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§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积


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高考理数
§8.1 空间几何体的三视图、表面积和体积

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知识清单
一、空间几何体的结构特征 1.多面体的结构特征 名称 结构 特征 棱柱 棱锥 棱台

①有两个面平行且全等,其余各个 有一个面(底面)是多边 有两个面平行且相似, 面都是四边形;②每相邻两个四边 形,其余各面是有一个 其余各面都是梯形 形的公共边都互相平行 公共顶点的三角形 相交于一点但不一定 相等 延长线交于一点

侧棱

平行且相等

侧面形状

平行四边形

三角形

梯形

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【温馨提示】 (1)围成多面体的各个面都是平的,没有曲面. (2)多面体是一个“封闭”的几何体. (3)特殊的棱柱和棱锥: ①侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. ②底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱 均相等的正三棱锥叫正四面体. ③特殊的四棱柱: 四棱柱? 平行六面体? 正四棱柱? 正方体 直平行六面体? 长方体

?

(4)用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥,底面和截面之间的部分是棱台.

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2.旋转体的结构特征 名称 母线 圆柱 平行、相等且垂 直于底面 轴截面 侧面展开图 全等的矩形 矩形 全等的等腰三角形 扇形 全等的等腰梯形 扇环 大圆 圆锥 相交于一点 圆台 延长线交于一点 球

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【温馨提示】 (1)处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面. (2)球的截面性质:①球心和不过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面;②球心到不过球心的 截面的距离d与球的半径R以及截面圆的半径r的关系为r=? R2 ? d 2 . (3)处理几何体表面上两点间的最短距离问题时常采用“空间问题平面化”的数学思想解决. 二、空间几何体的三视图 1.在画几何体的三视图时,重叠的线只画一条,能看见的线用实线表示,被挡住的线用虚线表示. 2.在画几何体三视图时务必遵循“长对正、高平齐、宽相等”原则,必须确定观看几何体的三 个对应方向,同一物体放的位置不同,所画的三视图就可能不同. 【温馨提示】

根据几何体的三视图确定直观图的一般方法:
(1)三视图为三个三角形,对应三棱锥; (2)三视图为两个三角形,一个四边形,对应四棱锥; (3)三视图为两个三角形,一个带圆心的圆,对应圆锥;

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(4)三视图为一个三角形,两个四边形,对应三棱柱; (5)三视图为两个四边形,一个圆,对应圆柱. 三、水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,要注意原图与直观图中的“三变和三不 变”:
?坐标轴的夹角改变; “三变” ? ?与y轴平行的线段的长度减半; ?图形改变. ?

?

?平行关系不变; “三不变” ? ?与x轴平行的线段的长度不变; ?几何元素间的相对位置关系不变. ?

?

2. 2.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的? 4

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四、空间几何体的表面积和体积
几何体 圆柱 圆锥 侧面积 S侧=2πrl S侧=πrl 表面积 S表=2πr(r+l) S表=πr(r+l) 体积 V=S底h=πr2h V=? S h=? πr2h 3 底 3
S上S下 )h V=? (S上+S下+?

1

1

圆台

S侧=π(r+r')l

S表=π(r2+r'2+rl+r'l)

1 3

=? π(r2+r'2+rr')h 直棱柱 正棱锥 S侧=Ch(C为底面周长)
1 S侧=? Ch'(h'指斜高) 2

1 3

S表=S侧+S上+S下(棱锥的S上=0)

V=S底h
1 V=? S 底h 3

正棱台

S侧=? (C+C')h'(h'指斜高)

1 2

1 S上S下 )h V=? (S上+S下+? 3



S=4πR2

4 V=? πR 3 3

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【温馨提示】 要注意领会和掌握两种数学思想方法:割补法和等积法. (1)割补法:割补法是割法和补法的总称.补法是把不规则的(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补 成规则的(熟悉的或简单的)几何体;割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几 何体.割与补是对立统一的. (2)等积法:等积法包括等面积法和等体积法.利用等积法的前提是平面图形(或立体图形)的面积 (或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以求解几何图形的高,特别是在求三角形的高(点 到线的距离)或三棱锥的高(点到面的距离)时,通常采用此法解决问题.

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突破方法
方法1 有关三视图的问题的解决方法

(1)由几何体的直观图画三视图需注意的事项:①注意正视图、侧视图和俯视图对应的观察 方向;②注意能看到的线用实线画,被挡住的线用虚线画;③画出的三视图要符合“长对正、高

平齐、宽相等”的基本特征;
(2)由几何体的部分视图画出剩余视图的方法:先根据已知的部分视图推测直观图的可能形式, 然后再推测其剩余视图的可能情形,若为选择题,也可以逐项检验; (3)由几何体三视图还原其直观图时,要熟悉柱、锥、球、台的三视图,结合空间想象将三视图 还原为直观图.

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例1 (2014江西,5,5分)一几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是? (

)

解析 由几何体的直观图知,该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上,因此排除A、C、D, 经验证B符合题意,故选B. 答案 B

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1-1 (2015贵州七校联考,4)如图所示,四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是 虚拟图形,起辅助作用),则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)? ( )

A.①②⑥ 答案 B

B.①②③

C.④⑤⑥

D.③④⑤

解析 正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形(长为3的边横放),其对角线左下到右上是实线, 左上到右下是虚线,因此正视图是①;侧视图应该是相邻两边长为5和4的矩形(长为5的边横放), 其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图是②;俯视图应该是相邻两边长为3 和5的矩形(长为3的边横放),其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是③, 故选B.

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1-2 (2015湖南岳阳检测(二),13)三棱锥D-ABC及其三视图中的主视图和左视图如图所示,则棱 BD的长为 .

答案 4?2 解析 如图,过点C作CE⊥AC,过点B作BE∥AC,交CE于点E,由三视图可知,平面ACD⊥平面 ABC,CD⊥AC,且CE=2? 4 ? 12 =4, BE 2 ? CE 2 =? 3 ,BE=2,CD=4,从而CD⊥平面ABC,BC=?

?
在Rt△BCD中,BD=? 16 ? 16 =4?2 . BC2 ? CD2 =?

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方法2

空间几何体表面积的求解方法

(1)求多面体的表面积时,把各个面的面积相加即可;
(2)求除球之外的旋转体的表面积时,可将旋转体展成平面图形求其面积,注意弄清楚旋转体的 底面半径、母线长与侧面展开图的边长(弧长)的关系; (3)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成规则的几何体(如柱、锥、台).先求出 这些规则的几何体的相关面的面积,再通过求和获得所求几何体的表面积. 例2 (2015安徽,7,5分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是? ( )

?

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A.1+?3 解题导引

B.2+?3

C.1+2?2

D.2?2

由四面体的三视图画出四面体的直观图? 求四面体每个面的面积? 求和得四面体表面积 解析 四面体的直观图如图所示.

?
侧面SAC⊥底面ABC,且△SAC与△ABC均为腰长是? 2 的等腰直角三角形,SA=SC=AB=BC=? 2,

AC=2.设AC的中点为O,连接SO,BO,则SO⊥AC,∴SO⊥平面ABC,∴SO⊥BO.又OS=OB=1,∴SB=
?2 ,故△SAB与△SBC均是边长为? 2 的正三角形,故该四面体的表面积为2×

1 3 ? ×?2 ×?2 +2×? × 2 4

(?2 )2=2+?3 . 答案 B

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2-1 (2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是? (

)

?
A.90 cm2 答案 D 解析 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图),其表面积为S=3×5 +2×? ×4×3+4×3+3×3+2×4×3+2×4×6+3×6=138(cm2).
1 2

B.129 cm2

C.132 cm2

D.138 cm2

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方法3
各几何体的体积公式进行计算.

空间几何体体积的求解方法

(1)公式法:所给几何体是常见的柱、锥、台等规则的几何体时,可以直接将相应数据代入

(2)割补法:求不规则几何体的体积时,可以将所给几何体分割成若干个常见几何体或通过添补 几何体使原几何体变成一个常见的几何体,分别求出各几何体的体积,从而通过求和或作差的方 法得出所求几何体的体积. (3)等体积转化法:等体积转化法常用于三棱锥,即利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面进 行换底换高的等积变换.此种方法充分体现了数学的转化思想,在运用过程中要充分注意距离之 间的等价转化. 例3 (2013湖北,8,5分)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组 成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面 体,则有? ( )

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?
A.V1<V2<V4<V3 C.V2<V1<V3<V4 解题导引 B.V1<V3<V2<V4 D.V2<V3<V1<V4 该几何体从上到下分别为圆台、圆柱、正方体、棱台,求出各体积后进行比较即可.
3 1 (4π+2π+π)×1=? 7 π.V 表示圆柱 解析 V1表示一个圆台的体积,底面直径分别为2,4,高为1,故V1=? 2

3

的体积,底面直径为2,高为2,故V2=2π.V3表示正方体的体积,棱长为2,故V3=2 =8.V4表示一个棱台
3

1 (4+16+8)×1=? 28 . 的体积,上、下底面分别为边长是2、4的正方形,高为1,故V4=? 3

3

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比较大小可得V2<V1<V3<V4. 答案 C 例4 (2016宁夏银川一中月考,15)已有E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1, CC1的中点,则四棱锥C1-B1EDF的体积为 解题导引 解法一:求四棱锥C1-B1EDF的高及其底面积? 利用棱锥的体积公式求出其体积 解法二:将四棱锥C1-B1EDF分为两个三棱锥B1-C1EF和D-C1EF? 分别求出两个三棱锥的体积? 求出四棱锥C1-B1EDF的体积 解析 解法一:如图所示,连接A1C1,B1D1交于点O1,连接B1D,EF,过O1作O1H⊥B1D于H. .

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因为EF∥A1C1,且A1C1?平面B1EDF,EF?平面B1EDF, 所以A1C1∥平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离. 易知平面B1D1D⊥平面B1EDF,又平面B1D1D∩平面B1EDF=B1D,所以O1H⊥平面B1EDF,所以O1H 等于四棱锥C1-B1EDF的高.
1 1 因为△B1O1H∽△B1DD1,所以O1H=?

B O ? DD1 6 =? a. B1 D 6
1 1 3 2
6 6

VC ?B EDF =? S四边形B EDF · 所以? ? O1H=? · ? · EF· B1D· O1H=? · ? · ?2 a· ?3 a· ? a=? a3.
1 1
1

1 3

1 1 3 2

1 6

解法二:连接EF,B1D. 设B1到平面C1EF的距离为h1,D到平面C1EF的距离为h2,则h1+h2=B1D1=? 2 a. 由题意得,? · ? (h1+h2)=? a3. S?C EF · VD?C EF =? VB ?C EF +? VC ?B EDF =?
1 1 1 1
1
1

1 3

1 6

答案

1 ? a 6

3

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3-1 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为 cm3.

?
答案 6
VA? A B D =? 解析 解法一:∵? ×? ×3×3×2=3(cm3),
1 1 1

1 3

1 2

VABD? A1B1D1 = ?
1 1

1 ? ×3×3×2=9(cm ), 2
3
1 1 1
1 1 1

3 ∴? VA? A B D =6(cm ). VABD? A B D -? VA?BB D D =?

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解法二:连接AC交BD于点O,则AC⊥BD,AC⊥BB1, ∴AC⊥平面BB1D1D, ∴AO即为四棱锥A-BB1D1D的高,
3 3 ∴? ×3?2 ×2×? ?2 =6(cm ). VA?BB D D =?
1 1

1 3

2

3-2 (2015浙江杭州第二次质检,3)棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体 的三视图如图所示,那么该几何体的体积是? ( )

?
A.?
14 3

B.4

C.?

10 3

D.3

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答案 B 解析 由题意和三视图,得该几何体是由如图所示的平面A1ECF截正方体所得到的(其中E、F 分别为BB1、DD1的中点).根据对称性知,所求几何体的体积为正方体体积的一半,所以该几何体 的体积为? ×23=4.故选B.
1 2

?

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方法4

与球有关的切、接问题的求解方法

与球有关的组合体问题常涉及内切和外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位
置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体时,切点为正方体各个 面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体时,正方体的各个顶点均在球面上,正方 体的体对角线长等于球的直径.球与其他旋转体组合时,通常作它们的轴截面解题;球与多面体 组合时,通常过多面体的一条侧棱和球心及“切点”或“接点”作截面图进行解题. 例5 如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=? ,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四 面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为? ( )
2

?
A.?
3? 2

B.3π

C.?

2? 3

D.2π

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解题导引 求体积

取BD的中点为E,BC的中点为O? 证明AE⊥平面BCD? 证明点O为球心? 确定半径

解析 如图,取BD的中点为E,BC的中点为O,连接AE,OD,EO,AO. 因为AB=AD,所以AE⊥BD.

由于平面ABD⊥平面BCD,
所以AE⊥平面BCD. 因为AB=AD=CD=1,BD=? 2,
2 所以AE=? ,EO=? . 2

1 2

所以OA=? . 在Rt△BDC中,OB=OC=OD=? BC=? ,所以四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为? .
4 ? 3? 3? 所以该球的体积V=? π ? ? =? . 2 3 ? 2 ? 1 2
3 2 3 2

3 2

?

3

答案 A

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4-1 (2015东北三校第二次联考,10)一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是全等 的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为? ( )

?
9? A.? 4

B.9π

C.4π

D.π

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答案 A 解析 由三棱锥的三视图知其直观图如图所示,其中△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°,AB=BC=1, 面PAC⊥面ABC,设M为AC的中点,连接PM,由三视图可知PM⊥面ABC且PM=1. 又M为Rt△ABC的外心,所以三棱锥P-ABC的外接球球心必在直线PM上,又易知该球心不在PM 的延长线及MP的延长线上,所以三棱锥P-ABC的外接球球心必落在线段PM上,设球心为O,半径
? 2? 3 为R,连OA,在Rt△OMA中,R =OM +AM ,即R =(1-R) + ? ? ,解得R=? ,所以此三棱锥外接球的表 4 ? 2 ? 9 面积为S=4πR2=? π,故选A. 4
2 2 2 2 2

?

2

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4-2 三棱锥A-BCD的外接球为球O,球O的直径AD=2,且△ABC,△BCD都是等边三角形,则三棱 锥A-BCD的体积是? ( A.?
1 3

)
2 3

B.?

2 4

C.?

D.?

1 2

答案 A 解析 由题意可知球心O为AD的中点,取△ABC外接圆的圆心F,连接OF,易知OF与平面ABC垂 直,∵△ABD为等腰直角三角形,AD=2,∴AB=BD=?2 ,连接AF,在Rt△AOF中,AO=1,AF=? ,故
? 6? 1 3 3 2 3 1 ? ? ? =? OF= , 又 AD =2 OA , 故 D 到平面 ABC 的距离 h =2 OF = ? , 因此 V = V = ? ×? × A BCD D ABC 3 ? ? 3 4 3 3
6 3

?

2

(?2 )2×? =? ,故选A.

2 3 3

1 3


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