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北京市西城区2014年4月高三一模考试理科数学试题


北京市西城区 2014 年 4 月高三一模考试理科数学试题 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | 0 ? x≤2} , B ? {x | x ? 1} ,则集合 ? U (A

B) ? ( ) (A) (??, 2] (B) (??,1] (C) (2, ??) (D) [2, ??) 2. 已知平面向量 a ? (2, ?1) , b ? (1,1) , c ? (?5,1) . 若 (a ? kb)//c ,则实数 k 的值为( ) 1 11 11 (A) 2 (B) (C) (D) ? 2 4 4 π 3.在极坐标系中,过点 (2, ) 且与极轴平行的直线方程是( ) 2 ? (A) ρ ? 2 (B) θ ? (C) ρ cos θ ? 2 (D) ? sin? =2 2 4.执行如图所示的程序框图,如果输入 a ? 2, b ? 2 ,那么输出的 a 值为( ) (A) 4 (B) 16 开始 (C) 256 (D) log3 16
输入 a, b

5.下列函数中,对于任意 x ? R ,同时满足条件 ( ) f ( x) ? f (? x) 和 f ( x ? π) ? f ( x) 的函数是 (A) f ( x) ? sin x (C) f ( x) ? cos x (B) f ( x) ? sin x cos x (D) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x 6. “ m ? 8 ”是“方程

log3 a ? 4




输出 a

a?a

b

结束

x2 y2 ? ? 1表示双曲线”的( m ? 10 m ? 8



(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7.某企业为节能减排,用 9 万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用 2 万元,从第 二年起,每年运营费用均比上一年增加 2 万元,该设备每年生产的收入均为 11 万元. 设该设 备使用了 n(n ? N? ) 年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本) ,则 n 等于 ( ) (A) 3 (B) 4 (C)5 (D)6 8. 如图,设 P 为正四面体 A ? BCD 表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点 P 到四个顶点 的距离组成的集合记为 M, 如果集合 M 中有且只有 2 个元素, 那么符合条件的点 P 有 ( ) (A) 4 个 (B)6 个 (C)10 个 (D)14 个 A

B C 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
1

.P

D

1? i ? x ? yi ,其中 x, y ? R ,则 x ? y ? ______. 2?i 2 10. 若抛物线 C: y ? 2 px 的焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,则 p ? _____; C 的准线方程为
9.设复数 _____. 11.已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2,它的俯视图是一个边长为 2 的正三角形,那么它 的侧(左)视图面积的最小值是________. ? x≥1,

? y≥0, ? 12. 若不等式组 ? 表示的平面区域是一个四边形, 则实数 a 的取值范围是_______. ?2 x ? y ≤ 6, ? ? x ? y≤a

13. 科技活动后,3 名辅导教师和他们所指导的 3 名获奖学生合影留念(每名教师只指导一名 学生) , 要求 6 人排成一排, 且学生要与其指导教师相邻, 那么不同的站法种数是______. (用 数字作答) 14. 如图, 在直角梯形 ABCD 中,AB //CD ,AB ? BC ,AB ? 2 ,CD ? 1 ,BC ? a(a ? 0) , P 为线段 AD (含端点)上一个动点,设 AP ? xAD , PB ? PC ? y ,对于函数 y ? f ( x) , 给出以下三个结论: ①当 a ? 2 时,函数 f ( x ) 的值域为 [1, 4] ; ② ?a ? (0, ??) ,都有 f (1) ? 1 成立; ③ ?a ? (0, ??) ,函数 f ( x ) 的最大值都等于 4. 其中所有正确结论的序号是_________. D P A B C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分 15. (本小题满分 13 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b ? c ? a ? bc . (1)求 A 的大小;
2 2 2

(2)如果 cos B ?

6 , b ? 2 ,求△ABC 的面积. 3

16. (本小题满分 13 分) 在某批次的某种灯泡中,随机地抽取 200 个样品,并对其寿命进行追踪调查,将结果列成频 率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命大于或等于 500 天的灯泡是优等品,寿命小于 300 天的灯泡是次品,其余的灯泡是正品. 寿命(天) 频数 频率 20 [100, 200) 0.10 a 30 [200,300)

[300, 400) [400,500) [500,600)

70

b
50

200 合计 (1)根据频率分布表中的数据,写出 a,b 的值;
?

0.35 0.15 0.25 1

(2)某人从灯泡样品中随机地购买了 n(n ? N ) 个,如果这 n 个灯泡的等级情况恰好与按三 .. 个等级分层抽样 所得的结果相同,求 n 的最小值; ....... (3)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了 3 个进行使用,若以上述频率作为概率,用 X 表
2

示此人所购买的灯泡中次品的个数,求 X 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面 ABCD 和侧面 BCC1B 1 都是矩形, E 是 CD 的中 点, D1E ? CD , AB ? 2 BC ? 2 . (1)求证: BC ? D1E ; (2)求证: B1C // 平面 BED 1 ; (3)若平面 BCC1B1 与平面 BED1 所成的锐二面角的大小为 A1 D1 B1 C1

π ,求线段 D1 E 的长度. E 3 D C A B

18. (本小题满分 13 分) x ? a, ? x ln x, ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 其中 a≥0 . ? ?? x ? 2 x ? 3, x≤a, (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)如果对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 W: ? y ? 1 ,直线 l 与 W 相交于 M , N 两点,l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 C 、 D
2

x2 2

两点,O 为坐标原点. (1)若直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,求 ?OCD 外接圆的方程; (2)判断是否存在直线 l ,使得 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,若存在,求出直线 l 的方 程;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 13 分)

1 (n ? N? ) . 从数列 {an } 中选出 k (k ≥ 3) 项并按原顺序组成的新数列记 n 1 1 1 1 为 {bn } ,并称 {bn } 为数列 {an } 的 k 项子列. 例如数列 , , , 为 {an } 的一个 4 项子列. 2 3 5 8 (1)试写出数列 {an } 的一个 3 项子列,并使其为等差数列; (2)如果 {bn } 为数列 {an } 的一个 5 项子列,且 {bn } 为等差数列,证明: {bn } 的公差 d 满足 1 ? ?d ?0; 8 ( 3 ) 如 果 {cn } 为 数 列 {an } 的 一 个 m(m ≥ 3) 项 子 列 , 且 {cn } 为 等 比 数 列 , 证 明 : 1 c1 ? c2 ? c 3 ? ? cm ≤ 2 ? m?1 . 2
在数列 {an } 中,an ?

3

一、选择题 1.C 5.D 二、填空题 9. ?

2 .B 6 .A

3.D 7.A

4.C 8.C

2 ;10. 8 ; x ? ?4 ;11. 2 3 ;12. (3,5) ;13. 48 ;14.○ 2 ,○ 3 5
2 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分 15. (本小题满分 13 分) (1)解:∵ b ? c ? a ? bc ,

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ,………… 3 分 2bc 2 π 又∵ A ? (0, π) ,∴ A ? . ……… 5 分 3 6 3 2 (2)解:∵ cos B ? , B ? (0, π) ,∴ sin B ? 1 ? cos B ? . …7 分 3 3 b sin A ? 3 .……………10 分 由正弦定理得: a ? sin B 2 2 2 2 ∵ b ? c ? a ? bc ,∴ c ? 2c ? 5 ? 0 ,解得 c ? 1 ? 6 , ∵ c ? 0 ,∴ c ? 6 ? 1.………11 分
∴ cos A ? 故△ABC 的面积 S ?

1 3 2? 3 .…………13 分 bc sin A ? 2 2

16. (本小题满分 13 分) (1)解: a ? 0.15 , b ? 30 .………… 2 分 (2)解:由表可知:灯泡样品中优等品有 50 个,正品有 100 个,次品有 50 个, 所以优等品、正品和次品的比例为 50 :100 : 50 ? 1: 2 :1 .……… 4 分 所以按分层抽样法,购买灯泡数 n ? k ? 2k ? k ? 4k (k ? N ) , 所以 n 的最小值为 4 .………… 6 分 (3)解: X 的所有取值为 0,1, 2,3 .…………… 7 分 由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为 0.1 ? 0.15 ? 0.25 ,… 8 分 从本批次灯泡中购买 3 个,可看成 3 次独立重复试验,
?

27 1 1 2 27 1 , P( X ? 1) ? C3 ? ? (1 ? ) ? , 64 4 4 64 1 1 9 1 3 1 2 3 P( X ? 2) ? C3 ? ( ) 2 (1 ? )1 ? , P ( X ? 3) ? C3 ? ( ) ? . …… 11 分 4 4 64 4 64 ∴随机变量 X 的分布列为:
∴ P ( X ? 0) ? C3 ? (1 ? ) ?
0 3

1 4

X

0

1

2

3

P
……………12 分 ∴ X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

27 64

27 64

9 64

1 64

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .……13 分 64 64 64 64 4

4

17. (本小题满分 14 分) (1)证明:∵底面 ABCD 和侧面 BCC1B1 是矩形, ∴ BC ? CD , BC ? CC1 ,

CC1 ? C ,∴ BC ? 平面 DCC1D1 ,………2 分 . …………4 分 ∵ D1 E ? 平面 DCC1D1 ,∴
又∵ CD

BC ? D1E (2)证明:∵ BB1 //DD1 , BB1 ? DD1 ,∴四边形 D1DBB1 是平行四边形。 连接 DB1 交 D1B 于点 F ,连接 EF ,则 F 为 DB1 的中点. 在 ?B1CD 中,因为 DE ? CE , DF ? B1F ,∴ EF //B1C . …………6 分 又∵ B1C ? 平面 BED1 , EF ? 平面 BED1 ,∴ B1C // 平面 BED1 .…………8 分
(3)解:由(1)可知 BC ? D1E ,

CD ? C , ∴ D E ? 平面 ABCD .…………9 分 1 设 G 为 AB 的中点,以 E 为原点,EG,EC, ED1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴
又∵ D1E ? CD , BC 如图建立空间直角坐标系, 设 D1E ? a ,则 E(0,0,0), B(1,1,0), D1 (0,0, a), C(0,1,0), B1 (1, 2, a), G(1,0,0) . 设平面 BED1 法向量为 n ? ( x, y, z ) , ∵ EB ? (1,1,0),

ED1 ? (0,0, a) ,
A1 D1

z B1 F A D x E G B C y C1

? ? x ? y ? 0, ? n ? EB ? 0, 由? 得? ? z ? 0. ? ? n ? ED1 ? 0, 令 x ? 1 ,得 n ? (1, ?1, 0) .…………11 分 设平面 BCC1B1 法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,
∵ CB ? (1,0,0), 由?

CB1 ? (1,1, a) ,
得?

? ?m ? CB ? 0, ? ?m ? CB1 ? 0,

? x1 ? 0, ? x1 ? y 1? az 1? 0.
………………12 分

令 z1

? 1 ,得 m ? (0, ?a,1) .

由平面 BCC1B1 与平面 BED1 所成的锐二面角的大小为 得 | cos ? m, n ?|? 解得 a ? 1 .

| m?n| a π ? ? cos , ………13 分 2 m n 3 2 ? a ?1

π , 3

………14 分

18.(本小题满分 13 分) (1)解:由题意,得 f ?( x) ? ( x ln x)? ? ln x ? 1 ,其中 x ? 0 ,………… 2 分 ∴ f ?(1) ? 1 ,又∵ f (1) ? 0 , ∴函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? x ? 1 .… 4 分 (2)解:先考察函数 g ( x) ? ? x ? 2 x ? 3 , x ? R 的图象,
2
2 配方得 g ( x) ? ?( x ? 1) ? 2 ,…………… 5 分

∴函数 g ( x) 在 (??,1) 上单调递增,在 (1, ??) 单调递减,且 g ( x)max ? g (1) ? ?2 .… 6 分

1 .… 8 分 ∵对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,∴ a≤
以下考察函数 h( x) ? x ln x , x ? (0, ??) 的图象,
5

则 h?( x) ? ln x ? 1 , 令 h?( x) ? ln x ? 1 ? 0 ,解得 x ?

随着 x 变化时, h( x) 和 h?( x ) 的变化情况如下:

1 . e

…9分

x
h?( x)

1 (0, ) e

1 e
0

1 ( , ? ?) e

?


?


h( x)
1 e

即函数 h( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ? ?) 上单调递增, 且 h ? x ? min ? h ?

1 e

1 ?1? ? ? … 11 分 ? e ?e?

1 ∵对于任意 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,∴ a≥ . …… 12 分 e
∵?

1 1 ,∴ a 的取值范围为 [ ,1] .… 13 分 ? ?2 (即 h( x)min ? g ( x)max ) e e

19. (本小题满分 14 分) (1)证明:∵直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 , ∴与 x 轴的交点 C (1, 0) ,与 y 轴的交点 D (0, ) .……… 1 分

1 2

5 ,…………… 3 分 2 1 1 1 5 即 ?OCD 外接圆的圆心为 ( , ) ,半径为 | CD |? , 2 4 2 4 1 2 1 2 5 ∴ ?OCD 外接圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? .……………… 5 分 2 4 16 (2)解:结论:存在直线 l ,使得 C , D 是线段 MN 的两个三等分点.
2 则线段 CD 的中点 ( , ) , | CD |? 1 ? ( ) ?

1 1 2 4

1 2

理由如下: 由题意,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m(km ? 0) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,

m , 0) , D(0, m) , ……………… 6 分 k ? y ? kx ? m ? 2 2 2 由方程组 ? x 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 ,……… 7 分 2 ? ? y ?1 ?2 2 2 ∴ ? ? 16k ? 8m ? 8 ? 0 , (*) ……………… 8 分 ?4km 2m 2 ? 2 x x ? 由韦达定理,得 x1 ? x2 ? , . …… 9 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 由 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,得线段 MN 的中点与线段 CD 的中点重合. ?4km m ? 0 ? ,……………10 分 ∴ x1 ? x2 ? 2 1 ? 2k k
则 C (?
6

2 . …………… 11 分 2 由 C , D 是线段 MN 的两个三等分点,得 | MN |? 3| CD | .
解得 k ? ? ∴ 1 ? k | x1 ? x2 |? 3 (
2

m 2 ) ? m2 ,……… 12 分 k

?4km 2 2m2 ? 2 m 即 | x1 ? x2 |? ( ) ? 4? ? 3| | , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k k 5 解得 m ? ? . ……………… 13 分 5
验证知(*)成立. ∴存在直线 l ,使得 C , D 是线段 MN 的两个三等分点, 此时直线 l 的方程为 y ? 20. (本小题满分 13 分)

2 5 2 5 ,或 y ? ? . x? x? 2 5 2 5

………… 14 分

1 1 1 , , ;…… 2 分 2 3 6 (2)证明:由题意,知 1 ≥b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? 0 ,
(1)解:答案不唯一. 如 3 项子列 ∴ d ? b2 ? b1 ? 0 . ……………… 3 分 若 b1 ? 1 ,由 {bn } 为 {an } 的一个 5 项子列,得 b2 ≤ ,∴ d ? b2 ? b1≤ ∵ b5 ? b1 ? 4d , b5 ? 0 , 所以 4d ? b5 ? b1 ? b5 ?1 ? ?1 ,即 d ? ?

1 2

1 1 ?1 ? ? . 2 2

1 . 4

1 矛盾. 2 1 ∴ b1 ? 1. ∴ b1≤ ,……… 6 分 2
这与 d ≤ ? ∵ b5 ? b1 ? 4d , b5 ? 0 ,∴ 4d ? b5 ? b1≥b5 ?

1 1 1 ? ? ,即 d ? ? , 2 2 8

1 ? d ? 0 .……… 7 分 8 (3)证明:由题意,设 {cn } 的公比为 q ,
综上,得 ?

? cm ? c1 (1? q ? q2 ? ? qm?1 ) . ∵ {cn } 为 {an } 的一个 m 项子列, 1 ? ∴ q 为正有理数,且 q ? 1 , c1 ? ≤1 (a ? N ) . a K ? 设 q ? ( K , L ? N ,且 K , L 互质, L≥2 ). L
则 c1 ? c2 ? c 3 ? 当 K ? 1 时, ∵q ?

1 1 ≤ , L 2

∴ c1 ? c2 ? c 3 ? ∴ c1 ? c2 ? c 3 ?

? cm ? c1 (1? q ? q2 ?

1 1 ? qm?1 ) ≤1 ? ? ( ) 2 ? 2 2

1 1 ? ( ) m ?1 , ? 2 ? ( ) m ?1 , 2 2

1 ? cm ≤2 ? ( ) m?1 . ……… 10 分 2
7

m ?1 ? 当 K ? 1 时,∵ cm ? c1q

1 K m?1 ? 是 {an } 中的项,且 K , L 互质, a Lm?1

∴ a ? K m?1 ? M (M ? N* ) ,

? cm ? c1 (1? q ? q2 ? ? qm?1 ) 1 1 1 1 1 ? ( m ?1 ? m ? 2 ? m ?3 2 ? ? m ?1 ) . M K K L K L L * ∵ L≥2 , K,M ? N , 1 1 2 1 m?1 1 ? 2 ? ( ) m?1 . ∴ c1 ? c2 ? c 3 ? ? cm ≤1 ? ? ( ) ? ? ( ) 2 2 2 2 1 综上, c1 ? c2 ? c 3 ? ? cm ≤2 ? m ?1 . …………… 13 分 2
∴ c1 ? c2 ? c 3 ?

8


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