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甘肃省兰州第一中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题


兰州一中 2015-2016-1 学期高三年级期中考试试题 数学(文科) 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。答案写 在答题卡上,交卷时只交答题卡。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A

= ? x | x ? 1? , B ? ? x | ?1 ? x ? 2? , 则(CRA) ? B=( B )

A. ? x | x ? ?1?

B. ? x | ?1 ? x ? 1?

C. ? x | ?1 ? x ? 2?

D. ? x |1 ? x ? 2?
)

2.已知函数 f ( x) ? (cos 2 x cos x ? sin 2 x sin x)sin x, x ? R ,则 f ( x ) 是( A

A. 最小正周期为 ? 的奇函数
C. 最小正周期为

B. 最小正周期为 ? 的偶函数
D. 最小正周期为

? 的奇函数 2
B )

? 的偶函数 2

3.下列说法中,正确的是(

A.命题“若 a ? b ,则 am2 ? bm2 ”的否命题是假命题 B.设 ? , ? 为两不同平面,直线 l ? ? ,则“ l ? ? ”是 “ ? ? ? ” 成立的充分不必要条件 C.命题“存在 x ? R, x 2 ? x ? 0 ”的否定是“对任意 x ? R, x2 ? x ? 0 ” D.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件
4.设向量 a=(-1,2),b=(m,1),如果向量 a+2b 与 2a-b 平行, 则 a 与 b 的数量积等于( D )

A.-

7 2

B.-

1 2

C.
2? ,则( A 5

3 2 )

D.

5 2

5.若 a ? 20.5 , b ? log? 3 , c ? log2 sin

A. a ? b ? c D. b ? c ? a

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

4 6.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30°),且 cos α =- ,则 m 的值为( 5

A )

A.

1 2

B. -

1 2

C.-

3 2

D.

3 2

7.函数 f ( x) 是奇函数,且在( 0,?? )内是增函数, f (?3) ? 0 ,则不等式 x ? f ( x) ? 0 的解集为(

D )

-1-

A. {x | ?3 ? x ? 0或x ? 3} C. {x | x ? ?3或x ? 3}

B. {x | x ? ?3或0 ? x ? 3} D. {x | ?3 ? x ? 0或0 ? x ? 3}

π? ? 8.为了得到函数 y=cos?2x+ ?的图象,可将函数 y=sin 2x 的图象( C ) 3? ?

A.向左平移 C.向左平移

5π 个单位长度 6 5π 个单位长度 12

B.向右平移

5π 个单位长度 6 5π 个单位长度 12

D.向右平移

9.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 且 g(3)=0.则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是( D )

A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,- 3)∪(3,+∞)

B.(-3,0)∪(0, 3) D.(-∞,- 3)∪(0, 3)

10.如图所示,两个不共线向量 OA , OB 的夹角为 ? ,

??? ? ??? ?

B M O
D.

M , N 分别为 OA 与 OB 的中点,点 C 在直线 MN 上,
且 OC ? xOA ? yOB( x, y ? R) ,则 x ? y 的最小值为( B )
2 2

C N A

??? ?

??? ?

??? ?

A.

2 4

B.

1 8

C.

2 2

1 2

11.设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对任意 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立,如果实数 m, n 满足不等 式 f (m2 ? 6m ? 21) ? f (n2 ? 8n) ? 0 ,那么 m ? n 的取值范围是(A)
2 2

A. (9,49)

B. (13,49)

C. (9,25)

D. (3,7)

1 x 2 12.已知 f(x)=ln(x +1),g(x)=( ) -m,若对? x1∈,? x2∈,使得 f(x1)≥g(x2),则实数 m 的取值范 2 围是( A )

A.[ ,+∞)

1 4

B.(-∞, ]

1 4

C.[ ,+∞)

1 2

D.(-∞,- ]

1 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. → → → 13.在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AD 为 BC 边上的高,O 为 AD 的中点,若AO=λ AB+μ BC, 则 λ +μ ? ________.答案:

2 3
3 ? ? =________.答案:5 ?
-2-

π? 3 3 5? ? ? 14.若 cos?α + ?-sin a = ,则 sin ? ? ? 6? 5 ? 6 ?

15.已知向量 a,b 满足|a|=1,|a+b|= 7, 〈a,b〉=

π ,则|b|=________.答案 3

2

1 2 16.设函数 f(x)=ln x- ax -bx,若 x=1 是 f(x)的极大值点,则 a 的取值范围为________. 2 答案:(-1,+∞) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题 10 分) 已知 AC =(cos +sin ,-sin ), BC =(cos -sin ,2cos ). 2 2 2 2 2 2 (1)设 f(x)= AC ? BC ,求 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)设有不相等的两个实数 x1,x2∈ [ ? 解:(1)由 f(x)= AC ×BC 得

????

x

x

x

??? ?

x

x

x

??? ? ??? ?

? ?

, ] ,且 f(x1)=f(x2)=1,求 x1+x2 的值. 2 2

??? ? ??? ?

x x x x x x f(x)=(cos +sin )·(cos -sin )+(-sin )·2cos
2 2 2 2 2 2 =cos -sin -2sin cos 2 2 2 2 =cosx-sinx π = 2cos(x+ ), 4 所以 f(x)的最小正周期 T=2π . π 又由 2kπ ≤x+ ≤π +2kπ ,k∈Z, 4 π 3π 得- +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈Z. 4 4 故 f(x)的单调递减区间是(k∈Z). π π 2 (2)由 f(x)=1 得 2cos(x+ )=1,故 cos(x+ )= . 4 4 2 π ? π 3 ? π ? π π? 又 x∈?- , ?,于是有 x+ ∈?- , π ?,得 x1=0,x2=- , 2 2 4 4 4 2 ? ? ? ? π 所以 x1+x2=- . 2 18. (本小题 12 分) 根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区 PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方 米,PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 20 天 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
2

x

2

x

x

x

-3-

PM2.5 浓度 组别 (微克/立方米) 第一组 第二组 第三组 第四组 (0,25] (25,50] (50,75] (75,100) 3 12 3 2 0.15 0.6 0.15 0.1 频数(天) 频率

(Ⅰ)从样本中 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 50 微克/立方米的 5 天中, 随机抽取 2 天, 求恰好有一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度超过 75 微克/立方米的概率; (Ⅱ)求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是 否需要改进?说明理由. 解:(Ⅰ) 设 PM2.5 的 24 小时平均浓度在(50,75]内的三天记为 (75,100)内的两天记为

A1 , A2 , A3 ,PM2.5 的 24 小时平均浓度在

B1, B2 . A1 A2 , A1 A3 , A1B1 , A1B2 , A2 A3 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 共 10

所以 5 天任取 2 天的情况有: 种. 其中符合条件的有:

????????4 分

A1B1 , A1B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 共 6 种. ????6 分
P?
所以所求的概率

6 3 ? 10 5 .

????????8 分

(Ⅱ)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为:

12.5 ? 0.15 ? 37.5 ? 0.6 ? 62.5 ? 0.15 ? 87.5 ? 0.1 ? 42.5 (微克/立方米) .
?????????????????10 分 因为 42.5 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要 改进. ????????????12 分

19. (本小题 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD ? 底面ABCD ,

PD ? DC ? 2, E 是 PC 的中点.
(Ⅰ)证明 PA // 平面EDB ; (Ⅱ)求三棱锥 A-BDP 的体积. 证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE
-4-

P E C D A B

∴ ABCD 是正方形 ∵ O 是 AC 中点. 又 E 是 PC 中点,∵ OE∥PA ,

PA ? 平面BDE, OE ? 平面BDE.
∴ PA // 平面EDB (Ⅱ) VA? BDP ? VP ? ABD ? ????????6 分

1 S ?ABD ? PD 3
????????12 分

1 2? 2 4 ? ? ?2 ? 3 2 3
20. (本小题 12 分) 己知 A 、 B 、 C 是椭圆 m :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )上的三点,其中点 A 的坐标为 (2 3,0) , BC a 2 b2

过椭圆的中心,且 AC ? BC ? 0 , | BC |? 2 | AC | 。 (Ⅰ)求椭圆 m 的方程; (Ⅱ)过点 (0, t ) 的直线 l (斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P , Q ,设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交 点,且 | DP |?| DQ | ,求实数 t 的取值范围. 【解析】 (Ⅰ)∵ | BC |? 2 | AC 且 BC 过 (0, 0) ,则 | OC |?| AC | . ∵ AC ? BC ? 0 ,∴ ?OCA ? 90? ,即 C ( 3, 3) .??2 分 又∵ a ? 2 3 ,设椭圆 m 的方程为 将 C 点坐标代入得
2 2

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

x2 y2 ? ? 1, 12 12 ? c 2

3 3 ? ? 1, 12 12 ? c 2

解得 c ? 8 , b ? 4 . ∴椭圆 m 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ??5 分 12 4

(Ⅱ)由条件 D(0, ?2) , 当 k ? 0 时,显然 ?2 ? t ? 2 ;???6 分 当 k ? 0 时,设 l : y ? kx ? t ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 ,消 y 得 (1 ? 3k ) x ? 6ktx ? 3t ?12 ? 0 ?12 4 ? y ? kx ? t ?
-5-

2 2 由 ? ? 0 可得, t ? 4 ? 12k ??①???8 分

设 P( x1 , y1 ) , 则 x0 ? Q( x2 , y2 ) ,PQ 中点 H ( x0 , y0 ) ,

x1 ? x2 ?3kt t ? ,y0 ? kx0 ? t ? , ∴ 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

H (?

3kt t , ) .???10 分 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

t ?2 ??? ? ???? 2 1 1 1 ? 3 k 由 | DP |? DQ | ,∴ DH ? PQ ,即 k DH ? ? 。∴ ?? , 3kt k k ? ?0 2 1 ? 3k
化简得 t ? 1 ? 3k ??②
2

∴t ?1

将①代入②得, 1 ? t ? 4 。∴ t 的范围是 (1, 4) 。

综上 t ? (?2, 4) .???12 21. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ( x ? ) ? b ln x(a, b ? R ) , g ( x) ? x2 . (1)若 a ? 1 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴垂直,求 b 的值; (2)在(1)的条件下,求证: g ( x) ? f ( x) ? 2ln 2; 解:(1) a ? 1 时, f ( x) ? x ? 所以 f '( x) ? 1 ?

1 x

1 ? b ln x, x

1 b x 2 ? bx ? 1 ? ? , x2 x x2
(6 分)

由题 f '(1) ? 2 ? b ? 0,?b ? 2. (2)由(1)可得 f ( x) ? x ? 设 F ( x) ? x ? x ?
2

1 1 ? 2 ln x, 只需证 x 2 ? x ? ? 2 ln x ? 2 ln 2 ? 0, x x

1 ? 2 ln x ? 2 ln 2, ( x ? 0) , x

F '( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 2 x3 ? x 2 ? 1 ? 2 x ( x 2 ? 1)(2 x ? 1) ? ? ? , x2 x x2 x2
1 。 2
(8 分)

令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x?

1 时, F '( x) ? 0 , 2

1 时, F '( x) ? 0 , 2 1 7 所以, F ( x) min ? F ( ) ? ? 0, F ( x) ? 0, 2 4
所以, g ( x) ? f ( x) ? 2ln 2; 22.选考题(本小题 10 分)
-6-

请从下列三道题当中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,请在答题卷上注明题号。 22—1.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的一条切线,切点为 B ,直线 ADE ,CFD,CGE 都是⊙O 的割线,已知 AC=AB. (1 ) 若 CG=1 ,CD=4 ,求 (2) 求证:FG//AC; 【解析】(Ⅰ) 由题意可得: G, E , D, F 四点共圆,

DE 的值. GF

? ?CGF ? ?CDE, ?CFG ? ?CED .
? ?CGF ∽ ?CDE .

?

DE CD ? . GF CG
???4 分

又? CG ? 1, CD ? 4 ,?

DE =4. GF

2 (Ⅱ)因为 AB 为切线, AE 为割线, AB ? AD ? AE ,

又因为 AC ? AB ,所以 AD ? AE ? AC 2 . 所以

AD AC ? ,又因为 ?EAC ? ?DAC ,所以 △ ADC ∽ △ ACE , AC AE

所以 ?ADC ? ?ACE ,又因为 ?ADC ? ?EGF ,所以 ?EGF ? ?ACE , 所以 FG // AC . ?????????10 分 22—2. (本小题满分 10 分)选修 4~4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? t cos ? , (t 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 ? y ? 2 ? t sin ?

xOy 取相同的长度单位。且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 6sin ? . (I)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(1,2),求 | PA | ? | PB | 的最小值. 解: (Ⅰ)由 ? ? 6sin ? 得 ? 2 ? 6? sin ? ,化为直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 6 y , 即 x2 ? ( y ? 3)2 ? 9 . ?????4 分

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 t 2 ? 2(cos ? ? sin ? )t ? 7 ? 0 . 由 ? ? (2cos ? ? 2sin ? )2 ? 4 ? 7 ? 0 ,故可设 t1 , t 2 是上述方程的两根,
?t ? t ? ?2(cos ? ? sin ? ), 所以 ? 1 2 又直线 l 过点 (1, 2) ,故结合 t 的几何意义得 ?t1 ? t2 ? ?7,
| PA | ? | PB | = | t1 | ? | t2 |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? 4(cos? ? sin ? )2 ? 28
-7-

? 32 ? 4sin 2? ≥ 32 ? 4 ? 2 7.

所以 | PA | ? | PB | 的最小值为 2 7. 22—3. (本小题满分 10 分)选修 4~5:不等式选讲 设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0 的解集为 M,a,b∈M.

?????10 分

?1 1 ? 1 (1)证明:? a+ b?< ; ?3 6 ? 4
(2)比较|1-4ab|与 2|a-b|的大小,并说明理由. 3,x≤-2, ? ? 【解析】(1)证明:记 f(x)=|x-1|-|x+2|=?-2x-1,-2<x<1, ? ?-3,x≥1. 1 1 由-2<-2x-1<0,解得- <x< , 2 2

? 1 1? 则 M=?- , ?. ? 2 2?

1 1 1 1 1 1 ?1 1 ? 1 所以? a+ b?≤ |a|+ |b|< × + × = . 3 6 6 3 2 6 2 4 ? ? 3
2 1 2 1 (2)由(1)得 a < ,b < . 4 4

因为|1-4ab| -4|a-b|
2 2

2

2

=(1-8ab+16a b )-4(a -2ab+b ) =(4a -1)(4b -1)>0, 所以|1-4ab| >4|a-b| , 故|1-4ab|>2|a-b|.
2 2 2 2

2

2

-8-


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