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中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第16讲 立体几何综合问题


数学高考综合能力题选讲 16

立体几何综合问题
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
立体几何是高中数学的重要内容, 是考察各种能力的重要载体, 考察的方法常常是将计 算和推理融为一体。增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。

梁丽平

范例选讲
AD 例 1. 如图, 已知 PA ? 面 ABC , ? BC 于 D, BC ? CD ? AD ? 1。 (1)令 PD ? x , ?BPC ? ? ,试把 tan ? 表示为 x 的函数,并求其最大值; (2)在直线 PA 上是否存在一点 Q,使

P

得 ?BQC ? ?BAC ? 讲解 (1)为寻求 tan ? 与 x 的关系, B 首先可以将 ? 转化为 ?PCD ? ?PBD 。 C ∵ PA ? 面 ABC , AD ? BC 于 D, ∴ PD ? BD 。 PD PD x ? x, tan ?PBD ? ? 。 ∴ tan ?PCD ? DC BD 2 x x? 2 ? x 。 ∴ tan ? ? tan??PCD ? ?PBD? ? x x2 ? 2 1? x ? 2 ∵ AD 为 PD 在面 ABD 上的射影。 ∴ PD ? AD ? 1 ,即 x ? 1 。 ∴ tan ? ?
x ? x ?2
2

A

D

1 x? 2 x

?

1 2 2

?

2 。 4

即 tan ? 的最大值为

2 ,等号当且仅当 x ? 2 时取得。 4

(2)由正切函数的单调性可知:点 Q 的存在性等价于:是否存在点 Q 使得

tan ?BQC ? tan?BAC 。

tan ?BAC ? tan ??ACD ? ?ABD ? ?

1 。 3

x 1 ? ,解得: 1 ? x ? 2 ,与 x ? 1 交集非空。 x ?2 3 ∴ 满足条件的点 Q 存在。

令 tan ? ?

2

点评 本题将立体几何与代数融为一体,不仅要求学生有一定的空间想象 力,而且,作好问题的转化是解决此题的关键。

例 2. 如图所示:正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的
6 正切值为 。 2
P

(1) 求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小; (2)若 E 是 PB 中点,求异面 直线 PD 与 AE 所成角的正切值; (3)在侧面 PAD 上寻找一点 F,使得 EF ? 侧面 PBC。试确定点 F 的位置,并加以证明。

E D

C

A

B

讲解: (1)连 AC, BD 交于点 O ,连 PO,则 PO⊥面 ABCD, ∴ ∠PAO 就是 PA 与底面 ABCD 所成的角, ∴ tan∠PAO=
6 。 2 3 。 2

设 AB=1,则 PO=AO? tan∠PAO =

设 F 为 AD 中点,连 FO、PO,则 OF⊥AD,所以,PF⊥AD,所以, ?PFO 就是 侧面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的平面角。 PO ? 3, 在 Rt ?PFO 中, tan ?PFO ? FO ? ? ∴ ?PFO ? 。即面 PAD 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 3 3 1 EO (2)(1) 由 的作法可知: 为 BD 中点, O 又因为 E 为 PD 中点, 所以, // PD 。 ? 2 ∴ ?EOD 就是异面直线 PD 与 AE 所成的角。 在 Rt ?PDO 中, PD ? OD 2 ? PO 2 ?
5 。 2

∴ EO ?

5 。 4

由 AO ? BD , AO ? PO 可知: AO ? 面 PBD 。所以, AO ? EO 。 在 Rt ?AOE 中 , P AO 2 10 。 tan?AEO ? ? EO 5 ∴ 异面直线 PD 与 AE 所成的角为 arctan
2 10 。 5

H

E

(3)对于这一类探索 性的问题,作为一种探索, 我们首先可以将条件放宽 D 一些,即先找到面 PBC 的 一条垂线, 然后再平移到点 E 即可。 为了达到上述目的, 我

C G F K O A B

们可以从考虑面面垂直入手,不难发现: 面PFO ? 面PBC 。 延长 FO 交 BC 于点 G ,连接 PG 。设 H 为 PG 中点,连接 EH, GH 。 ∵ 四棱锥 P ? ABCD 为正四棱锥且 F 为 AD 中点,所以, G 为 BC 中点, ∴ BC ? PG , BC ? FG 。 ∴ BC ? 面PFG 。∴ 面 PBC ⊥ 面PFG 。 ∵ PF ? PG , ?PFO ?

?
3

,∴ ?PFG 为正三角形。

∴ FH ? PG ,∴ FH ? 面PBC 。 取 AF 中点为 K,连 EK,则由 HE // FK 及 HE ? FK 得四边形 HEKF 为平行四 边形,所以, KE // FH 。 ∴ KE ? 面PBC 。 点评 开放性问题中,“退一步去想”(先只满足部分条件)、“将命题 加强”往往是找到解题的突破口的方法。

高考真题

1. (2000 年全国高考题) 如图, 已知平行六面体 ABCD- A1 B1C1 D1 的底面 ABCD

是菱形,且 ?C1CB = ?BCD = 60? 。 (I)证明: C1C ⊥BD; (II)假定 CD=2, C1C = ,记面 C1 BD 为 ? ,面 CBD 为 ? ,求二面角 ? ? BD ? ? 的平面角的余弦值; (III)当
CD 的值为多少时,能使 A1C? 平面 C1 BD ?请 CC1

3 2

给出证明。 2. (2002 年全国高考) 如图: 正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1, 而且平面 ABCD、 ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN= a 0 ? a ? 2 . (Ⅰ)求 MN 的长; (Ⅱ)当 a 为何值时,MN 的长最小; (Ⅲ)当 MN 的长最小时,求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角 ? 的大小。
D M B N A F E

?

?

C

[答案与提示:1。(Ⅰ)略;(Ⅱ)
CD (Ⅲ) =1。 CC1

3 ; 3
2

? 2 2? 1 ? ? 2.(Ⅰ) MN ? ? a ? 0 ? a ? 2 ;(Ⅱ) a ? ? ? 2 2 ? 2 ?
2 ? 1? ;(Ⅲ) arccos ? ? ] ? 2 ? 3?

?

?

时,MN 的长最小,为


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