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[原创]2012年数学一轮复习精品试题第22讲 正弦定理和余弦定理


第二十二讲

正弦定理和余弦定理

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.(2010· 湖北)在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cosB=(

A.- C.- 2 2 3 6 3 2 2 B. 3 D. 6 3 a b bsinA 3 = 得 sinB = a = , cosB = sinA sinB 3 )

解析: 依题意得 0° <B<60° ,由正弦定理得 1-sin2B= 答案:D 6 ,选 D. 3

2.(2010· 天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a2-b2= 3bc, sinC=2 3sinB,则 A=( A.30° C.120° )

B.60° D.150° b2+c2-a2 - 3bc+c2 = 2bc 2bc

解析:由 sinC=2 3sinB 可得 c=2 3b,由余弦定理得 cosA= = 3 ,于是 A=30° ,故选 A. 2 答案:A

3.(2010· 江西)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=( 16 A. 27 C. 3 3 2 B. 3 3 D. 4

)

1 2 解 析 : 设 AC = 1 , 则 AE = EF = FB = AB = , 由 余 弦 定 理 得 CE = CF = 3 3 AE2+AC2-2AC· AEcos45° = CE2+CF2-EF2 4 5 ,所以 cos∠ECF= = , 3 2CE· CF 5 4?2 1-? ?5? 4 5 3 = . 4

sin∠ECF 所以 tan∠ECF= = cos∠ECF 答案:D

1

π? 4.(2011· 青岛模拟)△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈? ?0,2 ?,则△ABC 的形状是( ) B.直角三角形

A.等边三角形

C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:∵lga-lgc=lgsinB=-lg 2, a 2 a 2 ∴lg =lgsinB=lg .∴ =sinB= . c c 2 2 π? π ∵B∈? ?0,2?,∴B=4,由 c= 2a, 得 cosB= a2+c2-b2 3a2-b2 2 = = . 2ac 2 2 2a2

∴a2=b2,∴a=b. 答案:D 5.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B =30° ,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 B.3+ 3 D.2+ 3 )

4+ 2 3 1 1 1 3 解析:2b=a+c, ac·= ?ac=2,a2+c2=4b2-4,b2=a2+c2-2ac· ?b2= 2 2 2 2 3 3+ 3 ?b= . 3 答案:C 6.已知锐角 A 是△ABC 的一个内角,a、b、c 是三角形中各内角的对应边,若 sin2A 1 -cos2A= ,则( 2 )

A.b+c=2a B.b+c<2a C.b+c≤2a D.b+c≥2a 1 1 解析:由 sin2A-cos2A= ,得 cos2A=- , 2 2 又 A 是锐角,所以 A=60° ,于是 B+C=120° . B+C B-C 2sin cos 2 2 b+c sinB+sinC 所以 = = 2a 2sinA 3 B-C =cos ≤1,b+c≤2a. 2 答案:C
2

二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上. ) b a 7.(2010· 江苏)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若a+b=6cosC, tanC tanC 则 + 的值是________. tanA tanB

1 解析:解法一:取 a=b=1,则 cosC= , 3 4 由余弦定理和 c2=a2+b2-2abcosC= , 3 ∴c= 2 3 . 3

在如图所示的等腰三角形 ABC 中, 可得 tanA=tanB= 2, 又 sinC= ∴ 2 2 ,tanC=2 2, 3

tanC tanC + =4. tanA tanB

a2+b2 a2+b2-c2 b a 解法二:a+b=6cosC 得, ab =6· , 2ab 3 即 a2+b2= c2, 2 ∴ = cosA cosB? tanC tanC sin2C + + =tanC? = ? sinA sinB ? cosCsinAsinB tanA tanB 2c2 =4. a2+b2-c2

答案:4 8.(2010· 山东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2, sinB+cosB= 2,则角 A 的大小为________. π? 解析:由 sinB+cosB= 2sin? ?B+4?= 2得 π? a b asinB π sin? ?B+4?=1,所以 B=4.由正弦定理sinA=sinB得 sinA= b = 2· sin 2 π 4 1 = ,所以 A 2

3

π 5π = 或 (舍去). 6 6 答案: π 6

9.(2010· 新课标全国)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB =135° .若 AC= 2AB,则 BD=________. 1 2 解析:如图,设 AB=c,AC=b,BC=a,则由题设可知 BD= a,CD= a,所以根据 3 3 2 ?2 1 ?2 2 1 余弦定理可得 b2=( 2)2+? ,c2=( 2)2+? , ?3a? -2× 2×3acos45° ?3a? -2× 2×3acos135° 由题意知 b= 2c,

1 可解得 a=6+3 5,所以 BD= a=2+ 5. 3 答案:2+ 5 1 10.(2010· 新课标全国)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=120° , 2 AD=2.若△ADC 的面积为 3- 3,则∠BAC=________. 1 解析:由∠ADB=120° 知∠ADC=60° ,又因为 AD=2,所以 S△ADC= AD· DCsin60° =3 2 1 - 3,所以 DC=2( 3-1),又因为 BD= DC,所以 BD= 3-1,过 A 点作 AE⊥BC 于 E 2 1 点,则 S△ADC= DC· AE=3- 3,所以 AE= 3,又在直角三角形 AED 中,DE=1,所以 2 BE= 3,在直角三角形 ABE 中,BE=AE,所以△ABE 是等腰直角三角形,所以∠ABC AE 3 =45° ,在直角三角形 AEC 中,EC=2 3-3,所以 tan∠ACE=EC= =2+ 3,所 2 3-3 以∠ACE=75° ,所以∠BAC=180° -75° -45° =60° . 答案:60° 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 1 1 11.(2010· 全国Ⅰ)已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=a +b , tanA tanB 求内角 C.

4

1 1 解:由 a+b=a +b 及正弦定理得 tanA tanB sinA+sinB=cosA+cosB, 即 sinA-cosA=cosB-sinB, π π π π 从而 sinAcos -cosAsin =cosBsin -sinBcos , 4 4 4 4 π? ?π ? 即 sin? ?A-4?=sin?4-B?. 又 0<A+B<π, π π π 故 A- = -B,A+B= , 4 4 2 π 所以 C= . 2 12.(2010· 辽宁)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b +c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 解:(1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 故 cosA=- ,又 A∈(0,π),故 A=120° . 2 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0° <B<90° ,0° <C<90° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 13.(2010· 陕西)如图,在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC =14,DC=6,求 AB 的长.

AD2+DC2-AC2 解: 在△ADC 中, AD=10, AC=14, DC=6, 由余弦定理得 cos∠ADC= 2AD· DC 100+36-196 1 = =- , 2 2×10×6 ∴∠ADC=120° ,∠ADB=60° . 在△ABD 中,AD=10,B=45° ,∠ADB=60° ,
5

AB AD 由正弦定理得 = , sin∠ADB sinB AD· sin∠ADB 10sin60° ∴AB= = = sinB sin45° 10× 2 2 3 2

=5 6.

6


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