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贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷(五)理科数学-答案


贵阳第一中学 2015 届高考适应性月考卷(五) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1.将复数 z1 ?
1 3 ? i (i 是虚数单位)对应的向量绕原点顺时针旋转 90 ? 后,所得向量位于 2 2
3 1 ? i ,故选 D. 2

2

1 D

2 C

3 A

4 C

5 A

6 D

7 D

8 A

9 B

10 D

11 B

12 B

第四象限,且与 x 轴夹角为 30 ? ,所以 z2 ?

2.M 集合是表示直线 y ? 3x ? 3 上去掉 (2, 3) 的所有点, 若 a ? ?6 时, 两直线平行, 符合题意, 则只要 ax ? 2 y ? a ? 0 过点 (2, 3) 即可,则 a ? ?2 ,故选 C. 3.由函数性质可知,该函数不是偶函数,排除 C、D.又当自变量 x 趋于正无穷时,函数 y 趋向于 0,故选 A. 4.由三视图知,该几何体是一棱锥,其底面四边形的对角线互相垂直,且长都为 2,棱锥的 高为 1,所以,该几何体的体积为 V=

2 ,故选 C. 3

5. 由 a1 ? ?11 ,a4 ? a6 ? 2a1 ? 8d ? ?6 , 得 d ? 2 ,Sn ? n2 ? 12n ? (n ? 6)2 ? 36 , 所以当 n ? 6 时,
Sn 取最小值,故选 A.

6.由程序语句,循环可得选 D.

cos 2? cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 8 1 7. tan ? ? ,所以 ? ? ? ,故选 D. 2 2 3 sin 2? ? cos ? 2sin ? cos ? ? cos ? 2tan ? ? 1 15
8.由线面位置关系可知选 A. 9.因为 X
90) ?0.6826 ,而正态曲线关于直 N (80, 102 ) ,所以 ? ? 80, ? ? 10 ,则 P(70 ? X ≤

线 x ? 80 对称,所以 P( X ≤90) ? P( X ≤80) ? P(80 ? X ≤90) ?
0.6826 ? 0.8413 ,故选 B.

1 1 1 1 ? P(70 ? X ≤90) ? ? ? 2 2 2 2

理科数学参考答案·第 1 页(共 7 页)

1 1 2 10.由题可知 AD ? ( AB ? AC ) , BE ? AC ? AB ,联立可得: AB ? ( AD ? BE) , AC ? 2 2 3 4 2 2 AD ? BE ,所以 AB ? AC ? ,故选 D. 3 3 3
11.由题意得,直线 BF 的方程为 bx ? cy ? bc ? 0 , △Pi A1 A2 (i ? 1, 2) 是以 A1 A2 为斜边的直角 三角形,由题意可得,只要直线 BF 与圆心在原点,半径为 a 的圆有两个交点即可,
bc b2 ? c2 ? a ,即

b2 c 2 (c2 ? a2 )c2 2 ,即 ? a ? a2 ,即 e4 ? 3e2 ? 1 ? 0 ,又因为交点不含端 b2 ? c 2 c2 ? a2 ? c2

点,所以有 e ? 1, a ? b ,故选 B.
x ?2 ) ? f( x ) 12. 令 x ? ?1 , 因为函数 f ( x) 是偶函数, 所以可得 f (1) ? 0 , 即 f(

, 即 f ( x) 是 T ? 2

的周期函数,∵ f ( x) ? f (? x), f ( x ? 2) ? f (? x) ,函数 f ( x) 关于直线 x ? 1 对称,所以可以 画出函数 f ( x) 的图象.经分析可知 0 ? a ? 1 ,画出 y ? loga ( x ? 1) 的图象, f ( x) 的图象与
?0 ? a ? 1, 3 y ? log a ( x ? 1)( x ? 0) 至少有三个交点, 则只要满足 ? 所以 0 ? a ? , 故选 B. log (2 ? 1) ? ? 2, 3 ? a

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】
π? ? 13 . 因 为 sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ? ? , 由 题 设 a ? 2 , 则 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 为 3? ?

13 240

14 150

15

16
F1 (3, 3), F2 (?3, ? 3)

10 3

? 1 ? r r r 6?r 3? r Tr ?1 ? C6 (a x )6 ? r ? ? ? ? ? (?1) ? C6 ? a ? x ,令 3?r=1,得 r ? 2 ,所以含 x 项的系数 x? ?
2 是 C6 ? 24 ? 240 .
1 3 2 2 C1 C1 5 C4 C3 5 C4 C2 ? ,二、后排列,所以就有 A2 A2 2 2

r

14 .一、先分组有 (1, 1, 3) 和 (1, 2, 2) 两种,即
1 3 2 2 ? C1 ? 3 C1 5 C4 C3 5 C4 C2 ? ? ? A3 =150. 2 2 A2 ? ? A2

15.由不等式表示的平面区域可知,当直线 ax ? by ? z (a ? 0, b ? 0) 过直线 x ? y ? 2 ? 0 与直线
理科数学参考答案·第 2 页(共 7 页)

3x ? y ? 6 ? 0 的 交 点 (4, 6) 时 , 目 标 函 数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 取 得 最 大 值 12 , 即

? 1 3? ? ? (2a ? 3b) 11 ? 3b ? 6a 1 3 ? a b? ? a b ,令 b ? t ,因为 4a ? 6b ? 12 ,即 2a ? 3b ? 6 ,而 ? ? ? a b 6 6 a
a≥b ? 0 , t ? (0, 1] ,则

3b 6a ? 2? ? 2? ? ? 3 ? t ? ? ,令 y ? 3 ? t ? ? , t ? (0, 1] ,由函数性质可得 a b t? t? ? ?

当 t ? 1 时,y 的最小值为 9,即 16. 等轴双曲线 C:xy ?

1 3 10 ? 的最小值为 . 3 a b

9 的两个焦点 F1 , F2 在直线 y ? x 上, 所以双曲线的顶点也在直线 y ? x 2
? 3 2 3 2? ? , ? ? ? ,所以等轴双 ? 2 2 ? ? ?

9 ? ?3 2 3 2 ? ? xy ? , 上,联立方程 ? 2 解得两顶点坐标为 ? ? 2 , 2 ? ?, ? ? ? ? y ? x,
曲线的实轴长为 6, 焦距为 6 2 , 而原点为双曲线 C:xy ? 上,故焦点坐标为 F1 (3, 3), F2 (?3, ? 3) .

9 的对称中心, 焦点在直线 y ? x 2

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)
π? ? 解: (Ⅰ ) f ( x) ? m ? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? ? 3 , 6? ?

所以 f ( x) 的最小正周期为 T ?

2π ? π , f ( x) 的最大值为 5. 2

………………… (6 分)

π? π? 1 ? ? (Ⅱ)由 f ( A) ? 4 ,得 2sin ? 2 A ? ? ? 3 ? 4 ,即 sin ? 2 A ? ? ? ,又因为 0 ? A ? π , 6? 6? 2 ? ?

所以 2 A ?

3 3 3 π 5π π 1 c? , A ? , bc sin A ? ,即 ,c ? 2, ? 2 4 2 6 6 3 2

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A=1+4 ? 2 ? 1? 2 ? 所以 a = 3 .

1 ? 3, 2

………………………………………………………………………(12 分)

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )列联表补充如下: 喜欢户外运动 20 10 30 不喜欢户外运动 5 15 20 合计 25 25 50

男生 女生 合计

……………………………………………………………………… (3 分)
理科数学参考答案·第 3 页(共 7 页)

假设喜欢户外运动与性别无关,计算 K 2 ?

50(20 ?15 ? 10 ? 5)2 ? 8.333 ? 7.879 , 30 ? 20 ? 25 ? 25

∴有 99.5%以上的把握认为喜欢户外运动与性别有关. …………………………… (5 分) (Ⅱ) ? 所有可能的取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0 )?

1 1 ,P ?( ? 1? ) 6 2

P, ? ( ?

3 2 ?) P ? , 10

? (

1 ?, 3 ) ………………………(10 分) 30

? 的分布列如下表: ?
P 0 1 2 3

1 6

1 2

3 10

1 30

1 1 3 1 6 E(? ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . …………………………………………(12 分) 6 2 10 30 5
19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ )证明:根据题意,如图 1,以 BC 为 x 轴, BA 为 y 轴, BP 为 z 轴建立空间直角坐标系.
∵ CD ? PD , CD ? PB ,∴ CD ⊥平面 PBD ,∴ CD ? DB .

AD ? AB ? 3, ?DAB ?

π π ,∴ DB ? 3 2, ?DBA ? , 2 4

∴ DC ? 3 2, BC ? 6 .
∴ B(0, 0, 0), A(0, 3, 0), C (6, 0, 0), P(0, 0, 3), D(3, 3, 0) , 设 E ( x, y, z ) ,∵ PE ? 2EA , ∴ ( x, y, z ? 3) ? 2(? x, 3 ? y, ? z ) ,得 E (0, 2, 1) ,

∴ BE ? (0, 2, 1), BD ? (3, 3, 0) .
设平面 BDE 的法向量 n ? ( x, y, z) ,
?3x ? 3 y ? 0, 则解 ? 得 n ? (1, ? 1, 2) , ? 2 y ? z ? 0,

PC ? (6, 0, ? 3) , n ? PC ? 6 ? 0 ? 6 ? 0 ,
∴ PC //平面 EBD .

……………………………………………………………… (6 分)

(Ⅱ)解:易知平面 PAB 的法向量 n1 ? (1, 0, 0) , 由(Ⅰ )知平面 BDE 的法向量 n ? (1, ? 1, 2) ,∴ cos? n, n1 ? ? 所以所求二面角 A ? BE ? D 的余弦值为
1 1 ? 1?1? 4 ? 6 , 6

6 . ……………………………………(12 分) 6

理科数学参考答案·第 4 页(共 7 页)

20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ )设椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1, a 2 b2

由题意知

a 2 ? b2 3 2 1 ? 且 , ? ? 1 2 2 a 2 a 2b

联立解得: a 2 ? 4 , b 2 ? 1 , 所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

……………………………………………(4 分)

(Ⅱ)由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0,故可设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,
? y ? kx ? m, ? 设交点坐标 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 且满足 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?4

消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 1) ? 0 ,
? ? 64k 2 m2 ? 16(1 ? 4k 2 )(m2 ? 1) ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,

所以 x1 ? x2 ?

?8km 4(m2 ? 1) , x1 x2 ? . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
y1 y2 ? ? 2k , xy 即 xy 12 ? 21 x1 x2

因为直线 OA, AB, OB 的斜率依次成等差数列, 所以 又 y ? kx ? m ,所以代入得 m( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 m=0, 所以弦 AB ? 1 ? k 2
4 1 ? 4k 2

k x ? x12 2




k ?1 1? k2 k ?1 1? k
2

又因为点 M 到直线 l 的距离 d ?
1 4 1? k2 2 1 ? 4k 2


2 k ?1 1 ? 4k 2

所以 S△ ABM ?

?



1 平方化简再求导后易得当 k ? ? 时, S△ ABM 取得最大值 5 . …………………(12 分) 4
21. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解: f ?( x) ?

1 1 ? 2 x ?1 ,由题意 f ?(0) ? ? 1 ? 0 ? a ? 1 , ………………(2 分) x?a a

f ?( x) ?

1 ? x(2 x ? 3) ? 2x ? 1 ? ? 0 ? x ? 0, x ?1 x ?1
理科数学参考答案·第 5 页(共 7 页)

所以 f ( x) 在 (?1, 0) 上递增,在 (0, ? ?) 上递减, 所以 f ( x)极大值 ? f (0) ? 0 . …………………………………………………………… (4 分)

5 3 (Ⅱ) 解: 方程 f ( x) ? ? x ? b 在 [0, 2] 上恰有两个不同实根 ? ln( x ? 1) ? x2 ? x ? b ? 0 在 2 2
[0, 2] 上恰有两个不同实根,

设 g ( x) ? ln( x ? 1) ? x 2 ?

3 ?(4 x ? 5)( x ? 1) x ? b, g ?( x) ? , 2 2( x ? 1)

g ( x) 在 (0, 1) 上单调递增,在 (1, 2) 上单调递减,

………………………………(6 分)

? g (0) ? ?b≤0, ? 1 1 ? 则 ? g (1) ? ln 2 ? ? b ? 0, (8 分) ? ln 3 ? 1≤b ? ln 2 ? . ………………………………… 2 2 ? ? ? g (2) ? ln 3 ? 1 ? b≤0
(Ⅲ) 证明: 由 (Ⅰ) 可知 f ( x)max ? f ( x)极大值 ? 0 , 即 ln( x ? 1) ? x2 ? x≤0 ? ln( x ? 1)≤x2 ? x , 令x?
1 1 ? 1 ? 1 1 n ?1 (n≥2) , ,∴ ln ? ? 1?≤ ? 2 ? 2 ? n n ?1 n ?n ? n n

3 4 ∴ ln ? ln ? 2 3
即 ln

? ln

n?2 1 1 ? ? ? n ?1 1 2

1 ? (n≥2) , n

n?2 1 1 ? ? ? 2 1 2

1 ? (n≥2), n ? 1 也成立, n n?2 1 1 ?1? ? ? 2 2 3 1 (12 分) ? 都成立. ………………… n

故对任意的 n ? N? , 不等式 ln

22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:如图 2,连接 ON,则 ON ? PN, 且△OBN 为等腰三角形, 则 ?OBN ? ?ONB .
∵ ?PMN ? ?OMB ? 90? ? ?OBN , ?PNM ? 90? ? ?ONB , ∴ ?PMN ? ?PNM , ∴ PM ? PN ,

根据切割线定理,有 PN 2 ? PA ? PC, ∴ PM 2 ? PA ? PC .
理科数学参考答案·第 6 页(共 7 页)

……………………(5 分)

(Ⅱ)解:因为 OA ? 2 3 , OA ? 3OM , OM ? 2 , 在 Rt △BOM 中, BM ? OB2 ? OM 2 ? 4 , 如图 3,延长 BO 交圆于点 D,连接 DN, 由条件知, △BOM 与 △ BND 相似, 所以

BO BM , BN ? 6 . ? BN BD

………………………………………………………(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
π? ? 解: (Ⅰ)由 ? ? 4 2 cos ? ? ? ? 得 ? 2 ? 4? cos? ? 4? sin ? , 4? ?

∴ x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y , 即圆 C 的直角坐标方程为: ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 . ………………………………(5 分)
? x ? 2t , (Ⅱ)将直线 l 的参数方程 ? (t 为参数)化为普通方程 y ? 2 x ? a , ? y ? 4t ? a,

则圆心 C (2, ? 2) 到直线 l 的距离等于 2 , 即
6?a 5 ? 2, 所以 a ? ?6 ? 10 .

……………………………………………… (10 分)

24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】
??2 x ? 1, x≤ ? 5, ? 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? x ? 4 ? x ? 5 ? ?9, ? 5 ? x ? 4, ?2 x ? 1, x≥4, ?

1 ? ?2 x ? 1, x≤ ? , ? ? 2 又 g ( x) ? 2 x ? 1 ? ? 1 ?2 x ? 1, x ? ? , ? ? 2

故使等式 f ( x) ? 2 x ? 1 成立的 x 的取值范围为 x ? (??, ? 5] [4, ? ?) .

………(5 分)

(Ⅱ)∵ f ( x) ? x ? 4 ? x ? 5 ≥ ( x ? 4) ? ( x ? 5) ? 9 ,当且仅当 ?5 ≤ x ≤ 4 时,等号成立,
∴ a ? (9, ? ?) . ………………………………………………………………………… (10 分)

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