当前位置:首页 >> 数学 >> 定积分的背景

定积分的背景


www.8b2.net www.dx04131.com dx.587766.com www.jhdxj k.com www.et110.com dx.yutian.cc www.dk110.cn http://dx.4yang.com http://www.dx04131.com/bbs www.d1222.com http://www.htszs.com/ http://www

.dxaey.com/ http://www.weluke.com http://dx.xbaixing.com/ http://dx.587766.com/m wap.dx04131.com 3g.gggsw.com http://3g.8b2.net http://3g.jhdxjk.com http://m.jhdxjk.com 4g.d1222.com www.rc0818.com http://www.fjs yyf.com/ http://www.ac xwj.com www.thcxsr.cn www.bjw163.com www.qLm001.com http://dx.587766.com/dx/ http://dx.587766.com/s y/ http://dx.587766.com/hlj/ http://dx.587766.com/wj/ dx.587766.com/bjdxb http://dx.587766.com/z y/ bj.bjw163.com cc.bjw163.com gz.bjw163.com hlj.bjw163.com jn.bjw163.com km.bjw163.com zz.bjw163.com sx.bjw163.com xa.bjw163.com http://www.dn1234.com/zjdx/dx/ www.qixingedu.com/dxb 5g.d1222.com http://www.tecojo.com baidu.qixingedu.com news.qixingedu.com nk.qixingedu.com qq.qixingedu.com www.dxaev.com m.dxaev.com http://www.htszs.com/ http://www.dxaey.com/ http://www.weluke.com http://dx.xbaixing.com/ www.gbbs120.com ccdxb.qixingedu.com www.ccdx120.com www.chengfang120.com http://www.ingmm.com cfdxb.qixingedu.com cfzldx.qixingedu.com cfzldxb.qixingedu.com http://www.dxcccf.com http://www.dxcf2.com http://www.12u8.c om http://www.ccnb120.com/ m.chengfang120.com http://m.dxcccf.com http://m.dxcf2.com m.ccnb120.com http://cf.chengfang120.com/ http://jk.chengfang120.com/ http://dx.ltaaa.com yx.08711000.com www.km120s.com www.dianxian200.com http://dx.xbaixing.com/ www.jhdxj h.com? http://www.4hc w.com www.08711000.c om/ zldx.qixingedu.com dxbby.qixingedu.com dxby.qixingedu.com dxzd.qixingedu.com www.ani medx.com http://dx.ltaaa.com/m/ http://m.dianxian200.com lt.d1222.com http://km.km120s.com/ http://jh.km120s.com/ www.dxafs.com www.dxafb.com m.dxafb.com http://m.dxafs.com www.dianxian300.com http://cs.08711000.com/ www.gzxiejia120.com http://www.xiejdx.com/ www.gzxj120.com http://www.aptos yn.com weixin.qixingedu.com 39.qixingedu.com nt.qixingedu.com gzdxb.qixingedu.com http://www.f1jz.com http://gz.xiejdx.com/ http://xj.xiejdx.com/ http://m.xiejdx.com http://www.oepsi.com http://www.5m2p.com www.dn1234.com/zjdx/ www.fnscg.com/ http://www.5a35.c om http://www.zhongji110.com/ www.zhongji400.com/ http://www.zbullet.com/ dxkf.qixingedu.com dxbkf.qixingedu.com dxbzl.qixingedu.com dxbzd.qixingedu.com www.fnscg.com m.5m2p.com http://xa.oepsi.com/ www.alswlf.com www.zzdx001.com dx.55ypa.com www.cj5p.com m.alswlf.com http://m.55ypa.com http://m.cj5p.com www.kxdxzl.com www.otml lc.com www.kjzldx.com m.cyrbid.com http://yy.nywcpa.c om/ http://www.isnda.com/ http://www.isnda.com/ www.1200010.com www.longjiang120.com www.hljdx400.com m.8b2.net http://www.zhong yadx120.com/ www.scdxzl.com www.dxdxy y.com www.jnyydx.com www.cqdxdx.com www.sdyydx.com www.sddxdx.com www.jndxdx.com www.scdxdx.com www.dxjny y.com www.dxxxy y.com www.fztianjiao.com www.dxaez.com qgdx.qixingedu.com www.dxgy120.com www.gycadx.com m.gycadx.com m.dxgy120.com www.reactek.com www.cyrbid.com www.sapedit.com www.rtait.com www.shopcarcar e.com www.myc onid.com www.procurefood.com www.ursorum.com xadx.qixingedu.com xadxb.qixingedu.com kjzldx.qixingedu.com kjzldxb.qixingedu.com www.shuguang110.com m.shuguang110.com www.ipml lc.com www.dpcco.com www.55ypa.com www.snilli.com zzzldx.qixingedu.com zzzldxb.qixingedu.com zznk.qixingedu.com zznt.qixingedu.com www.dxafn.com m.dxafn.com http://3g.ipmllc.com http://3g.snilli.com www.zhongyadx120.com www.fuzzi wuzzi.com zydxb.qixingedu.com hlj.qixingedu.com zy.qixingedu.com zydxzl.qixingedu.com http://www.hljz y1000.com http://www.hljdx110.com http://sj.39.net.rc0818.com

第四章

定积分

1.1定积分的背景

背景来源——面积的计算
矩形的面积定义 为两直角边长度的乘积
一般图形的面积怎么 计算?
dxb.qnw.cc www.dn1234.com/zjdx dx.qixingedu.com www.ydf0.com http://www.dxzl001.com/ http://m.dxzl001.com http://www.bj w163.com news.39.net.rc0818.com http://www.tecojo.com baidu.qixingedu.com news.qixingedu.com nk.qixingedu.com qq.qixingedu.com www.dxaev.com m.dxaev.com www.zhongyadx120.com www.fuzzi wuzzi.com zydxb.qixingedu.com hlj.qixingedu.com zy.qixingedu.com zydxzl.qixingedu.com www.1200010.com www.longjiang120.com/ http://www.hljz y1000.com http://www.hljdx110.com http://www.hljdx400.com http://sj.39.net.rc0818.com/ www.d1222.com www.wanj ia120.c om www.dianxians120.com www.dianxian1000.com www.pumpdr.com sydxb.qixingedu.com wjdxb.qixingedu.com synk.qixingedu.com synt.qixingedu.com http://www.dxaex.com http://www.dxaew.com 3g.d1222.com m.d1222.com www.reactek.com www.cyrbid.com www.kxdxzl.com www.sapedit.com www.nywcpa.com www.otml lc.com www.rtait.com www.shopcarcar e.com www.kjzldx.com www.myc onid.com www.procurefood.com www.ursorum.com xadx.qixingedu.com xadxb.qixingedu.com kjzldx.qixingedu.com kjzldxb.qixingedu.com www.shuguang110.com m.cyrbid.com m.shuguang110.com www.ipml lc.com www.dpcco.com www.alswlf.com www.zzdx001.com dx.55ypa.com www.cj5p.com www.55ypa.com www.snilli.com zzzldx.qixingedu.com zzzldxb.qixingedu.com zznk.qixingedu.com zznt.qixingedu.com www.dxafn.com http://m.alswlf.com m.dxafn.com wap.cj5p.com m.cj5p.com m.55ypa.com http://3g.ipmllc.com http://3g.snilli.com http://dx.587766.com/dx/ http://dx.587766.com/s y/ http://dx.587766.com/hlj/ http://dx.587766.com/wj/ dx.587766.com/bjdxb http://dx.587766.com/z y/ http://dx.ltaaa.com/m/ http://m.dianxian200.com lt.d1222.com http://km.km120s.com/ http://jh.km120s.com/ www.dxafs.com www.dxafb.com m.dxafb.com http://m.dxafs.com weixin.qixingedu.com 39.qixingedu.com nt.qixingedu.com gzdxb.qixingedu.com http://www.f1jz.com http://gz.xiejdx.com/ http://xj.xiejdx.com/ http://m.xiejdx.com www.zhongji400.com/ http://www.zbullet.com/ http://yy.nywcpa.c om/ http://www.isnda.com/ baidu.qixingedu.com news.qixingedu.com nk.qixingedu.com qq.qixingedu.com www.dxaev.com m.dxaev.com www.fztianjiao.com www.dxaez.com qgdx.qixingedu.com/ www.dxgy120.com/ www.gycadx.com/ m.gycadx.com/ m.dxgy120.com/

我们可以用大大小小的 矩形将图形不断填充,但 闪烁部分永远不可能恰好 为矩形,这些“边角余料” 无外乎是右图所示的“典 型图形”(必要时可旋转)

“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分

一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
曲边梯形由连续曲线 y ? f ( x ) ( f ( x ) ? 0) 、
x 轴与两条直线 x ? a 、
y

y ? f ( x)

A??
o
a b

x ? b 所围成.

x

用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y

o

a
(四个小矩形)

b

x o

a

(九个小矩形)

b

x

显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积.

解决步骤 : 1) 分割. 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点

用直线 x ? xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 近似. 在第i 个曲边梯形上任取一点 ? i ? [ xi ?1 , xi ] y 作以 [ xi ?1 , xi ] 为底 , f (? i ) 为高的小矩形, 并以此小

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ... ? xn?1 ? xn ? b

梯形面积近似代替相应
小曲边梯形面积 得

o a x1

xi ?1 xi

?Ai ? f (? i )?x i (?x i ? xi ? xi ?1

?i

3) 求和.

A ? ? ?A i ? ? f (? i )?xi
i ?1 i ?1

n

n

4) 取极限. 令

则曲边梯形面积

A ? lim ? ?Ai
? ?0 i ?1
n

n

y

? lim ? f (? i )?xi
? ?0 i ?1

o a x1

xi ?1 xi

?i

1、分割 将[a,b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi
y

3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(ξi)代替 4、作和:S?= f (?1 )?x1 ? f (?2 )?x2 ?? ? f (?i )?xi ? ? ? f (?n )?xn
? ? f (?i )?xi (?xi ? xi ? xi ?1 )
i ?1 n

y ? f ( x)

f (?i )























a ? x0 x1

x2

xi ?1 ? i xi

xn ?1 xn ? b

x

1、分割 将[a,b]分割为n个小区间 2、取介点 在每个小区间上任取一点ξi
y

3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x) 用直线段y=f(ξi)代替 4、作和:S?= f (?1 )?x1 ? f (?2 )?x2 ?? ? f (?i )?xi ? ? ? f (?n )?xn
? ? f (?i )?xi (?xi ? xi ? xi ?1 )
i ?1 n

y ? f ( x)

S ? lim ? f (?i )?xi ? ? f ( x)dx
b || ?|| ?0 i ?1 a

n

a

b
n i ?1

x

5、取极限 S ? ||lim ? f (?i )?xi (|| ? ||? max{?xi }) ?|| ?0

3) 求和.

4) 取极限 .

上述两个问题的共性: ? 解决问题的方法步骤相同 :

“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”
? 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限

机动

目录

上页

下页

返回

结束

5.1.2 定积分概念
任一种分法

a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? b ,
只要 ? ? max {? xi } ? 0时
1? i ? n
b

任取
i ?1

? f (? i ) ? xi
在区间

n

总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 ? f ( x) d x
a



f (? i ) ? xi ? ?a f ( x) d x ? ?lim ?0 i ?1

b

n

o a x1

?i xi ?1 xi b x

此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束

积分上限

[a , b] 称为积分区间

?a
积分下限

b

f ( x) d x ? lim ? f (? i ) ? xi
? ?0 i ?1

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

积 分 和

定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即

?a f ( x) d x ? ?a f (t ) d t ? ?a f (u ) d u
机动 目录 上页 下页 返回 结束

b

b

b

定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值

y
A1 a
b

A3 A2 A4

A5 b x

?a f ( x) d x ? A1 ? A2 ? A3 ? A4 ? A5
机动 目录 上页 下页 返回 结束

可积的充分条件:
定理1.

例1. 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取

y

y?x
o
机动 目录 上页

2



2 i f (?i )?xi ? ?i2 ?xi ? 3 n

i n
下页 返回

1x
结束

1 n 2 1 1 ? f (?i )?xi ? 3 ? i ? 3 ? n(n ? 1)(2n ? 1) n i ?1 n 6 i ?1

n

1 1 1 ? (1 ? )(2 ? ) 6 n n
?

y

?

1 2 x 0

dx ? lim ? ? i ?xi
2

n

y ? x2

? ?0 i ?1

? lim
1 ? 3

n??

o

i n

1x



目录

上页

下页

返回

结束

5.2 定积分的简单性质
性质1 常数因子可提到积分号外

?
性质2
b a

b

a

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx
a

b

函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
b a

? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ?

f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a

b

性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K,则

?

b

a b

f ( x)dx ? ? kdx ? k ? dx ? K (b ? a)
a a

b

b

?

a

f ( x)dx ? ? 1dx ? ? dx ? b ? a
a a

b

b

性质4 定积分的区间可加性

若 c 是 [ a , b ] 内的任一点,则

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a c

c

b

a

c

b

当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如
则有
c b

a ? b ? c,

a
c

b

c

? a f ( x ) dx ? ? a f ( x ) dx ? ? b f ( x ) dx
?

? a f ( x ) dx ? ? a f ( x ) dx ? ?b f ( x ) dx
? ? f ( x ) dx ? ? f ( x ) dx
a c c b

b

c

c

机动

目录

上页

下页

返回

结束

性质5 如果在区间 [ a , b ]上 ,f (x)≤ g (x),则

?

b

a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a

b

(a ? b)

性质6 设在区间 [ a , b ]上 (a<b),函数 f (x)
的最大值 和最小值分别是 M 和 m,则

m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a)
a

b

性质7 积分中值定理 定理:设函数 f (x)在闭区间[ a , b ]上连续,

则在[ a , b ]上至少存在一点

?

b

?

使

a

f ( x)dx ? f (? )(b ? a)

1 或可写作 (b ? a )

?

b

a

f ( x) dx ? f (? )

f (? ) 称为函数 f (x) 在 [ a , b ]上的平均值
1 y ? (b ? a )

?

b

a

f ( x) dx

中值定理的几何意义: 曲边 y ? f ( x) 在?a, b?底上所围成 的曲边梯形面积,等于同一底边而高为 f (? ) 的一个矩形面 积,如下图所示.

y

y ?f (x)

f (? )

线 y ? f ( x) 在 ?a, b? 上的平均高度,也就是函数 f ( x) 在 ?a, b?上的平均值,这是有限个数的平均值概念的拓广.

a ? b O 1 从几何角度容易看出,数值 y ? b ? a?

x
b a

f ( x)dx

表示连续曲

5.3 定积分的计算
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数 之间有关系: 与速度函数

s?(t ) ? v(t )
内经过的路程为

物体在时间间隔

?T

T2
1

v(t ) d t ? s (T2 ) ? s (T1 )

这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .

5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
定理1. 若
x a

? ( x) ? ? f (t ) d t

则积分上限函数 y ? f ( x) y
?( x)

x? b x 证: ? x , x ? h ?[a , b] , 则有 x?h x ? ( x ? h) ? ? ( x ) 1 x ? h ? ?? f (t ) d t ? ? f (t ) d t ? a h h a 1 x?h ? ? f (t ) d t ? f (? ) ( x ? ? ? x ? h) h x

o a

? ??( x) ? lim

? ( x ? h) ? ? ( x ) ? lim f (? ) ? f ( x) h ?0 h ?0 h
机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2.

函数 , 则

?a f ( x) dx ? F (b) ? F (a)
F ( x) ? ? f (t ) dt ? C
a x

b

( 牛顿 - 莱布尼兹公式)

证: 根据定理 1,
x



因此 得

?

a

f (t ) dt ? F ( x) ? F (a)

记作

机动

目录

上页

下页

返回

结束

例1. 计算

3 dx ? arctan x 解: ? ? arctan 3 ? arctan( ? 1 ) 2 ?1 1 ? x ?1 ? ? 7 ? ? (? ) ? ? 3 4 12 例2. 计算正弦曲线
3

的面积 . 解: A ? ? sin x dx
0

?

y

y ? sin x

? ? cos x

?

0

? ?[?1? 1] ? 2 o
机动 目录 上页 下页

? x
返回 结束

第五章

5.3.2 定积分的换元法和 分部积分法
不定积分

换元积分法
分部积分法

定积分

换元积分法
分部积分法

一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2 (定积分的换元公式) 设函数 f (x)在区间 [ a , b ]上连续;函数 在

x ? ? (t )

[? , ? ] 上单值且有连续导数;当 ? ? t ? ? ] ? (? ) ? a, ? ( ? ) ? b 时,有 ? (t ) ? [a, b ,且


?

b

a

f ( x)dx ? ? f [? (t )]? ?(t )dt
?

?

例1. 计算 解: 令 x ? a sin t , 则 dx ? a cos t d t , 且

. 当 x ? 0 时, t ? 0 ; x ? a 时, t ? ? 2
2 2 2 cos t dt a ∴ 原式 = ?0
?

y

y ? a2 ? x2

a2 ? ? ? 2 (1 ? cos 2 t ) d t 2 0 a 1 ? ( t ? sin 2t ) 2 2 2 0
机动

o

2

?

a x

目录

上页

下页

返回

结束

例2. 计算

t 2 ?1 解: 令 t ? 2 x ? 1 , 则 x ? , dx ? t d t , 且 2 当 x ? 0 时, t ? 1; x ? 4 时, t ? 3 .
∴ 原式 =

?

t 2 ?1 3 2 ?2 t dt 1 t

1 3 2 ? ? (t ? 3) d t 2 1 3 1 1 3 ? ( t ? 3t ) 2 3 1
机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. (1) 若 (2) 若 证:
a 0

偶倍奇零

则?

a

?a

f ( x ) dx ? 2 ? f ( x ) dx
0

a

则?
a a

a

?a

f ( x ) dx ? 0
a

??a f ( x) dx ? ??a f ( x) dx ? ?0 f ( x) dx
? ? f (?t ) d t ? ? f ( x) dx ? ? [ f ( ? x ) ? f ( x ) ] dx
0 0 a 0

令 x ? ?t

?

f ( ? x) ? f ( x)时 f ( ? x) ? ? f ( x)时
机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理3 (定积分的分部积分公式) 设函数 u (x) , v (x) 在 [ a , b ]上有连续导数,则
b b

?

a

u( x)v?( x)dx ? u( x)v( x) ? ? v( x)u?( x)dx
b a a

例4. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2

?1 1 1 2 ? ? ? 2(1 ? x ) 2 d (1 ? x 2 ) 12 2 0

? ?

0

??

1 2

x 1? x

0

d x 2

?

12

? (1 ?

1 1 2 2 2 x )

3 ? ?1 ? 12 2

?

0

机动

目录

上页

下页

返回

结束

1. 设

求 解:
(分部积分)

机动

目录

上页

下页

返回

结束

2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数 , 且 f (a) ?

f (b) ? 0 , 试证
1 b 解: 右端 ? ? ( x ? a )( x ? b) d f ?( x) 分部积分积分 2 a b 1 ? ?( x ? a)( x ? b) f ?( x)? 2 a 1 b ? ? f ?( x)(2 x ? a ? b) d x 2 a
再次分部积分
b b 1 ? ? ?(2 x ? a ? b) f ( x)? ? ? f ( x) d x = 左端 a 2 a
机动 目录 上页 下页 返回 结束

3

计算

?e x f ( x) ? ? 2 ?x


?

2

?1

其中 f ( x)dx ,

?1 ? x ? 0 0? x?2

f (x)在区间[-1, 2]上不连续。利用定积分性质4,把在区间[-1, 2]

上的积分分成两个区间[-1, 0]和[0, 2]上的积分。

?

2

1

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? e dx ? ? x 2 dx
x ?1 0 ?1 0
2 2

0

2

0

2

x ?e ? ?1 3
x 0

0

11 1 ? ? 3 e
0 ?1

注意 在积分

?

0

?1

f ( x)dx ? ? e x dx中,相当于定义 f (0) = 1,而题

中 f (0) = 0 ,这并不会改变定积分的值。实际上可以证明,改变被积函

数在有限个点上的值都不会改变定积分的值。

4 解

计算

?

3

?2

x 2 ? 2 x ? 3 dx

方程 x2-2x-3 = 0有两个实根-1和 3 ,根据一元二次不等式

的判别,函数 x2-2x-3 = 0在[-2, 3]上分为两部分,在[-2, -1]取正值,在 [-1, 3]上取负值,所以
2 ? x ? 2x ? 3 ? 2 ? x ? ?1 x2 ? 2x ? 3 ? ? 2 ? ( x ? 2 x ? 3) ?1 ? x ? 3 ?

于是

?

3

?2

x ? 2 x ? 3 dx ? ? ( x ? 2 x ? 3)dx ? ? ( x 2 ? 2 x ? 3)dx
2 2 ?2 ?1
3 ?1 3 2

?1

2

x x 2 ?( ? x ? 3x) ? ( ? x 2 ? 3 x) ? 13 3 3 ?2 ?1

5 设

x ? 1, x ? 1 ? ? f ( x) ? ? 1 2 ,求 x , x ? 1 ? ?2
2 1 2 0
1

?

2

0

f ( x)dx.



?

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
0 1
2 1

? ? ( x ? 1)dx ? ?
0
1

1 2 x dx 2
? 8 3

?

1 x ( x ? 1) 2 ? 2 6 0

3 2

1

5.3 定积分的应用
用定积分概念解决实际问题的四个步骤:
第一步:将所求量 F 分为部分量之和,即:
F ? ? ΔFi ;
i ?1 n

第二步:求出每个部分量的近似值, ΔFi ≈ f (? i )Δxi (i ? 1,2,?, n);
n i ?1

第三步:写出整体量 F 的近似值,F ? ? ΔFi ≈ ? f (? i )Δxi ;
i ?1

n

第四步:取 ? ? max{ Δxi } ? 0 时的 ? f (? i )Δxi 极限,则得
i ?1

n

F ? lim ? f (? i )Δxi ? ? f ( x)dx .
b

n

? ?0

i ?1

a

观察上述四步我们发现,第二步最关键,因为最后的被积表 达式的形式就是在这一步被确定的, 这只要把近似式 f (? i )Δxi 中的 变量记号改变一下即可( ? i 换为 x ;?xi 换为 dx ).

而第三、 第四两步可以合并成一步: 在区间 ?a, b? 上无限累加, 即在 ?a, b? 上积分. 至于第一步,它只是指明所求量具有可加性, 这是 F 能用定积分计算的前提,于是,上述四步简化后形成实用 的微元法.

定积分应用的微元法:
(一) 在区间 ?a, b? 上任取一个微小区间 ?x, x ? dx ? ,然后写出 在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值,记为dF ? f ( x)dx (称为 F 的微元);

(二) 将微元dF 在?a, b? 上积分(无限累加) ,即得

F ?

?

b

a

f ( x)dx.

微元法中微元的两点说明:
(1) f ( x )dx 作为ΔF 的近似值表达式,应该足够准确,确切 的 说 , 就 是 要 求 其 差 是 关 于Δx 的 高 阶 无 穷 小 . 即 ΔF ? f ( x ) dx ? o ( Δx ) . 这 样 我 们 就 知 道 了 , 称 作 微 元 的 量 f ( x )dx ,实际上是所求量的微分 dF ;

(2) 具体怎样求微元呢? 这是问题的关键,这要分析问 题的实际意义及数量关系,一般按着在局部 ?x, x ? dx ? 上, 以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路(局部线 性化) ,写出局部上所求量的近似值,即为微元 dF ? f ( x)dx .

5.4.1平面图形的面积 1 例直角坐标系中平面图形的面积 1. 计算两条抛物线
所围图形的面积 .
解: 由 得交点 (0 , 0) , (1, 1)

在第一象限所围

y
y2 ? x
(1,1)

? Ad?A ?0?

1

?

x ? x 2 dx
o

?

y ? x2

x 1 x ?d x

x

1 ? 3

例2. 计算抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 y ? x ? 4 所围图形
的面积 . 解: 由 得交点

(2 , ? 2) , (8 , 4)
则有
1 y 2 ) dy d A ? ( y ? 4 ? ? A?? 2
?2 4

y y?d y y

y 2 ? 2x

(8 , 4)

为简便计算, 选取 y 作积分变量,

o

y ? x?4
(2 , ? 2)

x

? 18
机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 求椭圆

所围图形的面积 .

解: 利用对称性 , 有 d A ? y dx

y

A ? 4? y d x
0

a

b

利用椭圆的参数方程 ? x ? a cos t (0 ? t ? 2? ) ? y ? b sin t ? 应用定积分换元法得
?

o xx?dx a x

? 4 a b ? 1? ? ? ? ab
2 2

? 4ab ? 2 sin 2 t dt
0

当 a = b 时得圆面积公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束

3. 极坐标方程的情形
设由曲线 r ? ? (? ) 及射线

? ? d?
? ??
r ? ? (? )

? ??、 ? ? ? 围成一曲边扇形,
求其面积.这里,? (? ) 在[? , ? ]上连续,且? (? ) ? 0 .
o

d?

1 曲边扇形面积元素 dA ? [? (? )]2 d? 2 ?1 曲边扇形的面积公式 A ? ? [? (? )]2 d? . ? 2

? ?? ?

x

例3

求双纽线 ? ? a cos 2? 所围平面图形的面积 .
2 2

解 由对称性知,总面积=第一象限部分面积的4倍。

A ? 4? dA(? )
4

?

y? x

0

? 4?
? 4?

?
4

0
?
4

0

1 2 r (? ) d? 2 1 2 a cos 2?d? ? a 2 . 2

? 2 ? a 2 cos 2?

例4. 计算阿基米德螺线 到 2? 所围图形面积 .

对应 ? 从 0 变

1 2 (a? ) d? 解: A ? ? 0 2 a 2 ?1 3 ? 2? ? ? 2 ? ?3 ? ?0 4 3 2 ? ? a 3

2?

o

?

2? a x

d?

机动

目录

上页

下页

返回

结束

例5. 计算心形线
面积 . 解:
2 ? 4? a 4 cos 0 2

所围图形的
(利用对称性)

1 2 a (1 ? cos? ) 2 d? 2 d?

?

?

d?

令t ? ? 2
? 8a 2 ? 2 cos 4t dt
0
?

o

?

2a x

3 1 ? 3 2 ? 8a ? ? ? ? ? a 4 2 2 2
2
心形线 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 求双纽线

所围图形面积 .

解: 利用对称性 , 则所求面积为 1 2 a cos2? d ? 2

y

? ?? 4
a x

? a 2 ? 4 cos 2? d (2? )
0

?

? a ?sin 2? ?
2

o

? a2

思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r ? a 2 sin ? 所围公共部分的面积 . 答案: A ? 2 ? ? 0
?
6

? ? ?? 4

1 2 a sin ? d ? ? ?? a cos 2? d ? 6 2
2 2
4
机动 目录 上页

?

?
返回 结束

下页

二、体积
1. 旋转体的体积
旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直 线旋转一周而成的立体.这条直线叫做旋转轴.

圆柱

圆锥

圆台

5.4.2旋转体的体积

dV ? ?f ( x)dx
2

V ? ? ? f ( x)dx
2 a

b

dV ? ?? ( y )dy
2

V ? ? ? ? ( y )dy
2 c

d

例7. 计算由椭圆 转而成的椭球体的体积.

所围图形绕 x 轴旋转而

y

解: 利用直角坐标方程

b

o


x

ax

V ? 2 ? ? y 2 dx
0

a

(利用对称性)

b2 a 2 ? 2? 2 ? (a ? x 2 ) dx a 0 b2 ? 2 1 3 ? a 4 ? 2? 2 ?a x ? x ? ? ? ab 2 3 ?0 3 a ?
机动 目录 上页 下页 返回 结束

5.4.3 变力作功

设物体在变力F ( x) 作用下沿 x 轴由 a 处移动到 b 处, 求变力 F ( x) 所做的功. 由于力 F ( x) 是变力,所求功是区间 [a, b] 上非均匀分布的整 体量,故可以用定积分来解决.
利用微元法,由于变力 F ( x) 是连续变化的,故可以设想在 微小区间 [ x, x ? dx]上作用力 F ( x) 保持不变( “常代变”求微元 的思想) ,按常力做功公式得这一段上变力做功近似值 .

F ( x)

x

b x ? dx x

O a

如图所示建立坐标系,变力F ( x ) 使物体从微小区间 [ x, x ? dx ]的左端点 x 处移动到右端点 x ? dx 处,所做功的近似 值,即功微元为

dW ? F ( x)dx,
将微元dW 从 a 到 b 求定积分,得F ( x) 在整个区间上所做的 功为

W ? ? F ( x)dx.
a

b

例 2 设汽缸内活塞一侧存有定量气体,气体做等温膨胀时 推动活塞向右移动一段距离,若气体体积由 V1 变至 V2 ,求气 体压力所做的功(如下图). C 解 气体膨胀为等温过程,所以气体压强为 P ? V C —常数) ( V —气体体积, ,而活塞上的总压力为

CQ C F ? PQ ? ? V S,

O

S

1

S

S

2

S 为活塞移动的距离, V ? SQ ) (Q —活塞的截面积, 以 S1 与 S 2 表示活塞的初始与终止位置,于是得功为

W ? ? FdS ? C ?
S1

S2

S2

S1

1 dS S

? C?

V2

V1

1 dV V
V2 V1

? C ln V

V2 ? C ln . V1

第五章

5.6 广义积分和Γ函数
常义积分
推广

积分限有限 被积函数有界

广义积分

一、无穷限的广义积分
二、无界函数的广义积分
机动 目录 上页 下页 返回 结束

5.6.1 广义积分
1 连续函数在无限区间上的积分
引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作

x2 其含义可理解为 b b dx 1? ? A ? lim ? 2 ? lim ? ? ? b ? ? ?? x ?1 b? ? ? 1 x
1

A??

? ? dx

1 y? 2 x A

1

b

1? ? ? lim ? 1 ? ? ? 1 b ? ? ?? b?

定义1. 设 f ( x) ? C [a , ? ?) , 取 b ? a , 若

存在 , 则称此极限为 f (x) 在区间 [a,??) 的广义积分,
记作 这时称广义积分 就称广义积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .

类似地 , 若 f ( x) ? C (?? , b] , 则定义

机动

目录

上页

下页

返回

结束

若 f ( x) ? C (?? , ? ?) , 则定义
f ( x) dx ? lim ? f ( x) dx ? a ? ?? a b? ? ? c lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b

说明: 上述定义中若出现 ? ? ? , 并非不定型 ,
它表明该广义积分发散 .

机动

目录

上页

下页

返回

结束

引入记号

F (??) ? lim F ( x) ;
x? ??

F (??) ? lim F ( x)
x ? ??

则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :

?a

??

f ( x ) dx ? F ( x)

? F (??) ? F (a) ? F (b) ? F (??) ? F (??) ? F (??)

??? f ( x) dx ? F ( x) ??? f ( x) dx ? F ( x)
??

b

机动

目录

上页

下页

返回

结束

例1. 计算广义积分
解:

y
??

y?

? ? ? ? (? ) ? ? ? lim 2 x ? lim arctan x 2 arctan
x ??? x ???

? [ arctan x ] ??

1 1? x 2

o

x

思考: 分析: 原积分发散 !

注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 计算广义积分

t ? pt 解: 原式 ? ? e p
1 ? pt ?? 2e p 1 ? 2 p

1 ?? ? p t ? ? e dt p 0

机动

目录

上页

下页

返回

结束

2、暇积分——无界函数的积分
引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的

开口曲边梯形的面积可记作

y
1 y? x

其含义可理解为

A ? lim
??0

?

??

1

dx 1 ? lim? 2 x ? x ??0

A
0?

? lim 2(1 ? ? ) ? 2
? ? 0?

x

机动

目录

上页

下页

返回

结束

定义2. 设 f ( x) ? C (a , b], 而在点 a 的右邻域内无界, 若极限 存在 , 则称此极限为函

数 f (x) 在 (a , b] 上的暇积分, 记作

这时称暇积分 就称暇积分

收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .

类似地 , 若 f ( x) ? C [a , b) , 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
机动 目录 上页 下页 返回 结束

而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义

?a f ( x) dx ? ?c f ( x) dx
无界点常称 为瑕点 .

c

b

机动

目录

上页

下页

返回

结束

例3. 计算暇积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 ? lim? t t ? x ? 1 t ?a arcsin ? ? lim? 原式 ?0 2 2 dx ? tlim ?a ? t ?a a
a ?x
?

?

?0

t ? ? ?arcsin a ? 0? ? ? ? ?

2

例4. 讨论暇积分

的收敛性 .
?

0 dx 1 dx ? 1 下述解法是否正确 : ? ? ? lim ? 解: ? ?1 x 2 ?0 x 2 t ?0 ? x ? 1 1 dx 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?1 ? 1 ? ?2 ?1 x ? ? x ? ?发散 ?1 所以暇积分 .

? 1 ?1 ?t ? ??? ? ? ? tlim ? ?1 ?0 ? x ? t
?

, ∴积分收敛

机动

目录

上页

下页

返回

结束

5.6.2、? 函数
1. 定义

?( s ) ? ?

? ? s ?1 ? x x e 0

d x ( s ? 0)

2. 性质
(1) 递推公式

?( s ? 1) ? s ?( s)

( s ? 0)

证:

?( s ? 1) ? ?

? ?x e

?

?? s ? x x e 0
s ?x

dx?

?

?? 0

?s?

?? s ?x ? x d e (分部积分) 0 ?? s ?1 ? x x e dx 0

?

? s ?( s )
?? n ? N ? , 有 ?(n ? 1) ? n ?(n) ? n (n ? 1) ?(n ? 1)
注意到: ?(1) ? ?
?? ? x e 0

d x ?1

? ? ? n!?(1)
机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)

令 x ? u2, 得
?( s ) ? 2 ?
? ? ?u 2 2 s ?1 e u du 0

( s ? 0)

机动

目录

上页

下页

返回

结束

习题课 定积分及其相关问题

第五章

一、与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法

机动

目录

上页

下页

返回

结束

例1 求
解:

I ??

?

y cos x
(sin x ? cos x) dx
2

2

0
?

sin x

? ? 2 sin x ? cos x dx
0
?
?

o

?

4

?

2

x

? ? 4 (cos x ? sin x) dx ? ??2 (sin x ? cos x) dx
0

? [sin x ? cos x]
? 2 ( 2 ? 1)

?

4

4

0

2 ? [? cos x ? sin x] ? 4

?

机动

目录

上页

下页

返回

结束

例2:若

?

?

试证 :
?

2 ?0

f (sin x) dx

解: 令 t ? ? ? x , 则

? ? ? (? ? t ) f (sin t ) d t
?

0

?? ?
?

?
?

0

f (sin t ) d t ? ? t f (sin t ) d t
0

?

?

2 ?0

f (sin x) dx
机动 目录 上页 下页 返回 结束

因为

? ? 2 f (sin x) dx
0

?

对右端第二个积分令 t ? ? ? x

? 2 ? 2 f (sin x) dx
0

?

综上所述

?

?

2 ?0

?

f (sin x) dx

机动

目录

上页

下页

返回

结束


更多相关文档:

定积分的背景

知识与技能: [1]通过探求曲边梯形的面积,使学生了解定积分的实际背景,了解“以直代曲”“逼近”的思想方法,建构 定积分的认知基础; [2]通过这部分内容的教学...

定积分的背景

1.1 定积分的背景——面积和路程问题 学习目标:通过探求曲边梯形的面积、变速直线运动物体的路程和拉力做的功,使学生了解 定积分的实际背景,体会定积分的思想方法...

定积分概念背景2

第一节 定积分的概念背景(2) 姓名 . 日期 . 教学目标:1.借助几何直观定积分的基本思想,了解定积分的概念,能用定 积分定义求简单的定积分;2.理解掌握定积分的...

定积分的背景

2009——2010 学年 使用时间 2010 3 25 编辑人:陈文玲 张凤英 编号: 审核人 审批 班级 小组 姓名 组内评价 教师评价 差都不会超过 = 定积分的背景【学习目标...

定积分概念背景1

定​积​分​概​念​背​景​1 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档第一节 定积分的概念背景(1) 姓名 . 日期 . 学习目标: 1. 会用“分割、...

1.1定积分的背景

选修2-2 第四章定积分的概念 §1.1 定积分的背景序号 课型 时间 新授课 备课人 班级 阮荣贵 审核人 姓名 王立民 了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车...

4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题

4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题_韩语学习_外语学习_教育专区。4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题 教学过程: 一、问题引入 师:1.求下图中阴影部分...

《定积分概念》设计

《定积分概念》设计_数学_高中教育_教育专区。“定积分概念”教学设计阎良区西飞第一中学数学组 路升社 一、教学目标⒈知识与技能:了解定积分的背景,借助于几何直...

1.1定积分的背景——面积和路程问题学案zhan

1.1定积分的背景——面积和路程问题学案zhan_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年北师大版选修 2-2 1.1 定积分的背景——面积和路程问题 学案...

定积分的背景_教学设计(省优质课)

定积分的背景_教学设计(省优质课)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学精品教学设计 定积分的背景数学 王乃雪 江西高安二中 382317596@qq.com 【教学目标】...
更多相关标签:
定积分 | 定积分的应用习题 | sinx x的定积分 | 定积分的性质 | 定积分的几何意义 | 定积分的定义 | 定积分的概念 | 定积分的计算 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com