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26.1.1 二次函数全部课件


第二十六章
26.1.1

二次函数
二次函数的意义

创设情境,导入新课
问题:

(1)你们喜欢打篮球吗? (2)你们知道:投篮时,篮球运动的 路线是什么曲线?怎样计算篮球达到 最高点时的高度?

二次函数

讨论与思考:
1、正方

形的六个面是全等的正方形,设正方体的棱长为x,表面积 为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数, 他们的具体关系是可以表示为什么?
y=6x2 2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系?
1 d= n(n-3) 2 1 2 3 d= nn 2 2
x



3、某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量。 如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示? y=20(1+x)2 即 y=20x2+40x+20

认真观察以上出现的三个函数解析式,分别说出 哪些是常数、自变量和函数.
函数解析式 自变量 函数

y=6x2
d=
1 2 3 nn 2 2

x
n x

y
d y

这些函数有什 么共同点? 这些函数自变 量的最高次项 都是二次的!

y=20x2+40x+20

二次函数的定义:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ? 0) 的函数,叫做二次函数。

注意:
1、其中,x是自变量,ax2是二次项,a是二次项系数 bx是一次项,b是一次项系数 c是常数项。 2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.

一次函数 正比例函数 反比例函数 二次函数

y=kx+b(k,b是常数,k ? 0) y=kx(k是常数,k ? 0) y= k (k为常数 , k ? 0 ) x

y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ? 0)

这些函数的名称度反映了函数表达式与自变量的关系。

1.下列函数中,哪些是二次函数?

1 (否) 2 x -x (5)y=(x+3)? (否) (6)v=10πr?(是) -x? (7) y=x? +25 (否) (8)y=2? +x? +2x (否)

1 (1) y=3(x-1)? (是) (2) y = x + (否) +1 x
(3) s=3-2t?
(是) (4) y =

抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?

(1) y = x

2

是 不是 是
不是

1 ( 2) y = ? 2 x (3) y = x(1 ? x ) (4) y = ( x ? 1) 2 ? x 2

先化简后判断

2、下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y = 3x 2 ? 2
1 (2) y = x ? x
2

(是 )

(

否) 是) 否
)

(3) y = ( x ? 2)( x ? 3)
(4) y = x 2 ? 2 x ? 3

(

(

(5) y = ( x ? 2)( x ? 2) ? ( x ? 1) 2

(否 )

知识运用
3、下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1 (2)y=3x2

(3)y=3x3+2x2
(5)y=x-2+x

(4)y=2x2-2x+1
(6)y=x2-x(1+x)

例1、判断:下列函数是否为二次函数, 如果是,指出其中常数a.b.c的值. 2 (1) y=1- 3x (2)y=x(x-5) 1 x2- 3 x+1 (3)y=
2

2

(4) y=3x(2-x)+ 3x2
2

1 (5)y= 2 3x ? 2 x ? 1

(6) y= x 2 ? 5 x ? 6 (8)y=ax2+bx+c

(7)y= x4+2x2-1

例1: 关于x的函数 y = (m ? 1) x 数, 求m的值.
解: 由题意可得

m2 ?m

是二次函

m2 ? m = 2
解得,m = 2 ?当m = 2时,函数为二次函数。

m ?1 ? 0

注意:二次函数的二次项系数不能为零

知识运用
m ? 2m ?1 练习1、m取何值时,函数是y= (m+1)x
2

+(m-3)x+m 是二次函数?

练一练:

练习2、请举1个符合以下条件的y关于x的 二次函数的例子 (1)二次项系数是一次项系数的2倍, 常数项为任意值。 (2)二次项系数为-5,一次项系数为 常数项的3倍。

展示才智

3、若函数 y = (m ? 1)x m的值。
2

m 2 ?m

为二次函数,求

解:因为该函数为二次函数, 则
? m 2 ? m = 2 (1) ? ? 2 ?m ? 1 ? 0( 2) ?

解(1)得:m=2或-1 解(2)得: m ? 1且 m 所以m=2

? ?1

超级链接
函数y = ax 2 ? bx ? c(其中a, b, c是常数), 当a, b, c满足什么条件时

(1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数?

解 : ( 1) a ? 0 (2)a = 0, b ? 0 (3) a = 0 , b ? 0 , c = 0

敢于创新
如果函数y= x +kx+1是二次函数, 0,3 则k的值一定是______
如果函数y=(k-3)x 数,则k的值一定是______ 0
k 2 - 3k+ 2 k 2 - 3k+ 2

+kx+1是二次函

知识的升华
已知函数 y = ( k ? k ) x ? kx ? 2 ? k (1) k为何值时,y是x的一次函数? (2) k为何值时,y是x的二次函数?
2 2

?k ? k = 0 解(1)根据题意得 ? ?k ? 0
2

∴k=1时,y是x的一次函数。
2

(2) 当 k - k ≠ 0,即 k ≠ 0且 k ≠ 1时 y是 x的 二 次 函 数

例2、当m为何值时,函数 m2-2+4x-5是x y=(m-2)x 的二次函数
m-2≠0且m -2=2
2

m≠2


m=±2
m=-2

m2+m-4+ 练习:y=(m+3)x

(m+2)x+3,当m为何值 时,y是x的二次函数?
m=2

小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加 xcm时,圆的面积增加ycm? . (1)写出y与x之间的函数关系表 达式;

(2)当圆的半径分别增加 1cm, 2cm ,2cm时,圆的面积增加多 少?

问题再探究

在种树问题中,种 多少棵橙子树,可 以使果园橙子的 y=-5x? +100x+60000, 总产量最多?
x y - 5 60375

6
60420

7
60455

8
60480

9
60495

10 11 12 13 14 15 60500 60480 60420 60455 60375 60495

-

你能根据表格中的数据作出猜测吗?

你发现了吗?
60500 60495 60495 60480 60480 60455 60455 60420 60420 60375 60375

小结

拓展

回味无穷

定义中应该注意的几个问题:
1.定义:一般地,形如y=ax? +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. y=ax? +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax? (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax? +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax? +bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是:ax? +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.

例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数

(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm) 之间的函数关系; (2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函 数关系; (3)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S( cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系.
解: (1)由题意得 S = 6a (a ? 0) 其中S是a的二次函数;
2

x2 ( x ? 0) 其中y是x的二次函数; (2)由题意得 y = 4?
(3)由题意得 S =

1 1 x(26 ? x) = ? x 2 ? 13 x(0 ? x ? 26) 其中S是x的 2 2

二次函数

例3:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这 个二次函数的解析试.
解:设所求的二次函数为y = ax2 ? bx ? c,由题意得:



a ? b ? c = 10 a?b?c = 4 4a ? 2b ? c = 7

待定系数法

解得,a = 2, b = ?3, c = 5

?所求的二次函数是y = 2 x 2 ? 3x ? 5

4. 已知二次函数y=x? +px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次 函数的解析式.
解:把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y = x ? px ? q, 得:
2

{4 ? 2 p ? q = ?5
解得,p = ?12, q = 15.

1? p ? q = 4

? 所求的二次函数是y = x ? 12 x ? 15
2

牛刀小试

5.已知二次函数 y = 2( x ? 1) ? 4
2

(1)你能说出此函数的最小值吗? 当x=1时,函数y有最小值为4 (2)你能说出这里自变量能取哪些值呢?
x取任意实数

开动脑筋
问题:是否任何情况下二次函数中的自变量

的取值范围都是任意实数呢? 2 例如:圆的面积 y (cm )与圆的半径 x (cm)的函数关系是 y =πx2 其中自变量x能取哪些值呢? x ? 0

注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.

试一试:
要用长20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一 个矩形的花圃,设连墙的一边为x,巨形的 面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?
解:) y = x(20 ? 2 x) (1

= ?2 x 2 ? 20 x

(o<x<10)

(2) y = ?2 ? 32 ? 20 ? 3 = 42 m

小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加 xcm时,圆的面积增加ycm? . (1)写出y与x之间的函数关系表 达式;

(2)当圆的半径分别增加 1cm, 2cm ,2cm时,圆的面积增加多 少?

问题再探究

在种树问题中,种 多少棵橙子树,可 以使果园橙子的 y=-5x? +100x+60000, 总产量最多?
x y - 5 60375

6
60420

7
60455

8
60480

9
60495

10 11 12 13 14 15 60500 60480 60420 60455 60375 60495

-

你能根据表格中的数据作出猜测吗?

你发现了吗?
60500 60495 60495 60480 60480 60455 60455 60420 60420 60375 60375

小结

拓展

回味无穷

定义中应该注意的几个问题:
1.定义:一般地,形如y=ax? +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. y=ax? +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax? (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax? +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax? +bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是:ax? +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.

1、二次函数的一般形式是怎样的? y=ax? +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)

2.下列函数中,哪些是二次函数?
① ③

y=x

2
2

y = x?x

1 ② y=x ? x
2

④ y=x ?
2

x ?1

1 2 ⑤ y = x ? 2x ? 4 3

26.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质

二次函数的定义:

一般地,形如 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ? 0) 的函数,叫做二次函数。
注意:

1、其中,x是自变量,ax2是二次项,a是二次项系数 bx是一次项,b是一次项系数 c是常数项。 2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.

回顾
二次函数的图象是什么样子的 ? 一次函数的图象 一条直线

双曲线

反比例函数的图象

探究
画二次函数

2 y = x的图象。

描点法

解:(1)列表:在 x 的取值范围内列出函数对应值表:

x y

… -3 -2 -1 0 …
9 4 1 0

1
1

2
4

3
9

… …

(2)在平面直角坐标系中描点:
y
10 8 6 4 2 1 -4 -3 -2 -1

y=

2 x

o

1

2

3

4

x

-2 (3)用光滑曲线顺次连接各点,便得到函数y= x2 的图象.

观察 y = x 2 这个函数的图象,它有什么特点?

探究
画二次函数

y = ?x

的图象。 2

描点法

解:(1)列表:在 x 的取值范围内列出函数对应值表:

x y

… -3 -2 -1 0 …
-9 -4 -1 0

1
-1

2
-4

3
-9

… …

(2)在平面直角坐标系中描点:
y
-4 -3 -2 -1

o
-2 -4 -6 -8

1

2

3

4

x

y = - x2
-10 (3)用光滑曲线顺次连接各点,便得到函数y= -x2 的图象.

观察 y = ? x 2这个函数的图象,它有什么特点?

观察姚明的投篮……

二次函数的图象是不是跟投篮路线很像?

知识要点
抛物线: 像这样的曲线通常叫做抛物线。 二次函数的图象都是抛物线。 一般地,二次函数 y = ax ? bx ? c 的图象叫做抛物线 y = ax 2 ? bx ? c 。
2

抛物线

抛物线

对称轴、顶点、最低点、最高点

y=x

2

这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.

对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.

y=x

2
当x=1时,y=1 当x=2时,y=4

当x=-2时,y=4 当x=-1时,y=1

抛物线 y=x2在x轴上方 (除顶点外),顶点是它的最 低点,开口向上,并且向上 无限伸展; 当x=0时,函数 y的值最小, 最小值是0.

抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展, 当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.

y

y = ?x

2

y = x2

y = x2、y= - x2
y = ?x2

抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值

y = x2 (0,0)

y = - x2 (0,0) y轴

y轴

在x轴上方(除顶点外)
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

在x轴下方( 除顶点外)
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

当x=0时,最小值为0

当x=0时,最大值为0

探究
在同一坐标系中作二次函数y= x2和y=2x2的图象,会是什么样?

y = 2x 2 y = x 2
只是开口 大小不同

a>0,开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同

顶点都是原点(0,0)

例2.画出函数y=x2、y=2x2、y= 1 x2的图象: 2 1.列表: x … -2 -1 0 1 2 2.描点: y=x2 y=2x2 3.连线: 1 y= 2 x2 y=2x2 y=x2



探究
顶点坐标

y= 2 x2
只是开口 大小不同 a>0,开口都向上; 对称轴都是y轴; 增减性相同

1

顶点都是原点(0,0)

例3.画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- 1 x2的图象: 2 1.列表: x … -2 -1 0 1 2 2.描点: y=-x2 y=-2x2 3.连线: 1 y=- 2 x2
f1(x) = -2×x×x -1 g1(x) = 2



顶点坐标

? ?

×x×x

y=2x2

y=x2

y= 1 x2 2

a < 0,开口都向下; 对称轴都是y轴; 增减性相同.

y=-x2
y=-2x2

只是开口 大小不同 y=- 1 x2 2

y = ax2

抛物线

y=ax2 (a>0)

y= ax2 (a<0)
(0,0)

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向 增减性

(0,0)
y轴

y轴

在x轴的上方(除顶点外)
向上

在x轴的下方( 除顶点外)
向下

在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

最值
开口大小

当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.

当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.

知识要点
一般地,抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴,顶点是_______. 当a > 0时 ,抛物线的开口向__,顶点是抛物线的________,a 越大,抛物线的开口越 原点 上 ___;当a < 0时,抛物线的开口向____,顶点是抛物线的最____点,a 越大, 抛物线的开口越____. 最低点

y

小 高

下 大

课堂小结
1. 二次函数:
2 (a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做 x 的二次 形如 函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项。

y = ax ? bx ? c

2、抛物线:
二次函数的图象都是抛物线。

3、抛物线 y=ax 的图象 :
2

y 一般地,抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴,顶点是_______. 当a > 0时 ,抛物线的开口向__,顶点是抛物线的________,a 越大,抛物线的开口越 原点 上 ___;当a < 0时,抛物线的开口向____,顶点是抛物线的最____点,a 越大, 最低点 抛物线的开口越____. 小 高 4、抛物线 y=ax2 的图象 中a决定开口方向和形状。 a相同开口方向相同、形状相同,|a|越大,开口越小。 下 大

结束寄语

下课了!

只有不断的思考,才会 有新的发现;只有量的 变化,才会有质的进步.

二次函数的图象和性质

九年级数学(下)第二十六章 二次函数
?

二次函数y=ax2与y=ax2+c图象和性质

二次函数y=ax2

y = ax2

的性质
1.抛物线y=ax2的 顶点是原点,对称 轴是y轴. 3.当a>0时,在对称轴 的左侧,y随着x的增大 而减小;在对称轴右 侧,y随着x的增大而增 大.当x=0时函数y的值 最小.当a<0时,在对 称轴的左侧,y随着x的 增大而增大;在对称 轴的右侧,y随着x增大 而减小,当x=0时,函数 y的值最大.

2.当a>0时,抛 物线y=ax2在x 轴的上方(除顶 点外),它的开 口向上,并且向 上无限伸展; 当a<0时,抛物 线y=ax2在x轴 的下方(除顶点 外),它的开口 向下,并且向下 无限伸展.

4. a 越大,开口越小, a 越小,开口越大.

二次函数y=ax2的性质
1.顶点坐标与对称轴

y = ax

2

2.位置与开口方向 3.增减性与最值 根据图形填表: y=ax2 (a>0) 抛物线
顶点坐标 对称轴

y= ax2 (a<0)
(0,0)

(0,0)
y轴 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

y轴
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

位置
开口方向 增减性 最值 开口大小

当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.

当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.

议一议

10
驶向胜利 的彼岸

我思,我进步

?在同一坐标系中作出二次函数y=2x? +1的图象与二次 函数y=2x? 的图象. ?二次函数y=2x? +1的图象与二次函数y=2x? 的图象有什 么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?作图看一看.

?

?二次函数y=2x2+1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.

y = 2x2 ?1

y = 2x 2

顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).

位置不同; 最小值不同: 分别是1和0.

二次项系数为2,开口向上; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.

?想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和 y=-2x2的图象,会是什么样?

?二次函数y=-2x2+1的图象

y y = ?2 x ? 1
2

是什么形状?它与二次函数 y=-2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y= -2x2+1的 图象形状与y= -2x2 一样,仍是抛物线.

y = ?2x 2

顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).

位置不同; 最大值不同: 分别是1和0..

二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.

?想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质?

议一议

13
驶向胜利 的彼岸

我思,我进步

?在同一坐标系中作出二次函数y=3x? -1的图象与二次 函数y=3x? 的图象. ?二次函数y=3x? 一l的图象与二次函数y=3x? 的图象有什 么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?

?

?二次函数y=3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3x2-1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
y = 3x 2 ? 1

y = 3x 2

位置不同; 最大值不同: 分别是 -1和0.

二次项系数为正数3,开口 向上;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.

?想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和 y=-3x2的图象,会是什么样?

?二次函数y=-3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y= -3x2-1的 图象形状与y= -3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).

y = ?3x 2

y = ?3x 2 ? 1

位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1.

二次项系数为负数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.

?请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.

二次函数y=ax2+c的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴
y = ax2 ? c

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线 y=ax2 +c(a>0) y=ax2 +c(a<0) (0,c) y轴
当c<0时,抛物线,与Y轴交于负半轴 当c>0时,.抛物线,与Y轴交于正半轴

y = ax2 ? c

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

(0,c) y轴
当c>0时抛物线,与Y轴交于正半轴 当c<0时,抛物线与Y轴交于负半轴.

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

当x=0时,最小值为c.

当x=0时,最大值为c.

小结

拓展

回味无穷

二次函数y=ax? +c与=ax? 的关系

驶向胜利 的彼岸

?1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. ?(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. ?(3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y 都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大 而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 .

2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分别是c和0. 3.联系: y=ax?+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax? 的图象沿y轴整体平移 |c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).

?二次函数y=3x2-1的图象 与二次函数y=3x2的图象有 什么联系,它们之间有怎 样的转化关系?
二次函数y=3x2-1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线.
y = 3x 2 ? 1

y = 3x 2

y=3x2-1是由y=3x2 向下平移 一个单位得到的

?结论: y=3x2-1是由y=3x2向下平移一个单位得到 的。

?二次函数y=-3x2-1 的图象与二次函数 y=-3x2的图象呢?
y = ?3x 2 ? 1

y = ?3x 2

二次函数y= -3x2-1的 图象形状与y= -3x2 一样,仍是抛物线. y= -3x2-1是由y= -3x2 向下平移一个单位得到的

结论:y= -3x2-1是由y= -3x2向下平移一个单位得到的。

k>0 上移
y=ax2 k<0 下移 y=ax2+k

二次函数y=ax2+c的性质
y=ax2+c 图象 a>0 a<0

c>0
开口

c<0

c>0

c<0

对称性
顶点 增减性

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 关于y轴对称

(0,c)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点

1 2 1、抛物线 y = x 向上平移3个单位, 3 得到抛物线 ;
2、抛物线 y = ?2 x ? 4 向 平移 2 单位,得到抛物线 y = ?2 x ? 3。
2



九年级数学(下)第二十六章 二次函数
?

二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象和性质

1 y = ? ( x ? 1) 2 在同一平面直角坐标系中,画出二次函数 2 和 y = ? 1 ( x ? 1) 2 的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴 2

和顶点。比较一下它们的值之间有何内在联系。 先列表:

x
1 y = ? ( x ? 1) 2 2 1 y = ? ( x ? 1) 2 2

·· -4 -3 -2 -1 0 ·
·· · ·· ·
9 ? 2

1
-2

2
9 ? 2 1 ? 2

3

4

·· ·
·· ·

-2

1 ? 2 9 ? 2

0

-2

1 ? 2 1 ? 2

0

-2

9 ? 2

·· ·

x
1 y = ? ( x ? 1) 2 2 1 y = ? ( x ? 1) 2 2 1 2 y=? x 2

·· -4 -3 -2 -1 0 · ·· · ·· ·
9 ? 2

1 -2 0
1 ? 2

2
9 ? 2 1 ? 2

3 -2
9 ? 2

4
? 9 2

·· · ·· · ·· ·

-2
9 ? 2

1 ? 2 9 ? 2

0 -2
1 ? 2

1 ? 2 1 ? 2

·· ·

-2

0

-2

·· ·

1 1 ( x ? 1 22 y = ? ( x ? 1)) 可以看出,抛物线 2 2

y

向下 向下 的开口方向____、对称轴是经 过点(-1,0)且与x轴垂直的直 (1,0)
? 线,我们把它记作xx== 1,顶点



● ●

1 ● o●

● ● ● ●

x


(-1,0) (1,0) 是__________。







1 2 1 1 2 2与抛物线 (2)抛物线 y = ? ( x ? 1) , y = ? ( x ? 1) y=? x 2 2 有什么位置关系? 2
1 1 2 y = ? x 向左平移1个单位,就得到抛物线 y = ? ( x ? 1) 2 把抛物线 2 2 1 1 2 y = ? ( x ? 1) 2 把抛物线 y = ? x 向右平移1个单位,就得到抛物线 2 y 2

1 0 -8 -6 -4 -2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 2 4 6 x 8

1 2 y = ? x (3)它们的 2 位置由什么
决定的?
1 y = ? ( x ? 1) 2 2

1 y = ? ( x ? 1) 2 2

用平移观点看函数: 抛物线 y = a( x ? h) 可以看作是由 2 抛物线 y = ax 平移得到。 y
2

(1)当h>0时,向右平移 h 个单位; (2)当h<0时,向左平移 h 个单位。

o

x

4、二次函数 y = ?( x ? 2) 是由二次函 2 数 y = ? x 向 平移 个单位得到的。
2

5、二次函数 y = 2( x ? 3) 是由二次函 数 向左平移3个单位得到的。
2

观察三条抛物线:

y

2 (1)开口方向是什么? 1 (2)开口大小有没有 -3 -2 -1 1 2 3 x -1 -2 变化? -3 (3)对称轴是什么? -4 = ? 1 x 2 y -5 2 1 1 2 (4)顶点各是什么? ? ( x ? 1) -6 y = ? ( x ? 1) 2 y= 2 -7 2 -8 (5)增减性怎么样?

1.抛物线y=a(xh)2的顶点是(h,0), 对称轴是平行于y 轴的直线x=h.

二次函数y=a(x-h)2的性质
X=h
y = ax
2

X=h

4. a 越大,开口越小, a 越小,开口越大.
y = a( x ? h )
2

3.当a>0时,在对称轴 (x=h)的左侧,y随着x的 增大而减小;在对称轴 (x=h)右侧,y随着x的增 大而增大;当x=h时函数 y的值最小(是0). 当a<0时,在对称轴(x=h) 的左侧,y随着x的增大而 增大;在对称轴(x=h)的 右侧,y随着x增大而减小; 当x=h时,函数y的值最 大(是0).

二次函数y=a(x-h)2 与y=ax2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=ax2整体沿x轴 平移了h 个单位(当 h>0时,向右移 h 个单 位;当h<0时,向左移 h 个单位)得到的.

2.当a>0时,抛 物线y=a(x-h)2 在x轴的上方 (除顶点外),它 的开口向上,并 且向上无限伸 展; 当a<0时,抛物 线y=a(x-h)2在 x轴的下方(除 顶点外),它的 开口向下,并且 向下无限伸展.

二次函数y=a(x-h)2的性质
y=a(x-h)2

a>0

a<0

图象

h>0
开口
对称轴 顶点 增减性

h<0

h>0

h<0

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 直线x=h

(h,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点

? 说出下列二次 函数的开口方向、 对称轴、顶点坐标及增减性 (1) y=2(x+3)2 向上, x= - 3, ( - 3, 0) (2) y=-3(x -1)2 向下, x= 1, ( 1, 0) (3) y=5(x+2)2 向上, x= - 2, ( - 2, 0) (4) y= -(x-6)2 向下, x= 6, ( 6, 0) (5) y=7(x-8)2 向上, x= 8, ( 8, 0)

1.函数y=-2(x+3)2的图象的对称轴是 , 顶点坐标是 ,当x= 时,y有最 值 为 。 2.把二次函数y=-3x2往左平移2个单位,再与x轴 对称后,所形成的二次函数的解析式为 。
3、已知抛物线y=a(x+h)2的顶点是(-3,0)它是由 抛物线y=-4x2平移得到的,则a= , h= 。 4、把抛物线y=(x+1)2向 平移 个 单位后, 得到抛物线y=(x-3)2 5、把抛物线y=x2+mx+n向左平移4个单位,得到抛 物线y=(x-1)2,则m= ,n= .

二次函数y=a(x-h)2的性质
1.顶点坐标与对称轴

y = a( x ? h )

2

2.位置与开口方向 3.增减性与最值 根据图形填表: y=a(x-h)2 (a>0) 抛物线
顶点坐标 对称轴

y=a(x-h)2 (a<0)
(h,0)

(h,0)
直线x=h 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

直线x=h
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

位置
开口方向 增减性 最值 开口大小

当x=h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.

当x=h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.

函数

开口方向

对称 顶 点 Y的 轴 坐 标 最值
Y轴 Y轴 Y轴 Y轴

增减性
在对称 轴左侧

在对称 轴右侧

a>0

向上 向下

y=ax2
a<0 a>0
向上 向下

y=ax2+c
a<0
a>0 向
y=a(x-h)
2

上 a<0 向 下

直线 x=h 直线 x=h

最小 Y随x的增 Y随x的增 (0,0) 大而减小 大而增大 值是 最大 Y随x的增 Y随x的增 0 (0,0) 大而增大 大而减小 值是 0 (0,c) 最小 Y随x的增 Y随x的增 大而减小 大而增大 值是 最大 Y随x的增 Y随x的增 (0,c) C 大而增大 大而减小 值是 (h, 最小 Y随x的Y随x的 C 值是 增大而 增大而 0) (h, 最大 Y随x的Y随x的 0 减小 增大 值是 增大而 增大而 0)

九年级数学(下)第二十六章 二次函数
?

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

复习二次函数y=ax2的性质
y=ax2 a>0
O

a<0
O

图象

开口
对称性

开口向上

开口向下

顶点
增减性

|a|越大,开口越小 关于y轴对称 顶点坐标是原点(0,0) 顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点

复习二次函数y=ax2+k的性质
y=ax2+k 图象 a>0 a<0

k>0
开口 对称性 顶点 增减性

k<0

k>0

k<0

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小

关于y轴 (x=o)对称

(0,k)
顶点是最低点 顶点是最高点
在对称轴左侧,y随x的增大而减小 在对称轴左侧,y随x的增大而增大 在对称轴右侧,y随x的增大而增大 在对称轴右侧,y随x的增大而减小

复习二次函数y=a(x-h)2的性质
y=a(x-h)2

a>0

a<0

图象

h>0
开口
对称性 顶点 增减性

h<0

h>0

h<0

开口向下 开口向上 a的绝对值越大,开口越小 直线x=h

(h,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点

上下 平移

1 2 如何由 y = ? 3 x 的图象得到 1 2 1 2 y y = ? x ? 3 、 = ? x ? 3 的图象。 3 3

y 5 4(0,3) 1 2 y =? x ?3 3 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 (0,-3) 1 2 –3 1 2 y=? x –4 y = ? x ?3 3 –5 3

左右 平移

1 1 2 2 y = ? x 的图象得到 y = ? ( x ? 2) 如何由 3 、 3 1 2

y

y = ? ( x ? 2) 的图象。 3

5 x= - 2 4 x= 2 3 2 (-2,0) 1 (2,0) x –52 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 1 1 2 –1 y = ? (x ? 2) y = ? (x ? 2) –2 3 3 –3 1 2 y=? x –4 3 –5

说出平移方式,并指出其顶点与对称轴。 k>0 上移 y=ax2 k<0 下移 y=ax2+k

上正下负
左加 y=ax2 右减

左加右减
y=a(x-h)2

1 2 例3.画出函数 y = ? ( x ? 1) ? 1 的图像.指出它的开口方向、 2 顶点与对称轴、

解:
x

先列表
… -4 -5.5 -3 -2 -1 0 1 2 …

1 y = ? ( x ? 1) 2 ? 1 … 2

-3 -1.5

-1 -1.5

-3 -5.5 …

再描点

后连线.

解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y = ? ( x ? 1) 2 ? 1 … 2

-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=-1
1 y

再描点、连线 (1)抛物线
1 y = ? ( x ? 1) 2 ? 1 2

的开口方向、对称轴、顶点? 1 y = ? ( x ? 1) 2 ? 1 抛物线 2 的开口向下,

对称轴是直线x=-1,

顶点是(-1, -1).

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y = ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1
2

1 (2)抛物线 y = ? ( x ? 1) 2 ? 1 2 1 2 y=? x 2

有什么关系?

1

y x

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 -2 y = ? ( x ? 1) 2 ? 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y=? x y = ? x ?1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y = ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1 -8 2 1个单位 -9 -10

平移方法2:

x=-1

1 1 2 向左平移 1 2 向下平移 y = ? ( x ? 1) 2 ? 1 y=? x y = ? ( x ? 1) 2 2 1个单位 2 1个单位

在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象
x
y=2x2

-3
… 8

-2 2

-1 0

0 2

1 8

2 …

3

y=2(x-1)2






8
9

2
3

0

2
3

8
9

y=2(x-1)2+1 …

y

1

y=2x2

5 4 3 2 1

y=2(x–1)2+1

y=2(x–1)2 x

–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2

联系:将函数 y=2x? 的图象向右平移1个 单位, 就得 到 函数y=2(x-1)? 的图象; 再向上平移1个单位, 就得到 函数y=2(x-1)? +1的图象. 相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形. (3)顶点都是最低点. (4)在对称轴左侧,y值都随 x 值的增大而减小, 在对称轴右侧,y值都随 x值 的增大而增大.

不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同.

y = 2x

2

y = 2x ?1
2

y = 2( x ? 1)

2

y = 2( x ? 1) ? 1
2

y = 2( x ? 1) 2 ? 1 的图像可以由 y = 2 x 2 先向上平移一个单位,

再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上 平移一个单位而得到.

一般地,抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移 向上(下)平 2 y=a(x-h)2+k y=ax2 |h|个单位 y=a(x-h) 移|k|个单位
向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x-h)2+k y=ax2 移|k|个单位 移|h|个单位

2+k有如下 抛物线y=a(x-h)

特点: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).

二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质

抛物线
开口方向

y=a(x-h)2+k(a>0)

y=a(x-h)2+k(a<0)

对称轴
顶点坐标

向上 直线x=h (h,k)

向下 直线x=h (h,k)

增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.

最值 当x=h时,最小值为k.

当x=h时,最大值为k.

1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标

y=2(x+3)2+5

向上 向下

直线x=-3 (-3, 5 ) 直线x=1
( 1 , -2 )

y=-3(x-1)2-2 y = 4(x-3)2+7

向上
向下

直线x=3
直线x=2

( 3 , 7)
( 2 , -6 )

y=-5(2-x)2-6

2.请回答抛物线y = 4(x-3)2+7由抛物线y=4x2怎 样平移得到?
3.抛物线y =-4(x-3)2+7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?

如何平移:
3 y = ( x ? 1) 2 4

3 2 y = ( x ? 1) ? 2 4

3 2 y = ( x ? 3) ? 3 4

3 2 y = ( x ? 5) ? 2 4

考考你学的怎么样:
1.抛物线的上下平移 (1)把二次函数y=(x+1)2的图像, 沿y轴向上平移3个单位, y=(x+1)2+3 得到_____________的图像; y=x2+3 (2)把二次函数_____________的图像, 沿y轴向下平移2个单位,得到y=x 2+1的图像.

2.抛物线的左右平移 (1)把二次函数y=(x+1) 2的图像, 沿x轴向左平移3个单位, y=(x+4)2 得到_____________的图像; y=(x+2)2+1 (2)把二次函数_____________的图像, 沿x轴向右平移2个单位,得到y=x 2+1的图像.

3.抛物线的平移: (1)把二次函数y=3x 2的图像, 先沿x轴向左平移3个单位, 再沿y轴向下平移2个单位, y=3(x+3)2-2 得到_____________的图像; y=-3(x+6)2 (2)把二次函数_____________的图像, 先沿y轴向下平移2个单位, 再沿x轴向右平移3个单位, 得到y=-3(x+3) 2-2的图像.

y
8

7
6 6

5
4 4

3 2 2 1
-5

y = 3x
1 2

2

-5

-4

-3

-2

-1

0 -1
-2 2

3

4

5

5

x

-4

-6

2+k的图像和性质 y=a(x+h)

1.填表
抛物线 开口方向 对称轴
2

顶点坐标
(0, 0)
(0, 1) (0, - 1)

y = ?0.5 x
2

向下
向下 向下

x=0
x=0 x=0

y = ?0.5 x ? 1

y = ?0.5 x ? 1
2

y = 2x

2
2
2

向上
向上 向上

x=0
x=1 x= - 1

(0, 0)
(1, 0) (- 1, 0)

y = 2( x ? 1)

y = 2( x ? 1)

2.上下 平移

1 2 如何由 y = ? 3 x 的图象得到 1 2 1 2 y y = ? x ? 3 、 = ? x ? 3 的图象。 3 3

y 5 4(0,3) 1 2 y =? x ?3 3 3 2 1 x –5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2 (0,-3) 1 2 –3 1 2 y=? x –4 y = ? x ?3 3 –5 3

3.左右 平移

1 1 2 2 y = ? x 的图象得到 y = ? ( x ? 2) 如何由 3 、 3 1 2

y

y = ? ( x ? 2) 的图象。 3

5 x= - 2 4 x= 2 3 2 (-2,0) 1 (2,0) x –52 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 1 1 2 –1 y = ? (x ? 2) y = ? (x ? 2) –2 3 3 –3 1 2 y=? x –4 3 –5

4.上下平移规律
y=ax2
当c>0时,向上平移c个单位 当c<0时,向下平移 c 个单位

y = ax ? c
2

左右平移规律
y=ax2
当h>0时,向左平移h个单位

y=a(x+h)2 当h<0时,向右平移 h 个单位

2 5.二次函数y=ax

的图象和性质
抛物线
开口方向

对称轴
顶点坐标

y=ax2(a>0) 向上 直线x=0 (0,0)

y=ax2(a<0) 向下 直线x=0 (0,0)

增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.

最值 当x=0时,最小值为0.

当x=0时,最大值为0.

2 6.二次函数y=a(x+h)

的图象和性质
抛物线
开口方向

y=a(x+h)2 (a>0)

y=a(x+h)2 (a<0)

对称轴
顶点坐标

向上 直线x=-h (-h,0)

向下 直线x=-h (-h,0)

增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.

最值 当x=-h时,最小值为0.

当x=-h时,最大值为0.

在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象
x
y=2x2

-3
… 8

-2 2

-1 0

0 2

1 8

2 …

3

y=2(x-1)2
y=2(x-1)2+1







8
9

2
3

0

2
3

8
9

y

1

y=2x2

5 4 3 2 1

y=2(x–1)2+1

y=2(x–1)2 x

–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2

y = 2x

2

y = 2x ?1
2

y = 2( x ? 1)

2

y = 2( x ? 1) ? 1
2

y = 2( x ? 1) 2 ? 1 的图像可以由 y = 2 x 2 先向上平移一个单位,

再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上 平移一个单位而得到.

平移的规律总结:
y=ax2
当h>0时,向左平移h个单位

y=a(x+h)2
当h<0时,向右平移 h 个单位 当k>0时,向上平移k个单位

y=a(x+h)2+k

当k<0时,向下平移 k 个单位

1 2 y = ( x ? 2 ) ? 2 x=-2 2

y

(-2,2)

5 4 3 2 1

1 2 观察 y = 2 x 1 2 y = (x ? 2) ? 2 2 1 2 y = (x ? 2) ? 3 2

的图像
1 2 y= x 2

x

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 1 2 y = (x ? 2) ? 3 –2 2 –3 (-2,-3) –4

1 2 3 4 5

抛物线
开口 方向

1 2 y = (x ? 2) ? 2 2

1 2 y = ? ( x ? 2) ? 3 2

向上 直线x=-2 (-2,2)
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下 直线x=2

对称轴
顶点坐标

(2,-3)
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

当x=-2时, 最小值为2

当x=2时, 最大值为-3

二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质

抛物线
开口方向

y=a(x+h)2+k(a>0)

y=a(x+h)2+k(a<0)

对称轴
顶点坐标

向上 直线x=-h (-h,k)

向下 直线x=-h (-h,k)

增减性

在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.

最值 当x=-h时,最小值为k.

当x=-h时,最大值为k.

指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标. 开口 对称轴 顶点坐标
2

(1)y = 2(x ? 3)

?5
2

向上 向下 向下 向上

直线x=3 直线x= –1 直线x=0 直线x=2

(3,–5) (–1,0)

(2 ) y = ? 0 . 5 ( x ? 1)
2

3 2 (3)y = ? x ? 1 4

(0,–1)
(2, 5) (– 4,2) (3,0)

(4 ) y = 2 ( x ? 2 ) ? 5 2 (5)y = 0.5(x ? 4) ? 2

向上 直线x= – 4

3 2 (6 ) y = ? ( x ? 3) 4

向下

直线x=3

考考你学的怎么样:
1.抛物线的上下平移 (1)把二次函数y=(x+1)2的图像, 沿y轴向上平移3个单位, y=(x+1)2+3 得到_____________的图像; y=x2+3 (2)把二次函数_____________的图像, 沿y轴向下平移2个单位,得到y=x 2+1的图像.

2.抛物线的左右平移 (1)把二次函数y=(x+1) 2的图像, 沿x轴向左平移3个单位, y=(x+4)2 得到_____________的图像; y=(x+2)2+1 (2)把二次函数_____________的图像, 沿x轴向右平移2个单位,得到y=x 2+1的图像.

3.抛物线的平移: (1)把二次函数y=3x 2的图像, 先沿x轴向左平移3个单位, 再沿y轴向下平移2个单位, y=3(x+3)2-2 得到_____________的图像; y=-3(x+6)2 (2)把二次函数_____________的图像, 先沿y轴向下平移2个单位, 再沿x轴向右平移3个单位, 得到y=-3(x+3) 2-2的图像.

4.抛物线 5.抛物线 6.抛物线

1 2 (-1,0) y = (x ? 1) 的顶点坐标是________; 2
y= 1 (x ? 1)2 2

向上平移3个单位后, (-1,3) 顶点的坐标是________;

1 2 x=-1 y = (x ? 1) ? 3 的对称轴是_____. 2

7.把二次函数y=4(x-1) 2的图像, 沿x轴向 2 右 _ 平移__个单位,得到图像的对称轴是直 线x=3. 8.把抛物线y=-3(x+2) 2,先沿x轴向右 平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位, y=-3x2-1 得到_____________的图像. 9.把二次函数y=-2x 2的图像,先沿x轴 向左平移3个单位,再沿y轴向下平移2 (-3,-2) 个单位,得到图像的顶点坐标是______.

10.如图所示的抛物线: 0或-2 当x=_____时,y=0; < 当x<-2或x>0时, y_____0; 当x在-2 < x<0范围内时,y>0; _____ -1 3 当x=_____时,y有最大值_____.
3

11、试分别说明将抛物线的图象通 2的图象: 过怎样的平移得到y=x (1) y=(x-3)2+2 ;
先向左平移3个单位,再向下平移2个单位

(2)y=(x+4)2-5
先向右平移4个单位,再向上平移5个单位

12.与抛物线y=-4x 2形状相同,顶点为 (2,-3)的抛物线解析式 y= - 4(x-2)2-3或y= 4(x-2)2-3 为 .

13.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 (1)求解析式
解:∵二次函数图象的顶点是(1,-1), ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1, ∵其图象过点(0,0), ∴0= a(0-1)2-1, ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1

(2)根据图象回答: x<0或x>2 时,y>0; (0,0) 当x 当x x=0或2 时,y=0; 当x 0< x<2 时,y﹤0。

(2,0)

(1,-1)

26.1.4 二次函数图象和性质

复习提问
y 1. = a ( x ? h ) ? k 的顶点坐标是________, (h,k) 直线x=h 对称轴是__________ 2.怎样把 y = 3 x 2的图象移动,便可得到 2 y = 3 ( x ? 2 ) ? 5 的图象?
2

3. = 3 ( x ? 2 ) ? 5 的顶点坐标是(-2,-5) , y 对称轴是直线 x=-2 .
2

4.在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴,哪些有变化?哪些没 有变化? 有变化的:抛物线的顶点坐标、对称轴, 没有变化的:抛物线的开口方向、形状

新课 我们复习了将抛物线 y = 3 x 2向左平移2个单位 2 再向下平移5个单位就得到 y = 3 ( x ? 2 ) ? 5 的图 象,将 y = 3 ( x ? 2 )2 ? 5 化为一般式为 2 y = 3x 2 ? 12 x ? 7 ,那么如何将抛物线 y = 3 x 的图 像移动,得到的 y = 3x 2 ? 12 x ? 7 图像呢? 那么一般地,函数y = ax 2 的图象怎样平 移就得到 y = ax 2 ? bx ? c 的图象呢?

1.用配方法把 y = ax 2 ? bx ? c 化为 2 y = a ( x ? h ) ? k 的形式。
例1
1 2 5 用配方法把 y = 2 x ? 3x ? 2
2

化为

y = a ( x ? h ) ? k 的形式,求出顶点坐标和对称轴。
1 2 5 = 1 x2 ? 6 x ? 5 = 1 x2 ? 6 x ? 9 ? 9 ? 5 解: = x ? 3x ? ) ( ) 2( y 2 2 2 1 2 1? 2 ? = ( x ? 3) ? 2 = ( x ? 3) ? 4 ? 2 2?

顶点坐标为(-3,-2),对称轴为x=-3

练习1 用配方法把 y = 2 x 2 ? 4 x ? 7 化为
y = a ( x ? h ) ? k 的形式,求出顶点坐标
2

和对称轴。 答案:y = 2 ( x ? 1) ? 5 ,顶点坐标是(1,5), 对称轴是直线 x=1.
2

y = ax 2 ? bx ? c 化为 2.用公式法把抛物线

把 y = ax ? bx ? c 变形为 y = a ( x ? h ) ? k 的方法 和我们前面学过的用配方法解二次方程 2 ax “ ? bx ? c = 0 ”类似.具体演算如下:
2
2

y = a ( x ? h ) ? k 的形式。
2

c? ? 2 b y = ax ? bx ? c = a ? x ? x ? ? a a? ?
2
2 2 ? 2 b b ? ? b ? c? ? = a ?x ? x ? ? ? ? ? ? ? ? a a? ? 2a ? ? 2a ? ? ? ? 2 2 2 ? ?? b ? 4ac ? b 2 ? b ? 4ac ? b = a x ? = a ?? x ? ? ? ? ? ? ? 2 2a ? 4a 2a ? ? 4a ?? ? ? ?

y = ax 2 ? bx ? c 的顶点坐标是 所以抛物线
? b 4ac ? b 2 ? ?? , ? 2a 4a ? ?

b ,对称轴是直线 x = ? 2a



1 2 5 例2 用公式法把 y = ? x ? x ? 化为 2 2 2 y = a ( x ? h ) ? k 的形式,求出对称轴和顶点

坐标.
1 2 5 解:在 y = ? x ? x ? 2 2
?? b =? 2a 1 = 1, ? 1? 2?? ? ? ? 2?

1 5 a 中, = ? , b = 1, c = ? 2 2

1 2 ? y = ? ( x ? 1) ? 2 , 2 ∴顶点为(1,-2),对称轴为直线 x=1。

? 1 ?? 5 ? 4 ? ? ? ?? ? ? ? 12 4ac ? b 2 4 ? 2 ?? 2 ? = = = ?2 4a ?2 ? 1? 4?? ? ? ? 2?

y = ?2 x 2 ? 8 x ? 6 化成 练习2 用公式法把
y = a ( x ? h ) ? k 的形式,并求出顶点坐标和
2

对称轴。
y 答案: = ?2 ( x ? 2 ) ? 2 ,顶点坐标为 (2,2)对称轴是直线 x=2
2

3. y = ax 2 ? bx ? c 图象的画法.

步骤:1.利用配方法或公式法把 y = ax 2 ? bx ? c
化为 y = a ( x ? h ) ? k 的形式。
2

2.确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3.在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。

例3 画出 y = ?2 x 2 ? 8 x ? 6 数图像回答:

的图像,利用函

(1)x取什么值时,y=0? (2)x取什么值时,y>0? (3)x取什么值时,y<0? (4)x取什么值时,y有最大值或最小值?

分析:我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点,过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴.在对称轴的一侧再找 两个点,则根据对称性很容易找出另两 个点,这四个点连同顶点共五个点,过 这五个点画出图像.

(1)用顶点坐标公式,可求出顶点为(2,2), 对称轴是x=2. (2) 当x=1时,y=0,即图 象与x轴交于点(1,0),根据轴对称,很容 易知道(1 ,0)的轴对称点是点(3,0) .又当 x=0时,y=-6,即图象与y轴交于点(0, -6),根据轴对称,很容易知道(0,-6)的 轴对称点是点(4,-6).用光滑曲线把五个 点(2,2),(1,0),(3,0),(0,-6),(4, 的 -6)连结起来,就是 y = ?2 x 2 ? 8 x ? 6 = 0图象。

y = ?2 x 2 ? 8 x ? 6 = 0 解:列表

x y

… 0 1 … -6 0

2 2

3 4 0 -6

… …

y

(1,0)

· · ·

(2,2)y

= ?2 x ? 8 x ? 6
2

(0,-6)

·

由图像知: (3,0) (1)当x=1或x=3时, x y=0; (2)当1<x<3时, y>0; (3)当x<1或x>3时, y<0; x=2 (4)当x=2时, y有最大值2。

(4,-6)

·

练习3 画出 y = x ? 2 x ? 2 的图像。
2

x y

… …

-1 5

0 2

1 1

2 2

3 5

… …

y=x2-2x+2

x=1

y = ax 2 ? bx ? c 的性质: 4.二次函数

(1)顶点坐标

? b 4ac ? b 2 ? ?? , ?; 4a ? ? 2a

b (2)对称轴是直线 x = ? 2a

(3)开口方向:当 a>0时,抛物线开 口向上;当 a<0时,抛物线开口向下。

(4)最值: b 如果a>0,当 x = ? 2a 时,函数有最小值,
b 时,函数有最大值, 如果a<0,当 x = ? 2a 2
4ac - b y最大= ; 4a

4ac - b 2 y最小= , 4a

(5)增减性:
b ①若a>0,当 x ? ? 时,y随x的增大而增大; 2a

b 当 x ? ? 时,y随x的增大而减小。 2a
b ②若a<0,当 2a 时,y随x的增大而减小; b 当 x ? ? 2a 时,y随x的增大而增大。 x??

(6)抛物线 y = ax 2 ? bx ? c 与坐标轴的交点 ①抛物线 y = ax 2 ? bx ? c 与y轴的交点坐标 为(0,c) ②抛物线 y = ax2 ? bx ? c 与x轴的交点坐标为

( x1 , 0 ) , ( x2 , 0 ),其中 x1 , x2为方程 ax2 ? bx ? c = 0
的两实数根

(7)抛物线 y = ax ? bx ? c 与x轴的交点情况
2

可由对应的一元二次方程ax2 ? bx ? c = 0
的根的判别式判定: ① △>0?有两个交点?抛物线与x轴相交; ② △=0?有一个交点?抛物线与x轴相切; ③ △<0?没有交点?抛物线与x轴相离。

例4 已知抛物线

y = x 2 ? ( k ? 4 ) x ? k ? 7,

①k取何值时,抛物线经过原点; ②k取何值时,抛物线顶点在y轴上; ③k取何值时,抛物线顶点在x轴上; ④k取何值时,抛物线顶点在坐标轴上。

解:①抛物线经过原点,则当x=0时,y =0,所以 0 = 02 ? ( k ? 4 ) ? 0 ? k ? 7 ,所以k= -7,所以当k=-7时,抛物线经过原点; ②抛物线顶点在y轴上,则顶点横坐标为0, ? ( k ? 4) b 即 ? =? = 0 ,所以k=-4,所 以当k=-4时,抛物线顶点在y轴上。
2a 2 ?1

③抛物线顶点在x轴上,则顶点纵坐标为0, 2 2 即 4ac ? b = 4 ? 1 ? ( k ? 7 ) ? ( k ? 4 ) = 0 ,整理得
4a 4 ?1

k 2 ? 4k ? 12 = 0 ,解得:k1 = 2, k2 = ?6 ,所

以当k=2或k=-6时,抛物线顶点在x轴 上。

④由②、③知,当k=-4或k=2或k=-6 时,抛物线的顶点在坐标轴上。

例5 当x取何值时,二次函数 y = 2 x2 ? 8x ? 1 有最大值 或最小值,最大值或最小值是多少?

解法一(配方法):
y = 2 x2 ? 8x ? 1 = 2 ( x 2 ? 4 x ) ? 1 = 2 ( x 2 ? 4 x ? 4 ? 4 ) ? 1
= 2 ( x ? 2 ) ? 7 ? ?7
2

y 所以当x=2时, 最小值=-7 。

解法二(公式法): 因为a=2>0,抛物线 y = 2 x2 ? 8x ? 1 有最低点, 所以y有最小值, 因为 -
b ?8 4ac ? b =? = 2, = 2a 2? 2 4a
2

4 ? 2 ? 1 ? ( ?8 ) 4? 2

2

= ?7

所以当x=2时,y最小值=-7 。 总结:求二次函数最值,有两个方法. (1)用配方法;(2)用公式法.

1 2 1 例6已知函数 y = ? x ? 3x ? ,当x为何值 2 2

时,函数值y随自变量的值的增大而减小。
1 ? 解法一: a = ? ? 0 2

, ∴抛物线开口向下,

1 1 1 2 1 y = ? x 2 ? 3x ? = ? ( x ? 6x ? 9 ? 9) ? 又 2 2 2 2 1 9 1 = ? 1 x?3 2 ?5 2 ( ) = ? ( x ? 3) ? ? 2 2 2 2

∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时,y 随x的增大而减小。

解法二:
1 ? a = ? ? 0 ,∴抛物线开口向下, 2
b ? ? =? 2a ?3 = ?3 ? 1? 2?? ? ? ? 2?

∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时, y随x的增大而减小。

例7 已知二次函数
y = ( m ? 1) x 2 ? 2mx ? ( 3m ? 2 )( m ? 1)

的最大值是0,求此函数的解析式.

解:此函数图象开口应向下,且顶点纵坐 标的值为0.所以应满足以下的条件组.
m ? 1 ? 0, ① ? ? 2 ? 4 ( m ? 1)( 3m ? 2 ) ? ( 2m ) =0 ? 4 ( m ? 1) ? ②

1 由②解方程得 m1 = , m2 = 2 (不合题意,舍去) 2
1 ?1 ? 2 ? 1 ? 所求函数解析式为 y = ? ? 1? x ? 2 ? x ? ? 3 ? ? 2 ? , 2 ?2 ? ? 2 ?

1 2 1 即y = ? x ? x ? 。 2 2

5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。 (1)a决定抛物线形状及开口方向,若 a 相 等,则形状相同。 ①a>0?开口向上; ②a<0?开口向下。

5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。

(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置,由 于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线
b x=? 2a

,故

①若b=0?对称轴为y轴, ②若a,b同号?对称轴在y轴左侧, ③若a,b异号?对称轴在y轴右侧。

5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴 交点的位置。 当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax2+bx+c 与y轴有且只有一个交点(0,c), ①c=0?抛物线经过原点; ②c>0?与y轴交于正半轴; ③c<0?与y轴交于负半轴。

例8 已知如图是二次函数y=ax2+bx+c的图 象,判断以下各式的值是正值还是负值. (1)a;(2)b;(3)c;(4)b2-4ac;(5)2a+b; (6)a+b+c;(7)a-b+c.

分析:已知的是几何关系(图形的位置、 形状),需要求出的是数量关系,所以应 发挥数形结合的作用.

判断a的符号

解: (1)因为抛物线开口向下,所以a<0;

判断b的符号

(2)因为对称轴在y轴右侧,所以
b ? ? 0 ,而a<0,故b>0; 2a

判断c的符号

(3)因为x=0时,y=c,即图象与y轴交点 的坐标是(0,c),而图中这一点在y轴正 半轴,即c>0;

判断b2-4ac的符号

(4)因为顶点在第一象限,其纵坐标
4ac ? b 2 ? 0 ,且a<0,所以4ac ? b2 ? 0 ,故 4a

b2 ? 4ac ? 0 。

判断2a+b的符号

b (5)因为顶点横坐标小于1,即 ? ? 1 , 2a

且a<0,所以-b>2a,故2a+b<0;

判断a+b+c的符号

(6)因为图象上的点的横坐标为1时,点 的纵坐标为正值,即a·2+b· 1 1+c>0, 故a+b+c>0;

判断a-b+c的符号

(7)因为图象上的点的横坐标为-1时, 点的纵坐标为负值,即a(-1)2+b(-1) +c<0,故a-b+c<0.

例9.用总长为 m 的篱笆围成矩形场地, 60 当l是多少时场地面积 最大? S

矩形面积 随矩形一边长的变化而变化, S l

练习 1
已知抛物线 = ax ? bx ? c过点A( ?2,0), y
2

B( 3,0), C (0,?6), 求抛物线解析式

一般式 交点式 顶点式

2.分 别 在 下 列 范 围 内 求 函 y = x ? 2 x ? 3 数
2

的最大值和最小值 ( 1 )0 ? x ? 2 ( 2 )2 ? x ? 3
3.抛 物线y = ax ? bx ? c( a ? 0 )的 对称 轴
2

是x = 2 , 且 经过 点 ( 3 ,0 ), 则a ? b ? c的 P 值 为( )

4.已 知 二 次 函 数 = ax ? bx ? c的 图 象 与 y
2

x轴 交 于( x1 ,0 )( x 2 ,0 )两 点 , 且 ? x1 ? 1 , 0
2.5

1 ? x 2 ? 2 ,与y轴 交 于 点 0 ,?2 ).下 列 结 论 : ( y
2 1.5

( 1 )2a ? b ? 1 ( 2 )3a ? b ? 0
-4 -3 -2 -1

1

0.5

( 3 )a ? b ? 2 ( 4 )a ? ?1其 中 正 确 的个数为 ( A .1 B .2 ) C .3

1
1 -0.5

2
2

3

x

?1
-1 -1.5

?2
-2 -2.5

D .4
-3 -3.5

5.二次函数 = ax ? bx ? c的图象开口向上, y
2

图象经过点 ?1 ,2 )( 1 ,0 )且与y轴相交于负半轴 (

( a )问:给出四个结论: a ? 0( 2 )b ? 0( 3 )c ? 0 (1 ) ( 4 )a ? b ? c = 0其中正确结论的序号是 ______

(b )问 : 给 出 四 个 结 论 : (1)abc ? 0( 2)2a ? b ? 0 ( 3)a ? c = 1( 4)a ? 1 其中正确结论的序号 是 ______
?1

y

2

1

x

6.已知抛物线 = ax ? bx ? c的顶点在 y
2

3 2 抛物线y = ? x 上,并且它与抛物 8 1 2 线y = x 的开口方向和开口大小 完 2 全相同,又抛物线过点 ( 0 ,2 ),求 M 此抛物线的解析式

7.二次函数 = ? mx ? 4m 的顶点坐标为 0 ,2 ), y (
2

矩 形ABCD的顶点B , C在x轴上,A , D在抛物 线上,矩形 ABCD在抛物线与 轴所围成的 x 图形内 ( 1 )求二次函数的解析式 周 长P关于自变量 的函数解析式,并求出 x x 的取值范围 为9?试证明你的结论

( 2 )设 点A的坐标为 x , y ),试求矩形 ( ABCD的

( 3 )是否存在这样的矩形 ABCD,使它的周长

13 5 8.若A( ? , y1 )B( ?1 , y2 )C ( , y3 )为二次函数 4 3 2 y = ? x ? 4 x ? 5的图象上的三点,则1 , y2 , y3 y 的大小关系是________
2

9.已知抛物线 = x ? bx ? c与x轴只有一个交点, y 且交点为 ( ?2 ,0 ) A ( 1 )求b , c的值 ( 2 )若抛物线与 轴的交点为 ,坐标原点为 , y B O 求?OAB的周长

2+bx+c 二次函数y=ax

图象和性质
y

o

x

一般地,抛物线y=a(x-h) +k与 y=ax2的 形状 相同, 位置 不同
2

上加下减 y=ax 左加右减
2

y=a(x-h) +k

2

抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
, 当a﹤0时,开口 向下 , 2.对称轴是直线X=h ; 1.当a﹥0时,开口向上

3.顶点坐标是 (h,k) 。

二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6

开口方 向

对称轴

顶点坐标 (-3,5)

向上 直线x=–3

向下 直线x=1 (1,-2)
向上 直线x=3 (3,7 ) 向下 直线x=2 (2,-6)

1 2 你能说出二次函数y=—x -6x+21 2 图像的特征吗?

1 2 如何画出 y = x ? 6 x ? 21的图象呢? 2

我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,

容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函 1 2 数 y = x ? 6 x ? 21也能化成这样的形式吗? 2

1 2 y = x ? 6 x ? 21 2

你知道是怎样配 方的吗?

配 方

(1)―提”:提出二次项系数;

( 2 )“配”:括号内配成完全平方

(3)“化”:化成顶点式。

1 (x―6) 2 +3 y= — 2

归纳

1 2-6x +21图象的 二次函数 y= —x
画法:
2 (1)―化” :化成顶点式 ;

(2)―定”:确定开口方向、对称轴、顶 点坐标; (3)―画”:列表、描点、连线。

x
1 y = ( x ? 6) 2 ? 3 2

… …

3
7.5

4
5

5
3.5

6
3

7
3.5

8
5

9
7.5

… …

y
10

5

O

5

10

x

画二次函数的图象取点时先确 定顶点,再在顶点的两旁对称 地取相同数量的点,一般取5 -7个点即可。

b ? 4ac ? b 2 ? y = a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

2

函数y=ax?+bx+c的顶点是
求二次函数y=ax? +bx+c的对称轴和顶点坐标.

?配方:

y = ax2 ? bx ? c

这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.

? 2 b ? b ? ? b ? 2 c ?配方:加上再 = a? x ? x? ? ? ? ? ? ? ?减去一次项系 ? a ? 2a ? ? 2a ? a ?数绝对值一半 ? ? 的平方 2 2? ?? b ? 4ac ? b = a ?? x ? ? ? ? 整理:前三项化为平方形 2 2a ? 4a ? 式,后两项合并同类项 ?? ? ?
b ? 4ac ? b 2 ? = a? x ? ? ? . 化简:去掉中括号 2a ? 4a ?
2

c? ? 2 b = a? x ? x ? ? a c? ? 2

提取二次项系数

函数y=ax?+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么? b
y = ax ? bx ? c的对称轴是:x = ?
2 2

2a

b 4ac ? b 顶点坐标是:(? , ) 2a 4a
1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶 点坐标:

y = 3x ? 4 x ? 1 y = ?2 x ? x ? 3
2 2

函数y=ax?+bx+c的对称轴、 顶点坐标是什么? b
y = ax ? bx ? c的对称轴是:x = ?
2 2

2a

b 4ac ? b 顶点坐标是:(? , ) 2a 4a 2 2. 物线y = 2x + bx + c的顶点坐标 抛
为(- 1,2),则b = ______,c = ______ .

例1:指出抛物线: y = ? x ? 5 x ? 4 的开口方向,求出它的对称轴、顶点坐 标、与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐 标。并画出草图。
2

对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向,求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标(有交 点时),这样就可以画出它的大致图象。

方法归纳
1

配方法

2

公式法

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x = ? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x = ? 2a

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

b 4ac ? b 2 当x = ? 时, 最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x = ? 时, 最大值为 2a 4a

y = ax ? bx ? c 图象的画法.
2

步骤:1.利用配方法或公式法把 y = ax 2 ? bx ? c
化为 y = a ( x ? h ) ? k 的形式。
2

2.确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3.在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。

1 例 当x取何值时,二次函数 y = 2 x2 ? 8x ? 有最大值 或最小值,最大值或最小值是多少?

解法一(配方法):
y = 2 x2 ? 8x ? 1 = 2 ( x 2 ? 4 x ) ? 1 = 2 ( x 2 ? 4 x ? 4 ? 4 ) ? 1
= 2 ( x ? 2 ) ? 7 ? ?7
2

y 所以当x=2时, 最小值=-7 。

解法二(公式法): 因为a=2>0,抛物线 y = 2 x2 ? 8x ? 1 有最低点, 所以y有最小值, 因为 -
b ?8 4ac ? b =? = 2, = 2a 2? 2 4a
2

4 ? 2 ? 1 ? ( ?8 ) 4? 2

2

= ?7

所以当x=2时,y最小值=-7 。 总结:求二次函数最值,有两个方法. (1)用配方法;(2)用公式法.

1 2 1 例已知函数 y = ? x ? 3x ? ,当x为何值时, 2 2

函数值y随自变量的值的增大而减小。
1 ? 解法一: a = ? ? 0 2

, ∴抛物线开口向下,

1 1 1 2 1 y = ? x 2 ? 3x ? = ? ( x ? 6x ? 9 ? 9) ? 又 2 2 2 2 1 9 1 = ? 1 x?3 2 ?5 2 ( ) = ? ( x ? 3) ? ? 2 2 2 2

∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时,y 随x的增大而减小。

解法二:
1 ? a = ? ? 0 ,∴抛物线开口向下, 2
b ? ? =? 2a ?3 = ?3 ? 1? 2?? ? ? ? 2?

∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时, y随x的增大而减小。

例已知二次函数
y = ( m ? 1) x 2 ? 2mx ? ( 3m ? 2 )( m ? 1)

的最大值是0,求此函数的解析式.

解:此函数图象开口应向下,且顶点纵坐 标的值为0.所以应满足以下的条件组.
m ? 1 ? 0, ① ? ? 2 ? 4 ( m ? 1)( 3m ? 2 ) ? ( 2m ) =0 ? 4 ( m ? 1) ? ②

1 由②解方程得 m1 = , m2 = 2 (不合题意,舍去) 2
1 ?1 ? 2 ? 1 ? 所求函数解析式为 y = ? ? 1? x ? 2 ? x ? ? 3 ? ? 2 ? , 2 ?2 ? ? 2 ?

1 2 1 即y = ? x ? x ? 。 2 2

练习1、已知抛物线y= 2+bx+c与抛物线 y=-2x2 ax 形状相同,且顶点坐标为(1,-5) 的函数解析式为 . 2+n的图 2、若抛物线y=a(x-m ) 2的图象的形状 象与函数y=2x 相同,且顶点为(-3,2),则函数的 解析式为 .

3、已知抛物线y= 2 形状相同,但开 与抛物线y=x 口方向相反,且顶点坐标为 (-1,5)的函数解析式为 .
2+bx+c ax

4.抛物线y=-x2+mx-n的顶点坐标是 (2,-3),求m,n的值。

5.不画图象,说明抛物线y=-x2+4x+5可 由抛物线y=-x2经过怎样的平移得到?

求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴

1 ①y=2x2-5x+3②y=- 2

x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)

请画出草图:

3

-9

-6

抛物线位置与系数a,b,c的关系:

⑴a决定抛物线的开口方向: a>0 开口向上 a<0 开口向下 ⑵ a,b决定抛物线对称轴的位置: b (对称轴是直线x = -— ) 2a ① a,b同号<=> 对称轴在y轴左侧; ② b=0 <=> 对称轴是y轴; ③ a,b异号<=> 对称轴在y轴右侧

【左同右异】

⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置: ① c>0 <=>图象与y轴交点在x轴上方; ② c=0 <=>图象过原点; ③ c<0 <=>图象与y轴交点在x轴下方。 2 b 4ac ? b ⑷顶点坐标是( ? , )。 2a 4a (5)二次函数有最大或最小值由a决定。 b

值 2 4ac-b y=

当x=- — 时,y有最大(最小) 2a

______________________

4a

例2、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示,x= 1 为该图象的对称轴,根
3

据图象信息你能得到关于系数a,b,c的 一些什么结论? y
1 3 .

-1

.

1

x

1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

(C )

2.不论k 取任何实数,抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0) 的顶点都在 ( B) A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a 的值是 ( ) A ? A 4 B. -1 C. 3 D.4或-1

4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立 的是 (B) y 2-4ac>0 - b <0 A.b B. 2a
1 o x D. 4ac-b2 >0-1 4a 5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向 下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则( B ) A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18

C.a+b+c=0

6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四 象限,则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是 y y y (C ) y
o

A 7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与 一次函数y=ax+c的大致图象可能是 ( C)
y o x o y x o y x o y x

-3

x

o B -3

x

o C -3

x

o D -3

x

A

B

C

D

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x = ? 2a

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x = ? 2a

顶点坐标
对称轴 位置 开口方向

由a,b和c的符号确定

由a,b和c的符号确定

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

增减性 最值

b 4ac ? b 2 当x = ? 时, 最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x = ? 时, 最大值为 2a 4a

(五)、学习回顾:
填写表格:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标

y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0)

y=a(x-h)2(a>0)
y=a(x-h)2 +k(a>0)

y= ax2 +bx+c(a>0)

小结

拓展

回味无穷

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax?的关系
?1.相同点: ?(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). ?(2)都是轴对称图形. ?(3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上, 在对称轴左侧,y都随x的增大而减小, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下, 在对称轴左侧,y都随x的增大而增大, 在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小 .

驶向胜利 的彼岸

小结

拓展

回味无穷

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax?的关系
2.不同点: (0,0).

驶向胜利 的彼岸

? b 4ac ? b 2 ? (1)位置不同(2)顶点不同:分别是??? ? 2a , 4a ???和

(3)对称轴不同:分别是 和y轴. ? (4)最值不同:分别是 4ac4a b 和0. 3.联系: y=a(x-h)?+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax? 的图象 b b ? ?>0时,向右 先沿x轴整体左(右)平移| |个单位(当 2a 2a b ? 平移;当 <0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平 2a 4ac ? b 4ac ? b ? 移| |个单位 (当 >0时向上平移;当 4ac4a b <0时, 4a 4a 向下平移)得到的.
直线x = ?
2 2 2 2

b 2a

二次函数解析式
1. 一般式:y=ax2+b x+c 2. 顶点式:y=a (x-h)2+k 3. 交点式:y=a (x-x1)(x-x2)

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象 性质
? a>0,抛物线开口向上, a<0,抛物线开口向下; b ? 对称轴为x= ?
2a

? 顶点坐标为

b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a

? 与y轴的交点坐标为(0,c)

? △ >0 图象与x轴交于两点

△ =0 图象与x轴交于一点
△<0 图象与x轴无交点

? b ? b 2 ? 4ac ( ,0 ) 2a b (? , ) 0 2a

? 当a>0时,函数在x=
y=
4ac ? b 2 4a

b 处,取得最小值 ? 2a

当a<0时,函数在x= y=
4ac ? b 2 4a

b ? 处,取得最大值 2a

2+b 1.一般式:y=ax

x+c

? 例1:已知二次函数的图象过点(1,2)、(3, 5)、(-2,-6),求该函数的解析式。
分析:将三个点的坐轴代入函数的解析式,得

?a ? b ? c = 2 ? ?9a ? 3b ? c = 5 ?4a ? 2b ? c = ?6 ? 解出这个方程组即可

2. 顶点式:y=a

2+k (x-h)

? 例2:已知二次函数的图象的顶点坐标是 (-4,8),且图象过点(0,3),求函 数的解析式。 分析:函数的顶点坐标是(h,k),所 以h=-4,k=8,即得y=a(x+4)2+8

3. 交点式: y=a (x-x1)(x-x2)
? 例3:已知二次函数的图象与x轴的交点的 横坐标是3,-2,且与y轴交点的纵坐标是7, 求该二次函数的解析式。 分析:由题意得: x1=3, x2=-2代入函 数解式为y=a(x-3)(x+2),再将x=0,y=7 代入前式即可解出a值 结果:

一、复习: 1、二次函数y=0.5x2-x-3写成y=a(x-h)2+k 的形式后,h=___,k=___

2、抛物线y=-x2-2x+3的开口向 , 对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 。
3、二次函数y=x2-2x-k的最小值为-5, 则解析式为 。

4、已知抛物线y=x2+4x+c的的顶点在x轴上, 求c的值?

二、用待定系数法求抛物线解析式
例1、已知二次函数的图象经过(0,1),(2,4),

(3,10)三点,请你用待定系数法求这个函数
的解析式。 例2、已知二次函数的图象经过(0,1),它 的顶点坐标是(8,9),求这个函数的解析式。 例3、已知抛物线的顶点在原点,且过(2,8), 求这个函数的解析式。

根据下列已知条件,求二次函数的解析式: (1)抛物线过点(0,2),(1,1),(3,5) (2)抛物线顶点为M(-1,2)且过点N(2,1)

(3)抛物线过原点,且过点(3,-27)
(4)已知二次函数的图象经过点(1,0),

(3,0),(0,6)求二次函数的解析式。
(5)抛物线y=ax2+bx+c经过(0,0)与(12,0), 最高点的纵坐标是3,求这条抛物线的解析式

综合例题:
例1:已知二次函函数图像经过点A(-1,0), B(3,0),与y轴的交点C,且三角形ABC的 面积为6
C

A -1
C

B 3

例2:当x=-1,y有最大值4,抛物线与x轴 的交点的横坐标为x1 , x2 ,且x12+x22=10

练习:
1、已知二次函数的图像经过点A(-1,12),B (2,-3) (1)求该二次函数的解析式 (2)用配方法把由(1)得到的解析式化为的 形式,并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴; (3)求抛物线与x轴的两个交点C,D的坐标及 三角形ACD的面积 2、已知的图像与x轴只有一个公共交点(-1,0), 要求至少用三种方法求p,q的值

小结:
在选用二次函数的解析式时应根据实际条 件进行选用,它们一般满足以下规律: 一般式: y=ax2+b

x+c

已知三点坐标或三对x,y值时

顶点式:y=a (x-h)2+k
已知顶点坐标或对称轴与函数最大(小)

值时

交点式:y=a (x-x1)(x-x2)
已知图象与x轴交点的坐标

一、复习: 1、抛物线y=-x2+2x - 3的开口向 , 对称轴 ,顶点坐标 ;当x 时,y最__值 = ,与x轴交点 ,与y轴交点 。
2

2、抛物线 y = 2( x ? m) ? n的顶点是(-2,3), 则m= ,n= ;当x 时,y随x的增大而增大。

3、已知二次函数 y = x ? 6 x ? m 的最小值 为1,则m= 。
2

4、m为 时,抛物线 y = 2 x ? mx ? 4 的顶点在x轴上。
2

5、已知一个二次函数的图象经过(-1,10), (1,4),(2,7)三点, 求这个函数的解析式。

6、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 且抛物线的顶点是(4,-8),求它的解析式。

二、判断正负性

例1、如图,二次函数y=ax2+bx+c
则a 0, b a+b+c b2-4ac 0, c 0, 0 0,
-1 1 1 -1

a-b+c 0,

练习:判断下列抛物线中a,b,c的符号 y y y

0

x

0

x

0

x

练习:抛物线y=ax2+bx+c的顶点在第一象 限,且与x轴交于点A,且与y轴交于点C, 点C在线段OB上。点A、B的坐标为(1,0), (0,1)。试确定下列代数式的符号?
(1)a,(2)b,(3)c, y B(0,1) (4)a+b+c
C

(5)a-b+c (6)a+b+1

A(1,0)

x

三、抛物线与x轴的交点问题
1 2 3 5 例2、已知抛物线 y = 4 x ? 2 x ? 4

与x轴交于A、B两点,且点A在B的右侧, 顶点为C, (1)求A、B、C的坐标; (2)求SΔ CAB

抛物线与x轴的交点的横坐标就是一元二 次方程的两个根,因而可将函数知识与方 程中根的判别式、根与系数的关系联系起 来。

对于函数 y 令y=0,则
b2-4ac>0 b2-4ac=0

ax ? bx ? c = 0
2

= ax ? bx ? c
2

抛物线与x轴有两个交点 抛物线与x轴有一个交点

b2-4ac<0

抛物线与x轴没有交点

练习:抛物线 y 与x轴的关系是

= x ? 2(m ? 1) x ? 4m
2



若抛物线与x轴有两个交点A、B
? b ? b 2 ? 4ac 则A( ? b ? b ? 4ac ,0),B( ,0) 2a 2a
2

? 因此AB= |a|
已知抛物线 y

= a( x ? 2) ? 9在x轴上
2

截得的线段长是6,求a的值。

例1.若函数y= -mxm+1+2mx+3的图象是 抛物线,求m的值及函数解析式.
解:由题意得 m+1=2 -m≠0 ∴m=1 解析式为:y= -x2+2x+3

255

二次函数定义: 如果y=ax2+bx+c(a ≠0,a、b、c是常数), 那么y叫做x的二次函数
? 特殊形式: ? y=ax2(a ≠0,b=c=0) ? y=ax2+c(a ≠0, b=0 ,c ≠0 ,) ? y=ax2+bx(a ≠0,b ≠0 ,c=0)

y=ax2
y 0

y=ax2+c
y x 0 x 0

y=ax2+bx
y

1、画出y= -x2+2x+3的图象,并分析它的性质
y 3 C M(1,4) ? 与x 轴的交点: ∵y=0, ∴ -x2+2x+3=0, ∴x1=3,x2= _1 -1 H 3 B 0 1 A x ∴A (3,0),B(_1,0) ?与y轴的交点: ∵x=0, ∴y=3, x=1 ∴C(0,3) ?∵ y= _(x2_2x)+3 = _(x2_2x+1)+3+1 = _(x_1)2+4 ∴对称轴是直线x=1 ?顶点坐标是M(1,4)

y y1 3

M(1,4) (x1 ,y1) (x2,y2)

? ∵a= —1<0,∴开口 向下 ? 当x=1时,y有最大值4
?当x <1时,y随x的增大 而增大,当x>1时, y随 x增大而减小

y2

-1 0

1 x1 x2 3 x x=1

259

M(1,4) 3 C -1 B 0 H 1

?面积: S△ABC=AB×OC/2 =4×3/2=6

?S△ABM=AB×MH/ 3 2 =4×4/2=8 A x

x=1

y 3

y= -x2+2x+3
M(1,4)

? 从图象上观察:当x为 何值时,y=0?y>0?y<0? 当x=-1或3时,y=0; 当-1<x<3时,y>0 ; 当x>3 或x<-1时,y<0 ?平移: y= -x2+2x+3 = -(x_1)2+4 ,

-1 0

1

3 x

x=1
y= -x2

y= _(x_1)2
y= _(x_1)2+4 y= -x2+4

小结:二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)性质
? 开口方向由a决定,a>0,开口向上; a<0,开口向下。 ? 对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标( -b/2a, 4ac-b2/4a)。图象是抛物线。 ? 当a >0,y有最小值是4ac-b2/4a 。 当x< -b/2a时,y随x的增大而减小, 当x> -b/2a时,y随x的增大而增大 ? 当a <0,y有最大值是4ac-b2/4a 当x< -b/2a时,y随x的增大而增大, 当x> -b/2a时,y随x的增大而减小

(1)在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P(点
C除外),使△ABP面积等于△ABC面积?
解:假设存在满足条件的点P, y C 3 P 3 Q Ax

则作PQ⊥x轴∵ S△ABp = S△ABC, ∴ AB×PQ/2= AB×OC/2, -1 ∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3, B 0 ∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。 ∴p(2,3)

或-3= -x2+2x+3, x2_2x-6=0
263

x=1±√7,∴p(1+√7,-3),p(1-√7 ,-3)

(2)二次函数y= -x2+2x+3的顶点为M,当 M在对称轴上移动时,抛物线与 x轴有两 个交点E(x1,0),F(x2,0)(x1<x2)
y
M(1,4)

问点M移动到什么 位置时,①EF=6?

3 C -1 B 0 3 A

1 x=1

x

解:设M(1,k), 设抛物线解析式为 y=-(x-1)2+k=-x2+2x+k-1, y= -x2+2x+3 y ∵抛物线是轴对称图 M(1,4) 形,∴ME=MF , 当∠MEF=60°时, M(1,k) △MEF是等边三角形。 ∴tan∠MEF=MH/EH, 60°H x E 0 1 F EF=√△/lal=2√k, ∴EH=√k x=1 ∴tan 60°=k/√k, y= -(x-1)2+k ∴k=3,∴M(1,3)

②△MEF是等边三角形?

③ △MEF是直角三角形?
y M(1,4)

y= -x2+2x+3
M(1,k) F 1

H

E 0

x

x=1

小结:
1、二次函数的定义

2、二次函数的性质
3、数学思想方法的应用,如数 形结合、分类讨论、运动变化等

(1)如果一个二次函数经过y= -x2+2x+3与x 轴的两个交点A、B,它与y轴的交点为C,
y C
-1 B 0

当△ABC是直角三角 形时,求它的解析式。
分析:OC2=OB×OA=3, 3 OC=√3,∴C(0, √3)或C(0, A x -√3)。

C 再由A(3,0),B(-1,0),C(0, √3) 或C(0, -√3)确定解析式。

(2)二次函数y= M(1,4) -x2+2x+3与x轴的交点 3 C 为A(3,0),B(-1,0), 是否存在过A、B 两点 3 且与y轴相切的圆?若 -1 B 0 1 A 不存在,说明理由。 若存在,求出圆心坐 x=1 标和半径。

y

x

(3)若二次函数变为 y= -x2+3x-2,①情况怎 样?即设它与x轴的交 点是A、B,否存在过A、 B 两点且与y轴相切的 圆?若不存在,说明 理由。若存在,求出 圆心坐标和半径。
答案:P(1.5,√2),半径1.5。

y

C 0 1 A C

P 2 B x

P X=1.5

或P(1.5,-2),半径1.5

②设二次函数 y= -x2+3x-2与y轴交 于G点,则过A、B、 G可确定一个圆,说 明此圆与抛物线有 没有除A、B、G以 外的第四个公共点, 若有,求出点的坐 标,若没有,说明 理由。

课前热身
根据要求填空:

(1)抛物线
对称轴是
直线x = ? b 2a

? b 4ac ? b 2 ? ? ? 的顶点坐标是 ? ? 2a , 4a ? ? ?

,

.

(2)抛物线 y =

1 2 x ? 2 x ? 1 的顶点坐标是 (-2,-1) 2 对称轴是 直线x=-2 .

,

(3)抛物线 y = ? x 2 ? x ? 2的顶点坐标是 (2, -1) 对称轴是
直线x=2

1 4

,

.

新知探索
根据右边已画好的函数图象回答问题: (1)抛物线 量X增大时,函数值y将怎样变化? 先减小,后增大. 当x ≤-2 时,y随着x的增大而减小 (2)抛物线 y = ? x 2 ? x ? 2 ,当自变 量X增大时,函数值y将怎样变化? 先增大,后减小. 当x ≤2 时,y随着x的增大而增大 当x ≥2 时,y随着x的增大而减小.
1 4
1 y = x2 ? 2x ?1 2
Y
5 4

,当自变

3
2 1

y=

1 2 x ? 2x ?1 2

直线x=2
1 2 3 4 5 X

-5 -4 -3 -2 -1 O -1

当x ≥-2 时,y随着x的增大而增大.

直线x=-2 -2
-3 -4 -5

1 y = ? x2 ? x ? 2 4

思考:二次函数的增
减性由什么确定的?

新知探索
根据右边已画好的函数图象填空: (1)抛物线 顶点是图象的最 低 点。 该函数有没有最大值和最小值?
1 y = x2 ? 2x ?1 2
Y
5 4 3 2 1



y=

1 2 x ? 2x ?1 2

-1 当x=____时,y有最___值=______ -2 小
(2)抛物线 y = ? x 2 ? x ? 2 的 4 顶点是图象的最 高 点。
1

-5 -4 -3 -2 -1 O -1
-2 -3 -4 -5

1

2

3

4

5 X

1 y = ? x2 ? x ? 2 4

该函数有没有最大值和最小值?
-1 当x=____时,y有最___值=______ 2 大

思考:函数最大值或
最小值由什么确定的?

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线 顶点坐标 对称轴

y=ax2+bx+c(a>0) ? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直 线x = ? 2a
由a,b和c的符号确定

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x = ? 2a

位置 开口方向
增减性 最值

由a,b和c的符号确定

向上
b 当x ? ? 时 2a ,y随着x的增大而减小. b 当x ? ? 时 , y随着x的增大而增大. 2a 当x ? ?

向下
b 时 2a b 当x ? ? 时 2a

,y随着x的增大而增大. , y随着x的增大而减小.

b 4ac ? b 2 当x = ? 时, 最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x = ? 时, 最大值为 2a 4a

1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1)求这条抛物线的解析式. (2)求出这个二次函数的最大值或最小值. (3)在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2), 且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.

练习二:一运动员推铅球,铅球经过的 路线为如图所示的抛物线。 (1)求铅球所经过的路线的函数解析式 和自变量取值范围。 (2)铅球的落地点离运动员有多远? y(m)

(4,3) (0,1.5) o x(m)

二次函数与一元二次方程 ?二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2

?(1).每个图象与x轴有几个交点? ?(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? ?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ? ①有两个交点, ? ②有一个交点, ? ③没有交点. ? 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax2+bx+c=0的根.

抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方 程的知识来说明呢? Y
△<0 △=0

△>0

O

X

?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点

一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根

一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

举例:

求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、 B的坐标。 ∴它们的纵坐标为0,

解:∵A、B在x轴上,

∴令y=0,则x2-3x+2=0
解得:x1=1,x2=2;

∴A(1,0) , B(2,0) 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系?

结论1:方程x2-3x+2=0的解就是抛物线 y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。 因此,抛物线与一元二次方程是有密切 联系的。 即:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2, 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交 x 点坐标分别是A( x1,0), B( 2,0 ) y

x1 O A

x2 x B

二次函数图象y=ax2+bx+c 如果图象的顶点在x轴上,则 如果图像的顶点在y轴上,则 二次函数图象y=-x2+2(m-1)x+2m-m2 (1)图像关于y轴对称,则m = (2)图像经过原点,则m= (3)图像与坐标轴只有2个交点,则m=

求函数的解析式的几种方法

(1) 已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.
( 1 )图象过A(0,1) 、B(1,2)、C(2,-1)三点

(1)解:设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ∵图象过A(0,1) 、B(1,2)、C(2,-1)三点
?a ? 0 2 ? b ? 0 ? c = 1 ? 2 ∴ ?a ?1 ? b ? 1 ? c = 2 ? a ? 2 2 ? b ? 2 ? c = ?1 ? ?a = ?2 ? ∴ ?b = 3 ?c = 1 ?

∴y= -2x2+3x+1

(2)图象顶点是(-2,3),且经过点(-1,5) 解:∵图象顶点是(-2,3) ∴设其解析式为y=a(x+2)2+3 ∵图象经过点(-1,5) ∴5=a(-1+2)2+3 ∴a=2

∴y=2(x+2)2+3

(3)图象经过A(1,0)、B(0,-3),且对称轴是直线x=2
解:∵A(1,0),对称轴为x=2 ∴抛物线与x轴另一个交点C应 为(3,0) ∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3) ∵B(0,-3) ∴-3=a(0-1)(0-3) ∴a= -1 ∴y= -(x-1)(x-3)
A o 1 2 C 3 x y

B -3

4、求满足下列条件的抛物线的解析式:
经过点A(2,4),B(-1,0)且在x轴上 截得的线段长为2 解: ∵B(-1,0)且在x轴上截得的线段长为2 ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为C(-3,0)或C’(1,0)
y

∴设抛物线的解析式为 y=a(x- x1)(x- x2)
①当抛物线经过B、C两点时, 解析式为y=a(x+1)(x+3) 又∵抛物线经过A(2,4) ∴4=a(2+1)(2+3)
4 ∴a= 15 4 ∴y= 15 (x+1)(x+3)

C -3

B -1 o

C’ 1

x

②当抛物线经过B、C’ 两点时,解析式为y=a(x+1)(x-1)解法同(1)

例2:
已知抛物线y=(x+1)2-2,将此抛物线分别 作轴对称变换,请分别求出变换后的抛物线。 (1)关于x轴作轴对称变换 (2)关于y轴作轴对称变换
(-1,2)



(-1,-2)

. . (1,-2) (-1,-2)

已知抛物线y=x2-2x-3,将其图像作以下对称, 请写出对称后的抛物线。

(1)关于x轴作轴对称变换
(2)关于y轴作轴对称变换

例3:
已知抛物线y=x2-2x-3,将其图像作以下对称, 请写出对称后的抛物线。 2 (1)关于顶点中心对称 (2)关于原点中心对称
函数y=a(x+m) +k 若关于顶点对称,则 变为y=-a(x+m)2+k 若关于原点对称,则 变为y=-a(x-m)2-k

(-1,4)

. .

. (1,-4)

. (1,-4)

(1,-4)

练习1、

二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 -1 对称轴x=_____ y
(-1,-2) 顶点坐标:______ -1 -2 小 当x=_____时,y有最_____值是____

函数值y<0时,对应x的取值范围是 -3<x<1 _______ 函数值y>0时,对应x的取值范围是 x<-3或x>1 _______ 函数值y=0时,对应x的取值范围是 -3或1 _______
≥-1 当x_______时,y随x的增大而增大.

-3

o -2

1

x

练一练:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、 b、c、 b2-4ac的符号:
y

o

x

练一练:
已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图

b ,a)在( D ) 所示,则点M( c
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 y

o

x

练习2、已知二次函数
y=ax2+bx+c的图象如图所

y
n

示,下列结论①a+ b + c<0
②a – b + c>0 ③abc>0 ④
-1 O
m

1

x

b=2a。其中正确的结论的
个数是( D ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

练一练:
已知:一次函数y=ax+c与二次函数 y=ax2+bx+c,它们在同一坐标系中的大 致图象是图中的( C )y
y o o y x

x (B)

(A)

y

o

x (C)

o (D)

x

数形结合
已知二次函数 y = ax ? bx ? c 图象,尽可能多的 说出一些结论.
2

(1)a >0,b < 0, c < 0.
(2)

y

x =1

b 2 ? 4ac ? 0
即 或

(3) 函数解析式: y = ( x ? 1)( x ? 3)

y = x 2 ? 2x ? 3 y = ( x ? 1) 2 ? 4

(-1,0) o (0,-3)

(3,0) x

(4)对称轴:直线x = 1 (5)顶点坐标(1,-4) (6)当x = 1时, y有最小值

?4
等等

(7)当x≥1,y 随 x 增大而增大; (8)当x = -1 或 3 时,y = 0 ; 当x≤1 ,y 随 x 增大而减小. 当-1 <x <3 时,y < 0 ;

当 x < -1或x >3 时,y > 0.

变式2:在平面直角坐标系中,如果抛物线 变式1:二次函数 y = x ? 2 x ? 3 1、在平面直角坐标系中,将二次函数 的图象 2 2 ? 1) 2 ? 4 的图象先向上平移2个单位,再 y = 如何平移能得到 y = x 的图象( A) y = ( x ? 2 x ? 3 不动,而把x轴 、y轴分别向上、向 x A、向左平移1个单位,向上平移4个单位 向左平移3个单位,所得图象的解析式为( B ) 右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解 2 2 B、向右平移1个单位,向上平移4个单位 ? ? A. y = ( x )4) ? 2 B. y = ( x 2 2) ? 2 析式是( B 2 y =y( x ? 1)?? 62 ? 2 C. C、向左平移1个单位,向下平移4个单位 D. = ( x 2) A. y y = x x ? 4) 2 2 B. = ( ( ? 3)2 ? ? D、向右平移1个单位,向下平移4个单位 2 2 D. y = ( x ? 1) ? 2 C. y = ( x ? 3) ? 6
2

2、若A( 2, y1 ),B( 1, y2 ),C(?2, y3)
2

为二次函数 y = x ? 2 x ? 3的图象上的三点, 则 y1 , y2 , y3 的大小关系是 ( B ) A. y1 ? y2 ? y3 B. y2 ? y1 ? y3 D. y1 ? y3 ? y2 C. y3 ? y1 ? y2

C

A B

2x ?1 = ? x ? 6x ? 4
2

y = 2x ?1

? y = 2x ?1 ? 2 ? y = ?x ? 6x ? 4
y = ?x ? 6x ? 4
2

数形结合 转化思想

y1 = 2 x ? 1
当x为何值时,y1> y2 ? X<1或X>3

y2 = ? x ? 6 x ? 4
2

利用图象法 求一元二次方程x? - 2x +3的近似解. =

y

y = x2 ? 2x ? 3

x1

o

x2

x

y = x2
y y

y = x?2
3 y= x
x

x2
x1
o

o x1

x2

x

y = ?2 x ? 3

根据你的图象,求当X取何值时, x? - 2x+3 >

2 你知道 x ? 2 x = 的解的个数吗? x
2

4,将抛物线y=x2向下平移后,使 它的顶点C与它在x轴上的两个 交点A,B组成等边三角形ABC, 求此抛物线的解析式.

5,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果 它的图像的顶点在x轴上,求m的值和顶 点坐标.
6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到 x轴上的点A, 所得的抛物线与y轴交于 点B,且线段OA,OB满足关系OA-1 =OB, 试说明平移方法.

练习一:一座拱桥的示意图如图,当水面宽12m 时,桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物 线,要求该抛物线的函数解析式,你认为首先要 做的工作是什么?如果以水平方向为x轴,取以下 三个不同的点为坐标原点: (1)点A,(2)点B,(3)抛物线的顶点C 得的函数解析式相同吗?请试一试。哪种取法求 得的函数解析式最简单? C 4m A

12m

B

练习2、已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物 线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0),B(0,n) (1)求这个抛物线的解析式 (2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D, 试求出点C,D的坐标和三角形BCD的面积
y D B C E O A x

已知抛物线y=ax2+bx+c与Y轴交于点A(0,3), 与X轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点 (1)求此抛物线的解析式 (2)若点D为线段OA的一个三等份点,求直线 DC的解析式 (3)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达 X轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称 轴上某点(设为点F),最后运动到点A,求使点P 运动的总路径最短的点E,F的坐标,并求出这个 最短路径长

3、(07.烟台)如图,已知抛物线L1∶y=x2-4的图像与x 轴交于A?C两点, (3)探索:当点B分别位于L1在x轴上?下 (1)若抛物线L1与L2关于x轴对称,求L2 两部分的图像上时,平行四边形ABCD 的解析式; 的面积是否存在最大值和最小值?若存 (2)若点B是抛物线L1上的一动点(B不与 在,判断它是何种特殊平行四边形,并求 A?C重合),以AC为对角线,A、B、C三 出它的面积;若不存在,请说明理由? 点为顶点的平行四边形的第四个顶点定 为D,求证:点D在L2上;

二次函数图象的性质

例3 画出 y = ?2 x 2 ? 8 x ? 6 数图像回答:

的图像,利用函

(1)x取什么值时,y=0? (2)x取什么值时,y>0? (3)x取什么值时,y<0? (4)x取什么值时,y有最大值或最小值?

y

(1,0)

· · ·

(2,2)y

= ?2 x ? 8 x ? 6
2

(0,-6)

·

由图像知: (3,0) (1)当x=1或x=3时, x y=0; (2)当1<x<3时, y>0; (3)当x<1或x>3时, y<0; x=2 (4)当x=2时, y有最大值2。

(4,-6)

·

(6)抛物线 y = ax 2 ? bx ? c 与坐标轴的交点 ①抛物线 y = ax 2 ? bx ? c 与y轴的交点坐标 为(0,c) ②抛物线 y = ax 2 ? bx ? c与x轴的交点坐标为

( x1 , 0 ) , ( x2 , 0 ),其中 x1 , x2为方程 ax2 ? bx ? c = 0
的两实数根

归纳知识点:
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题: (1)a的符号: 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0

(2)C的符号: 由抛物线与y轴的交点位置确定:

交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点

c>0

c<0
c=0

归纳知识点:
(3)b的符号:由对称轴的位置确定: 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 (4)b2-4ac的符号:

a、b同号
a、b异号 b=0 简记为:左同右异

由抛物线与x轴的交点个数确定:
与x轴有两个交点

b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0

与x轴有一个交点
与x轴无交点

归纳知识点:
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题: (5)a+b+c的符号: 由x=1时抛物线上的点的位置确定 (6)a-b+c的符号: 由x=-1时抛物线上的点的位置确定

你还可想到啥?

快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的 符号: y

o

x

快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的 符号: y

o

x

快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的 符号: y

o

x

快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的 符号: y

o

x

快速回答:
抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的 符号: y

o

x

练一练:
1.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点 b M( ,a)在( D ) c A、第一象限 y B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
o x

练一练:
2、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 下列结论中:①b>0;②c<0;③4a+2b+c > 0; ④(a+c)2<b2,其中正确的个数是 ( B ) A、4个 B、3个 y

C、2个

D、1个
o x=1

x

练一练:
3、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 下列结论中:①abc>0;②b=2a;③a+b+c<0; ④a+b-c>0; ⑤a-b+c>0正确的个数是 ( C ) A、2个 B、3个

y

C、4个

D、5个

-1 o

1

x

能力训练 1.二次函数y=-2x2-x+1的顶点位于第 象限

2.已知二次函数y=2x2-8x+1,当x=
小值为

,函数有最

3.若函数y=-0.5x2+2x+m有最大值为5,则m___ 4.将抛物线y=2x2-4x+5向左平移2个单位长度,再 向下平移3个单位长度得

例4 已知抛物线

y = x 2 ? ( k ? 4 ) x ? k ? 7,

①k取何值时,抛物线经过原点; ②k取何值时,抛物线顶点在y轴上; ③k取何值时,抛物线顶点在x轴上; ④k取何值时,抛物线顶点在坐标轴上。

解:①抛物线经过原点,则当x=0时,y =0,所以 0 = 02 ? ( k ? 4 ) ? 0 ? k ? 7 ,所以k= -7,所以当k=-7时,抛物线经过原点; ②抛物线顶点在y轴上,则顶点横坐标为0, ? ( k ? 4) b 即 ? =? = 0 ,所以k=-4,所 以当k=-4时,抛物线顶点在y轴上。
2a 2 ?1

③抛物线顶点在x轴上,则顶点纵坐标为0, 2 2 即 4ac ? b = 4 ? 1 ? ( k ? 7 ) ? ( k ? 4 ) = 0 ,整理得
4a 4 ?1

k 2 ? 4k ? 12 = 0 ,解得:k1 = 2, k2 = ?6 ,所

以当k=2或k=-6时,抛物线顶点在x轴 上。

④由②、③知,当k=-4或k=2或k=-6 时,抛物线的顶点在坐标轴上。

例5 当x取何值时,二次函数 y = 2 x2 ? 8x ? 1 有最大值 或最小值,最大值或最小值是多少?

解法一(配方法):
y = 2 x2 ? 8x ? 1 = 2 ( x 2 ? 4 x ) ? 1 = 2 ( x 2 ? 4 x ? 4 ? 4 ) ? 1
= 2 ( x ? 2 ) ? 7 ? ?7
2

y 所以当x=2时, 最小值=-7 。

解法二(公式法): 因为a=2>0,抛物线 y = 2 x2 ? 8x ? 1 有最低点, 所以y有最小值, 因为 -
b ?8 4ac ? b =? = 2, = 2a 2? 2 4a
2

4 ? 2 ? 1 ? ( ?8 ) 4? 2

2

= ?7

所以当x=2时,y最小值=-7 。 总结:求二次函数最值,有两个方法. (1)用配方法;(2)用公式法.

1 2 1 例6已知函数 y = ? x ? 3x ? ,当x为何值 2 2

时,函数值y随自变量的值的增大而减小。
1 ? 解法一: a = ? ? 0 2

, ∴抛物线开口向下,

1 1 1 2 1 y = ? x 2 ? 3x ? = ? ( x ? 6 x ? 9 ? 9) ? 又 2 2 2 2 1 9 1 = ?1 x?3 2 ?5 2 ( ) = ? ( x ? 3) ? ? 2 2 2 2

∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时,y 随x的增大而减小。

解法二:
1 ? a = ? ? 0 ,∴抛物线开口向下, 2
b ? ? =? 2a ?3 = ?3 ? 1? 2?? ? ? ? 2?

∴ 对称轴是直线x=-3,当 x>-3时, y随x的增大而减小。

例7 已知二次函数
y = ( m ? 1) x 2 ? 2mx ? ( 3m ? 2 )( m ? 1)

的最大值是0,求此函数的解析式.

解:此函数图象开口应向下,且顶点纵坐 标的值为0.所以应满足以下的条件组.
m ? 1 ? 0, ① ? ? 2 ? 4 ( m ? 1)( 3m ? 2 ) ? ( 2m ) =0 ? 4 ( m ? 1) ? ②

1 由②解方程得 m1 = , m2 = 2 (不合题意,舍去) 2
1 ?1 ? 2 ? 1 ? 所求函数解析式为 y = ? ? 1? x ? 2 ? x ? ? 3 ? ? 2 ? , 2 ?2 ? ? 2 ?

1 2 1 即y = ? x ? x ? 。 2 2

5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。 (1)a决定抛物线形状及开口方向,若 a 相 等,则形状相同。 ①a>0?开口向上; ②a<0?开口向下。

5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。

(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置,由 于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线
x=? b 2a

,故

①若b=0?对称轴为y轴, ②若a,b同号?对称轴在y轴左侧, ③若a,b异号?对称轴在y轴右侧。

5.抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴 交点的位置。 当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax2+bx+c 与y轴有且只有一个交点(0,c), ①c=0?抛物线经过原点; ②c>0?与y轴交于正半轴; ③c<0?与y轴交于负半轴。

例8 已知如图是二次函数y=ax2+bx+c的图 象,判断以下各式的值是正值还是负值. (1)a;(2)b;(3)c;(4)b2-4ac;(5)2a+b; (6)a+b+c;(7)a-b+c.

分析:已知的是几何关系(图形的位置、 形状),需要求出的是数量关系,所以应 发挥数形结合的作用.

判断a的符号

解: (1)因为抛物线开口向下,所以a<0;

判断b的符号

(2)因为对称轴在y轴右侧,所以
b ? ? 0 ,而a<0,故b>0; 2a

判断c的符号

(3)因为x=0时,y=c,即图象与y轴交点 的坐标是(0,c),而图中这一点在y轴正 半轴,即c>0;

判断b2-4ac的符号

(4)因为顶点在第一象限,其纵坐标
4ac ? b 2 ? 0,且a<0,所以4ac ? b2 ? 0 ,故 4a

b2 ? 4ac ? 0 。

判断2a+b的符号

b (5)因为顶点横坐标小于1,即 ? ? 1 , 2a

且a<0,所以-b>2a,故2a+b<0;

判断a+b+c的符号

(6)因为图象上的点的横坐标为1时,点 的纵坐标为正值,即a·2+b· 1 1+c>0, 故a+b+c>0;

判断a-b+c的符号

(7)因为图象上的点的横坐标为-1时, 点的纵坐标为负值,即a(-1)2+b(-1) +c<0,故a-b+c<0.

例9.用总长为 m 的篱笆围成矩形场地, 60 当l是多少时场地面积最大? S

矩形面积 随矩形一边长的变化而变化, S l

2.分 别 在 下 列 范 围 内 求 函 y = x ? 2 x ? 3 数
2

的最大值和最小值 ( 1 )0 ? x ? 2 ( 2 )2 ? x ? 3
3.抛 物线y = ax ? bx ? c( a ? 0 )的 对称 轴
2

是x = 2 , 且 经过 点 ( 3 ,0 ), 则a ? b ? c的 P 值 为( )

5.二次函数 = ax ? bx ? c的图象开口向上, y
2

图象经过点 ?1 ,2 )( 1 ,0 )且与y轴相交于负半轴 (

( a )问:给出四个结论: a ? 0( 2 )b ? 0( 3 )c ? 0 (1 ) ( 4 )a ? b ? c = 0其中正确结论的序号是 ______

(b )问 : 给 出 四 个 结 论 : (1)abc ? 0( 2)2a ? b ? 0 ( 3)a ? c = 1( 4)a ? 1 其中正确结论的序号 是 ______
?1 2

y

1

x

13 5 8.若A( ? , y1 )B( ?1 , y2 )C ( , y3 )为二次函数 4 3 2 y = ? x ? 4 x ? 5的图象上的三点,则1 , y2 , y3 y 的大小关系是________

9.已知抛物线y = x ? bx ? c与x轴只有一个交点,
2

且交点为A(?2,0) (1)求b, c的值

课外作业:
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象,观察 图象写出y2 ≥y1时,x的取值范围 是________;
2.若关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个 交点,则a可取的值为 ;

再想一想:
5.(06.芜湖市)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+c(a<0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C, 则ac的值是 -2 .

y o x

二次函数的 图象和性质

复习 二次函数一般式的配方法:
(1)―提”:提出二次项系数;

(2)―配”:括号内配成完全平方;
(3)―化”:化成顶点式。

复习
抛物线 y = ax ? bx ? c 的对称轴及顶点 坐标: (公式法) b (1)对称轴:直线 x = ? 2a
2

b 4ac ? b ( , ) (2)顶点坐标: ? 2a 4a
2

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ?

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ?

直线x = ?

b 2a

直线x = ?

b 2a

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

当x = ?

b 4ac ? b 时, 最小值为 2a 4a

2

b 4ac ? b 2 当x = ? 时, 最大值为 2a 4a

回味知识点:
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关?

2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是

.

.

抛物线位置与系数a,b,c的关系:

⑴a决定抛物线的开口方向: y a>0 开口向上 a<0 开口向下
x

⑵c决定抛物线与y轴交点(0,c)的位置: ① c>0 <=>图象与y轴交点在y轴正半轴; ② c=0 <=>图象过原点; ③ c<0 <=>图象与y轴交点在y轴负半轴。
练习: 指出下列二次函数与y轴交点的位置: 1.y=x 2 ? 8x ? 7 2.y=-2x 2 ? 9x ? 17 3.y=mx 2 ? kx-4k 2

y

x

⑶a,b决定抛物线对称轴的位置: b 对称轴是直线x = ?
① ② ③

2a a,b同号<=> 对称轴在y轴左侧; b=0 <=> 对称轴是y轴; a,b异号<=> 对称轴在y轴右侧
y

o

x

练习: 1.若抛物线y = ax 2 ? bx ? c的图象如图,说出a,b, c的符号。 2.若抛物线y = ax 2 ? bx ? c经过原点和第一二三 象限,则a,b,c的取值范围分别是
3.若抛物线y = ax 2 ? bx ? c的图象 如图所示,则一次函数y=ax+bc 的图象不经过 。 y



y o
图2

x

o

图1

x

?y = a ?b ? c ? 0 ? (4)与直线x = 1交点 ? y = a ? b ? c = 0 ?y = a ?b ? c ? 0 ?
y X=1
y = a ?b?c ? 0 y = a ?b?c = 0

o

x
y = a ?b?c ? 0

?y = a ?b ? c ? 0 ? 与直线x = ?1交点? y = a ? b ? c = 0 ?y = a ?b ? c ? 0 ?

y
y = a ?b ?c ? 0 y = a ?b ?c = 0

o
y = a ?b ?c ? 0

x

X=-1

练习: 二次函数y = ax 2 ? bx ? c的图象如图,用(<,>,=)填空: a 0,b 0,c 0,a+b+c 0,a-b+c 0,

y

-1 o

1 x

例3、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如 下图所示,x= 1 为该图象的对称轴,根
3

据图象信息你能得到关于系数a,b,c的 一些什么结论? y
1 3 .

. -1

1

x

1.试判断a, b, c的符号
y

o

x

(5 )二次函数有最大或最小值由a决定。

2 b 4ac ? b 当x= ? 时,y有最大(最小)值 2a 4a

y

y

.

能否说出 它们的增 减性呢? . x
x

.
x

(6)△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况:

① △>0<=>抛物线与x轴有两个交点; ② △=0<=>抛物线与x轴有唯一的公式点;
③ △<0<=>抛物线与x轴无交点。

y o x

y o x

y

o

x

(6)△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况: ① △>0<=>抛物线与x轴有两个交点;
② △=0<=>抛物线与x轴有唯一的公式点; ③ △<0<=>抛物线与x轴无交点。

y o x

y o x

y

o

x

训练题: 1.判断下列二次函数与x轴交点情况: ()y = x ? 2x ? 2;(2) y = 2 x ? x ? 3 1
2 2

(3)y = ? x ? 2x ? 1
2

练习:填空 (1)函数y=ax 2 +bx +c(a ? 0)的函数值恒为正的 条件为: , 恒为负的条件为: 。 。 (2)已知抛物线y=ax 2 +bx +c的图象在x轴的下方, 则方程ax 2 +bx +c = 0的解的情况为 有 交点。 (3)二次函数y=ax 2 +bx +c中,ac<0,则抛物线与x轴

抛物线y = ax ? bx ? c的对称性
2

b 抛物线y = ax ? bx ? c是以直线x =- 为 2a 对称轴的轴对称图形,有以下性质:
2

1.抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等; 抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。

2.如果抛物线交x轴于两点, 那么这两点一定关于对称 轴对称。
的两点横坐标为x1,x 2, 则抛物线 x 1 +x 2 的对称轴是直线x = 2

y

O

x

3.若设抛物线上关于对称轴对称

例1.已知二次函数y = ax 2 ? bx ? c,x与y的部分对应值如下, 则其图像与x轴的两个交点坐标分别为 。

x y

-1 15

1 3

2 0

3 -1

5 3

练1.已知二次函数y = ax 2 ? bx ? c,x与y的部分对应值如下, 那么二次函数的对称轴为 , x = 2时,函数值为 当 。

X y

-3 7

-2 0

0 -8

1 -9

3 -5

5 7

1.若二次函数y = ax ? c,当x取x1,x(x1 ? x 2)时, 2
2

函数值相等,那么x=x1 +x 2时,y = 轴为 。



2.若(2, 5),(4, 5)是抛物线上两点,则它的对称
2 3.若二次函数y = (x ? 4) ? k与x轴的一个交点坐标 2

为(2, 0),则它与x轴的另一个交点坐标为



巩固训练 1.如图,若a<0,b>0,c>0,则二次 2 函数 y = ax ? bx ? c 的图象大致是( ) y y A o
y B o

x

C

o

x

x

D

o

x

2.若函数 y = 2 x ? bx ? c 的顶点坐标 是(1,-2),则b= ,c= 。
2

3.已知二次函数 y = ax ? bx ? c 的图 象如图所示,则一次函数 y = bx ? ac 的图象不经过第 象限。 y
2

o

x

4.若抛物线 y = (m ? 1) x ? 2mx ? m ? 3 位于x轴上方,求m的取值范围.
2

已知 : y = ( m ? 1) x ? 2 x ? m , 当m = _____ 时,图象为直线; 1
2

?1 当m _____ 时,图象为抛物线; 当m _____ 时,抛物线开口向下; ?1
当m _____0 = 时,抛物线经过原点。

6.已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点 b M( ,a)在( D ) c y A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
o x

7、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 下列结论中:①abc>0;② a+b+c<0 ③ a-b+c>0 ; ④a+b-c>0; ⑤ b=2a正确的个数是 ( ) C A、2个 B、3个

y

C、4个

D、5个

-1 o

1

x

8、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 下列结论中:①b>0;②c<0;③4a+2b+c > 0; ④(a+c)2<b2,其中正确的个数是 ( B ) A、4个 C、2个 B、3个 D、1个 y

o x=1

x

9.如图,在同一坐标系中,函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是( )
y y y y

o

x

o x

o x

o

x

A

B

C

D

1、二次函数y = ax ? bx ? c(a ? 0)的图象如图所示,
2

下列结论①c<0,②b>0③4a+2b+c>0,④(a+c) ? b
2

2

其中正确的是

(填序号,并说明理由)

y

(a+c)2 ? b 2
x=1

= (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? x = 1时,a+b+c ? 0 x = ?1时,a-b+c ? 0

o

1

x ? (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 0

即(a+c) ? b ? 0
2 2

?(a+c) ? b
2

2

10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图,已知它的 顶点M在第二象限,且经过A(1,0),B(0,1),请判断实数a的 范围,并说明理由.
y M 1 B A x O 1

11.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a<0) 的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C,则ac的值 是 -2 .

7.抛物线y = ? x 2 ? m ? 2)x ? (m ? 1 ( 3 )的图象如下:() 1 求m的取值范围(2)在()的情况下, ? OB = 6,求 1 OA C的坐标(3)求 AB ;(4)求S?ABC

y C

A

o

B

x

这节课你有哪些体会?
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系; 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想, 即会观察图象;如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等; 3.要注意灵活运用数学知识,具体问题具体分 析

作业:
2

1.已知抛物线y = x ? (m ? 1)x ? (m ? 1),求证: 2 2 无论m为何实数,抛物线与x轴总有两个交点。

2.已知抛物线y = m+6)x 2 ? (m ? 1)x ? m ? 1的图象 ( 2 与x轴总有两个交点,求m的取值范围。
3.已知抛物线y = 2x ? 3x ? m与x轴交于A, B两点,且
2

1 线段AB的长为 ,()求m的值;(2)若抛物线顶 1 2 点为p,求?ABP的面积。

4.已知抛物线y=2(k +1)x ? 4kx ? 2k ? ()k 31
2

为何值时,抛物线与x轴交于两点(一点或没 有交点);(2)k为何值时,抛物线与x轴的 两个交点在原点两侧。
2

5.已知抛物线y = x ? m ? 3)x ? m()试证: ( 1 两个交点间的距离为3(3)证明:无论m为 何值,函数与x轴的交点不可能落在x轴的正 半轴。

抛物线与x轴总有两个交点(2)m为何值时,

函数y=ax? +bx+c的图象和性质: b 4ac-b2 对称轴: 直线x=- b 顶点坐标:- 2a , 4a ) ( 2a -b± b2-4ac 与y轴交点: ,c) 与x轴交点: (0 ( ,0) 2a 增减性 开口 最 值 x<- b x>- b 当x= - b 时, 向 2a 2a 2a a>0 上 4ac-b2 y有最小值: 4a x<- b x>- b 当x= - b 时, 2a 2a 2a 向 a>0 4ac-b2 下 y有最大值: 4a


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