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抛物线复习(几个常见结论及其应用)


抛物线的几个常见结论及其应用
抛物线中有一些常见、常用的结论,了解这些结论后在 做选择题、填空题时可迅速解答相关问题,在做解答题 时也可迅速打开思路。 结论一: AB 是抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦 若 (过焦点 的弦) ,且 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则: x1 x2 ? 证明: 因为焦点坐标为 F(


p2 , y1 y2 ? ? p2 。 4

p ,0),当 AB 不垂直于 x 轴时, 2 p 可设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? ) , 2
由 ? y ? k(x ? 2 ) 得 : ?
? y 2 ? 2 px ?
2

?

p

ky 2 ? 2 py ? kp2 ? 0



y12 y22 p4 p2 。 ? ? ? y1 y2 ? ? p , x1 x2 ? 2 p 2 p 4 p2 4
当 AB⊥x 轴时,直线 AB 方程为 x ?

p ,则 y1 ? p , 2

y2 ? ? p ,∴ y1 y2 ? ? p2 ,同上也有: x1 x2 ?

p2 。 4

例:已知直线 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F, 求证: 1 ? 1 为定值。
AF BF

证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由抛物线的定义知:

AF ? x1 ?

p p , BF ? x2 ? ,又 AF + BF = AB , 2 2

所以 x1 + x2 = AB -p,且由结论一知: x1 x2 ? 则

p2 。 4


AF ? BF AB AB 1 1 ? ? ? ? p p p p2 AF BF AF ? BF ( x ? )( x ? ) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 2 2 2 4
=
2

AB p p p2 ? ( AB ? p) ? 4 2 4

?

2 (常数) p

结论二: (1)若 AB 是抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦, 且直线 AB 的倾斜角为α, AB ? 则
2 P (α≠0) 。 (2) sin 2 ?

焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最 短。 证 明 : 1 ) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 设 直 线 (

AB: y ? k ( x ?
?

p ) 2
p

由 ? y ? k ( x ? 2 ) 得:, ky 2 ? 2 py ? kp2 ? 0 ?
? y ? 2 px ?
2



y1 ? y2 ?


2p , y1 y2 ? ? p2 , k

1 1 1 2 p 1? k 2 2 AB ? 1 ? 2 y1 ? y2 ? 1 ? 2 ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? 1 ? 2 k k k k

2 p(1 ? k 2 ) 2 p(1 ? tan 2 ? ) 2 P ? ? ? 2 。 k2 tan 2 ? sin ?
易验证,结论对斜率不存在时也成立。 (2)由(1) :AB 为通径时,? ? 90 , sin ? 的值
? 2

最大, AB 最小。 例:已知过抛物线 y 2 ? 9 x 的焦点的弦 AB 长为 12,则直 线 AB 倾斜角为 。

解:由结论二,12= 斜角) ,

9 (其中α 为直线 AB 的倾 sin 2 ?

则 sin ? ? ?

? 3 ,所以直线 AB 倾斜角为 或 3 2

2? 。 3
结论三:两个相切: (1)以抛物线焦点弦为直径的圆与 准线相切。 (2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线, 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 已知 AB 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的过焦点 F 的弦, 求 证: (1)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过 A、B 做准线的垂线,垂足为 M、N,求 证:以 MN 为直径的圆与直线 AB 相切。 证明:(1)设 AB 的中点为 Q,过 A、Q、B 向准线 l 作垂线, 垂足分别为 M、P、N,连结 AP、BP。 由抛物线定义: AM ? AF , BN ? BF , ∴

QP ?

1 1 1 ( AM ? BN ) ? ( AF ? BF ) ? AB , 2 2 2

∴以 AB 为直径为圆与准线 l 相切 (2)作图如(1) ,取 MN 中点 P,连结 PF、MF、 NF,

∵ AM ? AF ,AM∥OF,∴∠AMF=∠AFM, ∠AMF=∠MFO, ∴∠AFM=∠MFO。同理,∠BFN=∠NFO, ∴∠MFN= =90°, ∴ MP ? NP ? FP ?

1 (∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO) 2 1 MN , 2

∴∠PFM=∠FMP ∴ ∠ AFP= ∠ AFM+ ∠ PFM= ∠ FMA+ ∠ FMP= ∠ PMA=90°,∴FP⊥AB ∴以 MN 为直径为圆与焦点弦 AB 相切。 结论四:若抛物线方程为 y2 ? 2 px( p ? 0) ,过( 2 p ,0)的 直线与之交于 A、B 两点,则 OA⊥OB。反之也成立。 证 明 : 设 直 线 AB 方 程 为 : y ? k ( x ? 2 p) , 由

? y ? k (x ? 2 p) 得, △>0, x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?b ? 2 y ? 2 px ?
∵ AO ⊥ BO , ∴

???? AO



??? ? BO



x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? (1? k 2 ) x1x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b

将 x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?b 代入得, b ? 1 。∴直线 AB 恒过定点(0,1) 。

S?AOB ?

1 1 1 2 x1 ? x2 ?1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? k ? 4 ?1 2 2 2

∴当且仅当 k=0 时, S?AOB 取最小值 1。 结论五:对于抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) ,其参数方程为
? x ? 2 pt, 设 抛 物 线 x2 ? 2 py 上 动 点 P 坐 标 为 ? y ? 2 pt 2, ?

(2 pt,pt 2 ) , O 为抛物线的顶点,显然 kOP ? 2

2 pt 2 ?t , 2 pt

即 t 的几何意义为过抛物线顶点 O 的动弦 OP 的斜率. 例 直线 y ? 2 x 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于原点和

且线段 AB 长 A 点,B 为抛物线上一点,OB 和 OA 垂直, 为 5 13 ,求 P 的值.
2 (2 2 解析:设点 A,B 分别为 (2 pt A2,pt A ), ptB 2,ptB ) ,则
tA ? 1 1 1 ? , tB ? ? ?kOA ? ?2 . kOA 2 kOB

A,B













p? ?p ? ? 2 (8 ? ? ,p ?, p, 4 p ) . ∴ AB ? ? 8 p ? ? ? ( p ? 4 p) 2 2? ? ? ?

2

?

5 13 p ? 5 13 .∴ p ? 2 . 2

练习: 1. 过抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线 于 P,Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p,q , 则
1 1 ? = p q

1 1 从而 2 p ? . 取 y(a ? 0) , a a 特殊情况,过焦点 F 的弦 PQ 垂直于对称轴,则 PQ 为通径,即
【解析: 化为标准方程, x2 ? 得

PQ ? 2 p ?

1 1 1 1 ,从而 p ? q ? ,故 ? ? 4a 】 p q a 2a

2.设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,经过点 F 的直 线交抛物线于 A,B 两点.点 C 在抛物线的准线上,且 BC ∥ x 轴.证明直线 AC 经过原点 O . ?p ? 0 【 证 明 : 抛 物 线 焦 点 为 F ? ,? . 设 直 线 AB 的 方 程 为 ?2 ?

x ? my ?

p 2 2 ,代入抛物线方程,得 y ? 2 pmy ? p ? 0 .若设 2

A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 y1 y2 ? ? p2 .
点 C 在准线 kCO ?

∵ BC ∥ x 轴,且

2p ; y1 y1 2 p ? , x1 y1
故 kCO ? k AO ,

2 又由 y1 ? 2 px1 , k AO ? 得

即直线 AC 经过原点 O . 】

, 3.已知抛物线的焦点是 F (11) ,准线方程是 x ? y ? 2 ? 0 ,

求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程. 【解:设 P ( x,y ) 是抛物线上的任意一点,由抛物线 的定义得 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ?
x? y?2 2



整理,得 x2 ? y 2 ? 2xy ? 8x ? 8 y ? 0 ,此即为所求抛 物线的方程.
, 抛 物 线 的 对 称 轴 应 是 过 焦 点 F (11) 且 与 准 线 x ? y ? 2 ? 0 垂直的直线,因此有对称轴方程 y ? x .
, 设对称轴与准线的交点为 M ,可求得 M (?1 ? 1) ,于

0) 是线段 MF 的中点就是抛物线的顶点,坐标是 (0, 】

备选

, 1. 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 A(1 0) , 准 线 l 的 方 程 是

x ? 2 y ? 2 ? 0 ,试求该抛物线的焦点坐标和方程.

解:依题意,抛物线的对称轴方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 . 设对称轴和准线的交点是 M ,可以求得 ?6 2? M ? , ? .设焦点为 F ,则 FM 的中点是 A ,故得焦 ? ?5 5? ?4 2? 点坐标为 F ? , ? . 再设 P ( x,y ) 是抛物线上的任一 ?5 5? 点, 根 据 抛 物 线 的 定 义 得

2 2 x ? 2y ? 2 4? ? 2? ? , 化 简 整 理 得 x? ? ??y? ? ? ? 5? ? 5? 5 ?

4 x2 ? y 2 ? 4xy ? 4x ? 12 y ? 0 ,即为所求抛物线的方程.

例2

已知 A,B 为抛物线 x 2 ? 4 y 上两点,且 OA ? OB , 求线段 AB 中点的轨迹方程.

1 解析:设 kOA ? t , OB ? OA ? kOB ? ? , t ? 4 4? 4 据 t 的几何意义,可得 A(4t,t 2 ),B ? ? ,2 ? . ? t t ?

? 1? 4? ? 1? ? x ? 2 ? 4t ? t ? ? 2 ? t ? t ?, ? ? ? ? ? 设线段中点 P ( x,y ) ,则 ? 1? 2 4 ? 1? ? ? y ? 4t ? ? 2 ? t 2 ? 2 ?. ? 2 ? ? 2? t ? t ? ? ?

消去参数 t 得 P 点的轨迹方程为 x2 ? 2( y ? 4) .


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