ?16 3? ?12? ? ?2 ? ?2 将点 C 的坐标代入双曲线的方程? - 4 × ? ? m ? =12, m ? ? ? ?
解得 m=± 4.

∴x1+x2=16 3,y1+y2=12.

当 m=-4 时,点 C 在已知双曲线的左支上,不符合题意, 舍去. ∴m=4,点 C 的坐标为(4 3,3).

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2.2.2(二)

x2 y2 1.已知双曲线 2- = 1(a>0)的一条渐近线方程为 3x- 4y= a 9 0,则以右焦点为圆心,虚轴长为半径的圆的方程为( A ) A.(x-5)2+y2=36 B.(x+5)2+y2=36 C.(x-5)2+y2=9 D.(x+5)2+y2=9 x2 y2 3 解析 由双曲线 2- =1(a>0)得渐近线方程为 y=± x,即 a 9 a
3x± ay=0,∴a=4,

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∴c2=a2+9=25,∴右焦点为(5,0). 又∵b2=9,∴虚轴长 2b=6. ∴所求圆的方程为(x-5)2+y2=36.

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2.2.2(二)

x2 y2 2.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、 a b F2,过 F2 的直线交双曲线右支于 A,B 两点.若△ABF1 是以 B 为顶点的等腰三角形,且△AF1F2,△BF1F2 的面 积之比 S△AF1F2∶S△BF1F2=2∶1,则双曲线的离心率 为________.
解析 ∵S△AF1F2∶S△BF1F2=2∶1, ∴|AF2|∶|BF2|=2∶1.

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设|BF2|=x,则|AF2|=2x,|BF1|=3x=2a+x, 即 a=x,所以|AF1|=2x+2a=4x.

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2.2.2(二)

在△ABF1 和△F1F2B 中分别利用余弦定理可得: 9x2+9x2-16x2 9x2+x2-4c2 cos B= = , 2×3x×3x 2×3x×x
21 21 得 c= x,所以离心率 e= . 3 3
答案 21 3

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2.2.2(二)

x2 y2 3.已知双曲线 2- 2= 1(a>0, b>0)的离心率为 3,且过点 a b ( 2, 2). (1)求双曲线 C 的方程. (2)已知直线 x-y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B,且线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,求 m 的值.

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解 (1)由离心率 e= 3,得 b= 2a,因为双曲线过点( 2, 2 2 2),所以 2- 2=1,解得 a=1,则 b= 2,故所求双曲线 a 2a 2 y C 的方程为 x2- =1. 2 (2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),

(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0).

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2.2.2(二)

2 y ? ?x2- =1, 2 由? ? ?x-y+m=0,

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得 x2-2mx-m2-2=0,易知判别式 Δ>0 恒成立, x1+x2 所以 x0= =m,y0=x0+m=2m. 2 因为点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=5 上,得 m2+(2m)2=5,所以

m=± 1.

2.2.2(二)

直线与双曲线相交的问题,常有两种思路: (1)若问题涉及相交弦的中点坐标, 常联立直线与双曲线的方 程,消去一个参数,化成关于 x(或 y)的一元二次方程,然后 根据根与系数的关系,把已知条件化为两根和与两根积的形 式,从而整体解题. (2)若问题涉及相交弦的斜率等,需设出两交点坐标,将两交 点坐标代入双曲线方程,然后两式相减,得到关于斜率的等式. 上述两种思路都是设而不求,该方法在求解直线与圆锥曲线 相交问题时经常使用,应重点掌握.

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