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2011年西安电子科技大学自主招生试题数学题


1.填空(24 分) (1) 某人给 5 位朋友分别写信, 若将这 5 封不同的信件随机地装入已 写好朋友姓名的 5 个信封.请问恰好装错 1 个信封的概率 是 .

(2)给定一个矩形,从中裁掉一个最大的正方形,若剩下的矩形与原 矩形相似,则原矩形的宽与长之比是 .

(3)如图所示,已知圆的外切正方形的面积是 2 平方单位, 问这个圆的

内接正方形的面积是 .

(4)用 9 根火柴连接成 7 个以整根火柴为边长的等边三角形, (3)题图 (不折断火柴) ,示意图为 .

2.(10 分)某年级有 369 名学生,能否肯定至少有两名学生的生日相 同?为什么?每 23 名学生中, 至少有两名学生生日相同的概率是多 少? 3.(11 分)在一昼夜中,钟表的时针和分针有几次重合?几次形成直 角?时针、分针和秒针何时重合?请写出理由.

4.(11 分)



a1 ?

2 , a n ?1 ?

2 ? an , n ? 1, 2, ? ,

试问数



{a n } 是否单调?是否有界?是否有极限?证明自己的结论.

5. (11 分)早晨 8 点多钟有两辆班车先后离开老校区开往新校区.两辆 车的速度都是每小时 60 公里。8 点 32 分的时候,第一辆班车离开 老校区的距离是第二辆班车的 3 倍, 到了 8 点 39 分的时候, 第一辆 班车离开老校区的距离是第二辆班车的 2 倍.那么,第一辆班车是 8 点几分离开老校区的?

6. (11 分)在棱长为 8 公分的正四面体上,能否打出一个圆洞,使得 直径为 5 公分的圆柱能够顺利穿过?若认为不能,请说明理由,若 认为可以,请写出打洞方法(指出圆洞的中心轴线位置)和可行性 论证.

7.11 分) ( 甲班的 A,B,C,D 四人与乙班的 a,b,c,d 四人进行象棋比赛. 每 班参赛的每一个人都要与另一班参赛的每一个人各赛一场且只赛一 场,4天赛完,恰好每人每天都有一场比赛.比赛日程表(表 1) 中已经排好了一些场次,另一些场次中甲班的 A,B,C,D 已经排出, 请你把尚未排好的场次中的 你填写时的推理过程. 表1 第一天 第二天 第三天 第四天

x1 , x2 ,?, x9 填成乙班的 a,b,c,d, 并说明

A:a

B :b

C :c

D:d

A : x1 A : x5
A:c

B : x2 B : x6
B:a

C : x3
C : x7

D : x4
D:a

C : x8

D : x9

8. (11 分)某缝纫社有甲、乙、丙、丁四个小组.甲组每天能缝制 8 件上衣或 10 条裤子;乙组每天能缝制 9 件上衣或 12 条裤子;丙组 每天能缝制 7 件上衣或 11 条裤子;丁组每天能缝制 6 件上衣或 7 条裤子. 现在上衣和裤子要配套缝制 (每套为一件上衣和一条裤子) , 问 7 天中这四个小组最多能缝制多少套衣服?


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