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二面角求法


二面角的求法初探 一、利用定义作出二面角的平面角,并设法求出其大小 例 1、 如图,已知二面角α -а -β 等于 120°,pa⊥α ,a∈α ,pb⊥ β ,b∈β . 求∠apb 的大小. 解: 设平面∩pabα =oa,平面 pab∩β =ob。 ∵pa⊥α , а ?α ∴pa⊥а 同理 pb⊥а ∴а ⊥平面 pab 又∵oa ?平面 pab ∴а ⊥oa 同理а ⊥ob. ∴∠aob 是二面角α -а -β 的平面角. 在四边形 paob 中, ∠aob=120°, ∠pao=∠pob=90°,所以∠apb=60° 二、垂线定理(逆定理)法 由二面角的一个面上的斜线(或它的射影)与二面角的棱垂直, 推得它位于二面角的另一的面上的射影(或斜线)也与二面角的棱 垂直,从而确定二面角的平面角。 例 2、如图,δ abc 中,∠a=90°,ab=4,ac=3,平面 abc 外一点 p 在平面 abc 内的射影是 ab 中点 m, 二面角 p—ac—b 的大小为 45°。 求(1)二面角 p—bc—a 的大小; (2)二面角 c—pb—a 的大小 解:∵pm 丄平面 abc,ac 丄 ab, ∴由三垂线定理得:ac 丄 ap, ∴∠pab 是二面角 p—ac—b 的平面角, 即∠pab =45°, 又 am=1[]2ab=2. ∴pm=2 作 md 丄 bc 于 d,连 pd, 则 pd 丄 bc, 故∠ pdm 是二面角 p—bc—a 的平面角 rtδ mbd∽rtδ cab bm:bc=md:ca 又 bc=5,md=6[]5 在 rt δ pdm 中,tg∠pdm=pm[]dm=5[]3, 故∠pdm=arctg5[]3, 即二面角 p—bc—a 的大小为 arctg5[]3。 (2)∵pm 丄平面 abc,bm=ma,∴pa=pb,又∠pab=45°∴pm 丄 pa, 又 pm 丄平面 abc,bm 丄 ac,∴pb 丄 pa, 又 pm 丄平面 abc,bm 丄 ac∴pb 丄 ac, 故 pb 丄平面 pac,∴pb 丄 pc,即∠apc 是二面 c—pb—a 的平面 角, 在 rtδ pab 中, ∠pac=90°, ac=3, pa=2, am=22, ∴tg∠apc=32[]4 因此二面角 c—pb—a 的大小为 arctg32[]4。 三、平移或延长(展)线(面)法 将图形中有关线段或平面进行平移或延长(展) ,以其得到二面角 的两个平面的交线。 例 3、正三角形 abc 的边长为 10,a∈平面α ,b、c 在平面α 的同 侧,且与α 的距离分别是 4 和 2,求平面 abc 与α 所成的角的正弦 值。 解:设 e、f 分别为 b、c 的射影,连 ef 并延长交 bc 延长线于 d, 连 ad;ae ∵e、 是 b、 射影 ∴be 丄α ; f c ∵cf 丄α ∴be∥cf 又 cf: be=1[]2, ∴c 是 bd 的中点∴bc=dc, ∵δ abc 是正三角形∴∠b=∠bca=∠bac=60°,又∠acb+∠ acd=180°, ∴∠acd=120°又 ac=dc ,∴∠cad=∠cda=30°,又∠bad=∠bac+ ∠cad , ∴∠bad=90°,∴ba 丄 ad , 又∵ae 是 ab 在平面α 上的射影, ∴ae⊥ad 又 ba⊥ad ,平面 abc∩平面α =a,∴∠bae 是平面 abc 与α 所成的角, ∴be⊥平面α ,∴ be⊥ae , ∴δ abc 是 rtδ sin∠bae=be:

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