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高中新课标数学必修②综合测试题(2)


高中新课标数学必修②综合测试题(2)
一、选择题 1.图为某物体的实物图,则其俯视图为(



答案:C 2.图所示的直角梯形 OABC 的面积为 S ,高为 OC ,那么用斜二测画法所得其直观图的面 积为( ) A. S
1 B. S 2

C.

3 S 2

/>D.

2 S 4

答案:D 3.四面体 A ? BCD 中, AB,AC,AD 两两互相垂直, 棱 则顶点 A 在底面 BCD 上的投影 H 为 ) △BCD 的( A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心 答案:A 4.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm,则球的表面积是( A. 8πcm B. 12πcm C. 2πcm D. 20πcm 答案:B 5.已知点 (a, a ? 0) 到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1,则 a 等于( 2)(
2 2 2 2





A. 2 答案:C

B. 2 ? 2

C. 2 ? 1

D. 1 ? 2

6.在平面直角坐标系中,直线 ( 3 ? 2) x ? y ? 3 和直线 x ? ( 2 ? 3)y ? 2 的位置关系是 ( ) A.相交但不垂直 C.平行 答案:B

B.垂直 D.重合

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7.两圆 x2 ? y 2 ? 1 和 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 9 ? 0 的公切线有( A.1 条 答案:C B.2 条 C.3 条



D.4 条

8.圆: x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 0 和圆: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 0 交于 A,B 两点,则 AB 的垂直平分线的 方程是( ) A. x ? y ? 3 ? 0 C. 3x ? y ? 9 ? 0 答案:C 9.在空间直角坐标系中,点 B 是 A(1 2, 在 yOz 坐标平面内的射影, O 为坐标原点,则 OB , 3) 等于( A. 14 答案:B 10.过点 (0, 1) )的直线 l 与半圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0( y ≥ 0) 有且只有一个交点,则直线 l ? 的斜率 k 的取值范围为( A. k ? 0 或 k ? C. k ?
4 3

B. 2x ? y ? 5 ? 0 D. 4x ? 3 y ? 7 ? 0

) B. 13 C. 2 3 D. 11


1 B. ≤ k ? 1 3

4 1 或 ≤k ?1 3 3

D. k ?

4 1 或 ≤ k ≤1 3 3

答案:C 11.如下图,都不是正四面体的表面展开图的是(



A.①⑥ 答案:B

B.④⑤

C.③④

D.④⑥

12.当 0 ? r ≤ 8 时,两圆 x2 ? y 2 ? 9 与 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? r 2 的位置关系为(



A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.相交、相切或相离 答案:D 二、填空题 13.顺次连接 A(1 0) B(1 4) C(3,,D(5, 所得到的四边形绕 y 轴旋转一周,所得旋转体的 ,, ,, 4) 0)

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体积是 答案:
184π 3



14.已知直线 l 经过点 P(?4, 3) ,且被圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 截得的弦长为 8,则直线 l 的 ? 方程是 . 答案: 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 或 x ? ?4 15.已知 O(0, 0) B(3 0, ,半径为 1 的球体的球心在线段 OB 上运动时,球体各点的轨迹 0,, , 4) 得到一几何体,则该几何体的体积为 答案:
19π 3



16.如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正 方体后,有下列命题: ①点 H 与点 C 重合; ②点 D 与点 M 与点 R 重合; ③点 B 与点 Q 重合;④点 A 与点 S 重合.其中正确命题的序号为 答案:②④ .

三、解答题 17.平行四边形的两邻边所在直线的方程分别为 x ? y ? 1 ? 0 及 3x ? y ? 3 ? 0 ,对角线的交点为 M (0, 1) ,求另两边所在直线的方程. ? 解:设另两边所在直线方程为 x ? y ? b ? 0 及 3x ? t ? c ? 0 , ? ∵ 平行四边形对角线交点为 M (0, 1) ,

∴ 点 M 到对边的距离相等,
∴ 1? b 2 ? 1?1 2



?1 ? c 10

?

?1 ? 3 10



, , ∴b ? ?3 ,或 b ? 1 (舍去) c ? 5 ,或 c ? ?3 (舍去) 故所求的直线方程为 x ? y ? 3 ? 0 和 3x ? y ? 5 ? 0 . 18.若球 O 的半径为 R,P,A B,C 为球面上四个不同的点,且 PA PB,PC 两两垂直,则 , ,
PA2 ? PB2 ? PC 2 是否为定值?并说明理由. 解:首先 PA PB 确定一个平面,此平面和球的交线是一个圆,设 , 圆心为 O1 ,此圆不可能是大圆,否则由 CP ? PA , CP ? PB ,便

推出 CP ? 平面 PAB ,这时 PC 就变成球 O 的切线,与已知矛盾.
∵?BPA ? 90° ,∴ AB 是圆 O1 的直径,于是有 PA2 ? PB2 ? AB2 .

作小圆 O1 的直径 PD ,则 PA2 ? PB2 ? PD2 ,且 PC 和 PD 确定的 平面与球 O 的交线是一个大圆,为了证明这个圆是大圆,可以过 小圆 O1 的圆心 O1 作圆 O 的垂线,此垂线必过球心 O ,因为 CP ? 圆 O1 , OO1 ? 圆 O1 , ∴CP ∥OO1 .
∵?CPD ? 90° , ∴CD 是大圆 O 的直径,故有 CD ? 2R ,且 CD2 ? CP2 ? PD2 , 从而有 CD2 ? CP2 ? PA2 ? PB2 .

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故 PA2 ? PB2 ? PC 2 ? 4R2 ,为一定值. 19.如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, E 是棱 BC 的中点. (1)求证: BD1 ∥ 平面 C1 DE ; (2)试在棱 CC1 上求一点 P ,使得平面 A1 B1 P ? 平面 C1 DE .

(1)证明:如图 1,连结 CD1 ,交 C1 D 于点 O , ∵E 是 BC 的中点, O 是 CD1 的中点, ∴ BD1 ∥OE , 由线面平行的判定定理知 BD1 ∥ 平面 C1 DE ;

(2)解:如图 2,过 B1 作 B1P ? C1E ,交 CC1 于点 P ,交 C1 E 于点 O1 , ∵ A1 B1 ? 平面 BCC1B1 , ∴ A1 B1 ? C1E , 又∵C1 E ? B1 P , A1 B1 ? B1 P ? B1 , ∴C1 E ? 平面 A1 B1 P . ∵C1 E ? 平面 C1 DE , ∴ 平面 A1 B1 P ? 平面 C1 DE ,

这时由图 3 可知, ?B1C1O1 ? ?CEC1 , ∴?C1B1O1 ? ?CC1E ,且 B1C1 ? C1C , 从而 Rt△B1C1P ≌ Rt△C1CE , ∴C1 P ? CE ,即 P 为 C1C 的中点.

图2

图3 20.已知直角三角形 ABC 中, ?C ? 90°, AC ? 8,BC ? 6 , P 是 △ABC 内切圆上的动点, 求分别以 PA PB,PC 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小 , 值. 解:以直角顶点 C 为坐标原点,直角边所在的直线为坐标轴,建

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立直角坐标系,如图所示. 则 △ABC 各顶点的坐标依次为 A(8,,B(0,,C(0, , 0) 6) 0) 易得 AB ? 10 .
1 设 △ABC 的内切圆半径为 r ,由于 S△ ABC ? r (a ? b ? c) ? 12r . 2 1 1 又 S△ ABC ? ab ? ? 6 ? 8 ? 24 . 2 2

∴ 内切圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .
设 P 为内切圆上的任意一点,其坐标为 ( x,y) ,以 PA, , 为直径的三个圆的面积之和 PB PC
π ? PA ? ? PB ? ? PC ? 2 2 2 为 S ,则 S ? π ? ? ? π? ? ? π? ? ? ( PA ? PB ? PC ) 4 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? [( x ? 8)2 ? y 2 ? x2 ? ( y ? 6)2 ? x2 ? y 2 ] 4 ? π (3x2 ? 3 y 2 ? 16 x ? 12 y ? 100) 4
2 2 2

π ? [3( x ? 2)2 ? 3( y ? 2)2 ? 4 x ? 76] 4 ∵ 点 P( x,y) 在内切圆上,
∴ ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,且 0 ≤ x ≤ 4 .

即S ?
∴ Smin

π (3 ? 4 ? 4 x ? 76) ? π(? x ? 22)(0 ≤ x ≤ 4) . 4 ? 18π,Smax ? 22π .

21.已知圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 25 ,直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0 . (1)求证:无论 m 为何值,直线 l 恒过定点 (31) ; , (2)当 m 为何值时,直线被圆截得的弦最短,最短的弦长是多少? 解: (1)将点 (31) 的坐标代入直线方程的左边有 (2m ? 1) ? 3 ? (m ? 1) ?1 ? 7m ? 4 ? 0 , , 即点 (31) 的坐标轴令直线的方程恒成立. , 故点 (31) 是直线 l 上的一点,即直线 l 恒过定点 (31) . , , (2)容易知道点 D(31) 在圆内,当直线 l 垂直于 CD 时被截得的弦长最短, , 由圆的方程可得圆以 C 的坐标为 (1 2) , , 则直线 CD 的斜率 kCD ?
1? 2 1 ?? . 3 ?1 2 2m ? 1 . m ?1

所以当直线 l 被截得的弦长最短时直线 l 斜率为 2. 由直线 l 的方程可得 k1 ? ? 于是有 kl ? ?

2m ? 1 3 ? 2 ,解得 m ? ? . m ?1 4 则直线 l 的方程为 2x ? y ? 5 ? 0 .

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又 CD ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 5 , 所以最短的弦长为 2 r 2 ? CD 2 ? 4 5 .
3 故直线 l 被圆 C 截得的弦最短时 m 的值是 ? ,最短长度是 4 5 . 4

22.如图所示,正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面互相垂直,且它们的边长都是 1,点

M 在 AC 上,点 N 在 BF 上,且 MN ? BF ,若 CM ? 2BN ? a(0 ? a ? 2) .
(1)求 MN 的长; (2)当 a 为何值时, MN 最短? (3)当 MN 最短时,求四面体 A ? BMN 的体积. 解: (1)过 M 作 MO ? AB ,垂足为 O ,连结 MB . ∵ 平面 ABEF ? 平面 ABCD , ∴ MO ? 平面 ABEF .
∵ AM ? 2 ? a ,∴

MO AM . ? BC AC

∴ MO ? 1 ?

2 a. 2 2 2 a ,∴ BO ? 1 ? OA ? a. 2 2
2 2 2 2

又 OA ? MO ? 1 ?

? 2 ? 1 2 a ? ? a ? 1 ? 2a ? a 2 . 在 Rt△MOB 中, MB ? MO ? BO ? ?1 ? ? 2 ? 2 ? ?

3 3? 2 2? 1 在 Rt△MNB 中, MN ? MB ? BN ? 1 ? 2a ? a 2 ? ?a ? ? ? . ? 4 4? 3 ? 3 ?
2 2

2

3? 2 2? 1 (2)由(1)∵ MN ? ?a ? ? ? , ? 4? 3 ? 3 ?

2

又0?a ? 2 ,

∴当 a ?

2 2 3 时, MN 最短,此时 MN ? . 3 3 2 2 2 1 , MO ? 1 ? ? . 3 3 3

(3)由(2) MN 最短时, a ?

2 S△ ABN BN 1 1 1 1 ∴ ? ? 3 ? ,∴ S△ ABN ? ? ? . A△ ABF BF 3 2 6 2 3

1 1 . + ∴V四面体A? BMN ? V三棱锥M ? ABN ? ? MO ? S△ ABN ? 3 54

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