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2012年高考文科数学试题分类汇编--数列


2012 高考文科试题解析分类汇编:数列
一、选择题
1.【2012 高考安徽文 5】公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 = (A) 1 (B)2 (C) 4 (D)8

2.【2012 高考全国文 6】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?

1 ,,则 Sn ? (A) 2
n ?1

(B) ( )

3 2

n ?1

(C) ( )

2 3

n ?1

(D)

1 2 n ?1

3.【2012 高考新课标文 12】数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830

1

5.【2012 高考湖北文 7】定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果对于任意给 定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x)为“保等比数列函数”。现有定义 在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x?;②f(x)=2x;③ (x)=ln|x |。 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ ;④f

6.【2012 高考四川文 12】设函数 f ( x) ? ( x ? 3)3 ? x ? 1 ,数列 {an } 是公差不为 0 的等差数 列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? ( A、0 B、7 C、14 ) D、21

7.【2102 高考福建文 11】数列{an}的通项公式 a n ? cos 于 A.1006 B.2012 C.503 D.0

n? ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等 2

8.【2102 高考北京文 6】已知为等比数列,下面结论种正确的是 (A)a1+a3≥2a2 (B) a1 ? a3 ? 2a2 (C)若 a1=a3,则 a1=a2(D)若 a3>a1,则 a4>a2
2 2 2

9.【2102 高考北京文 8】某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目前记 录的结果看,前 m 年的年平均产量最高,m 的值为 (A)5(B)7(C)9(D)11
2

二、填空题
10.【2012 高考重庆文 11】首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ?

11. 【2012 高考新课标文 14】 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S3+3S2=0, 则公比 q=_______

12.【2012 高考江西文 13】等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1。若 a1=1,且对任意 的 都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=_________________。

13.【2012 高考上海文 7】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 积分别记为 V1 ,V2 ,...,Vn ,... ,则 lim(V1 ? V2 ? ... ? Vn ) ?
n ??

1 为公比的等比数列,体 2

3

14.【 2012 高考上海文 14】已知 f ( x ) ?

1 ,各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 1? x

an?2 ? f (an ) ,若 a2010 ? a2012 ,则 a20 ? a11 的值是

15.【2012 高考辽宁文 14】已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a n+2)=5a n+1 , 则数列{an}的公比 q = _____________________.

16.【2102 高考北京文 10】已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? a2=______,Sn=_______。

1 ,S2=a3,则 2

17.【2012 高考广东文 10】若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ?

1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2

.

三、解答题
18. 【2012 高考浙江文 19】 (本题满分 14 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn= 2n2 ? n ,

n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.
4

【命题意图】 本题主要考查等比数列、 等差数列的概念, 通项公式以及求和公式等基础知识, 同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。

19.【2012 高考江苏 20】(16 分)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:

a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1

? b ?? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

5

20.【2012 高考四川文 20】(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成 立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

21.【2012 高考湖南文 20】(本小题满分 13 分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元,将其投 入生产, 到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求 企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴 资金 d 的值(用 m 表示).

?

6

22.【2012 高考重庆文 16】(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分)) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;(Ⅱ) 记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。

23.【2012 高考陕西文 16】已知等比数列 ?an ? 的公比为 q=(1)若

1 . 2

a

= 3

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? ,

a

k



a

k ?2



a

k ?1

成等差数列。

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去),因此 k ? 6 。

7

24.【2012 高考湖北文 20】(本小题满分 13 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式;

25.【2012 高考天津文科 18】 (本题满分 13 分) 已知{ } 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , { }是等比数列,且

= =2, a 4 ? b4 ? 27 , - =10 (I)求数列{ }与{ (II)记 = + }的通项公式; ,(n ,n>2)。

8

26.【2012 高考山东文 20】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项 和 Sm .

27.【2012 高考全国文 18】(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用。

n?2 an 。 3

9

28.【2012 高考安徽文 21】(本小题满分 13 分) 设函数 f(x) =

x + sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn } . 2

(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。

29.【2012 高考上海文 23】(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 对于项数为 m 的有穷数列 ?an ? ,记 bk ? max ?a1 , a2 ,..., ak ? ( k ? 1, 2,..., m ),即 bk 为

a1 , a2 ,..., ak 中的最大值,并称数列 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,如 1,3,2,5,5 的控制数列
是 1,3,3,5,5 (1)若各项均为正整数的数列 ?an ? 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 ?an ?

10

(2)设 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,满足 ak ? bm?k ?1 ? C( C 为常数,k ? 1, 2,..., m ),求证:

bk ? ak ( k ? 1, 2,..., m )
(3)设 m ? 100 ,常数 a ? ?

?1 ? ,1? ,若 an ? an2 ? (?1) 2 ? ?

n ( n ?1) 2

n , ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,

求 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ... ? (b100 ? a100 )

30.【2012 高考广东文 19】(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N .
*

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

11

31.【2102 高考福建文 17】(本小题满分 12 分) 在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项 的值相等的概率。 考点:等差数列,等比数列,古典概型。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为演绎推理,等差等比数列的定义和通项公式,前 n 项和公式和 古典概型,直接应用。

12

2012 高考文科试题解析分类汇编:数列(答案)
1.【2012 高考安徽文 5】 【答案】A
2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1

2.【2012 高考全国文 6】 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。 【解析】由 Sn ? 2an?1 可知,当 n ? 1 时得 a2 ? 当 n ? 2 时,有 Sn ? 2an?1 ① Sn?1 ? 2an

1 1 S1 ? 2 2



①-②可得 an ? 2an?1 ? 2an 即 an ?1 ?

3 1 3 an ,故该数列是从第二项起以 为首项,以 为公 2 2 2

?1 ( n ? 1) ? 比的等比数列,故数列通项公式为 an ? ? 1 3 , n?2 ( n ? 2) ? ( ) ?2 2

1 3 (1 ? ( ) n ?1 ) 3 2 故当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? 2 ? ( )n ?1 3 2 1? 2 3 1?1 当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ( ) ,故选答案 B 2
3.【2012 高考新课标文 12】 【答案】D 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题. 【解析】【法 1】有题设知 a2 ? a1 =1,① a3 ? a2 =3 ② a4 ? a3 =5 ③ a5 ? a4 =7, a6 ? a5 =9,

a7 ? a6 =11, a8 ? a7 =13, a9 ? a8 =15, a10 ? a9 =17, a11 ? a10 =19, a12 ? a11 ? 21 ,
?? ∴②-①得 a1 ? a3 =2,③+②得 a4 ? a2 =8,同理可得 a5 ? a7 =2, a6 ? a8 =24, a9 ? a11 =2,

a10 ? a12 =40,?, ∴ a1 ? a3 ,a5 ? a7 ,a9 ? a11 , ?, 是各项均为 2 的常数列,a2 ? a4 ,a6 ? a8 ,a10 ? a12 , ?
是首项为 8,公差为 16 的等差数列, ∴{ an }的前 60 项和为 15 ? 2 ? 15 ? 8 ? 【法 2】可证明:

1 ?16 ?15 ?14 =1830. 2

bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

13

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0
4.【2012 高考辽宁文 4】 【答案】B 【解析】

1 5? 1 4 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 2

1 ?6 ? 1830

a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d ,

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题。 5.【2012 高考湖北文 7】 【答案】C 6.【2012 高考四川文 12】 【答案】D. [解析]∵ {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14

∴ [(a1 ? 3) 3 ? a1 ? 1] ? [(a2 ? 3) 3 ? a2 ? 1] ? ? ? [(a7 ? 3) 3 ? a7 ? 1] ? 14 ∴ (a1 ? a2 ? ?a7 ) ? 7 ? 14
∴ a1 ? a2 ? ?a7 ? 21 [点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应 用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点. 7.【2102 高考福建文 11】 【答案】A. 考点:数列和三角函数的周期性。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和,所以先要找出周期,然后分组 计算和。 解答: a 4 n ?1 ? ( 4n ? 1) ? cos

a4 n ?2 a 4 n ?3 a4 n ?4

( 4n ? 1)? ? ? ( 4n ? 1) ? cos ? 0 , 2 2 ( 4n ? 2)? ? ( 4n ? 2) ? cos ? ( 4n ? 2) ? cos ? ? ?( 4n ? 2) , 2 ( 4n ? 3)? 3? ? ( 4n ? 3) ? cos ? ( 4n ? 3) ? cos ?0, 2 2 ( 4n ? 4)? ? ( 4n ? 4) ? cos ? ( 4n ? 4) ? cos 2? ? 4n ? 4 , 2

所以 a4 n ?1 ? a4 n ?2 ? a4 n ?3 ? a4 n ?4 ? 2 。 即 S 2012 ?

2012 ? 2 ? 1006 。 4

8.【2102 高考北京文 6】
14

【答案】B 【解析】当 a1 ? 0, q ? 0 时,可知 a1 ? 0, a3 ? 0, a2 ? 0 ,所以 A 选项错误;当 q ? ?1 时, C 选项错误;当 q ? 0 时, a3 ? a2 ? a3q ? a1q ? a4 ? a2 ,与 D 选项矛盾。因此根据均值 定理可知 B 选项正确。 【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知识, 如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择题 用排除法来做。 9.【2102 高考北京文 8】 【答案】C 【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选 C。 【考点定位】 本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可 以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产 量最高,就需要随着 n 的增大, Sn 变化超过平均值的加入,随着 n 增大, Sn 变化不足平均 值,故舍去。

二、填空题
10.【2012 高考重庆文 11】【答案】15 【解析】: S4 ?

1 ? 24 ? 15 1? 2

【考点定位】本题考查等比数列的前 n 项和公式 11.【2012 高考新课标文 1【答案】 ? 2 【答案】 ? 2 【命题意图】本题主要考查等比数列 n 项和公式,是简单题. 【解析】当 q =1 时, S3 = 3a1 , S2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ an }是 等比数列矛盾,故 q ≠1,由 S3+3S2=0 得,

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q

12.【2012 高考江西文 13】 【答案】11 【解析】由已知可得公比 q=-2,则 a1=1 可得 S5。 13.【2012 高考上海文 7】 【答案】

8 。 7 1 为公比的等比数列,可知它们的体积则组成了 2

【解析】由正方体的棱长组成以 1 为首项,

15

一个以 1 为首项,

1 为公比的等比数列,因此, lim (V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? n ?? 8

1 1? 1 8

?

8 . 7

【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义. 考查知识较综合. 14.【2012 高考上海文 14】 【答案】

3 ? 13 5 。 26
1 1 1 ,并且 an?2 ? f (an ) ,得到 a n ? 2 ? , a1 ? 1 , a 3 ? , 1? x 2 1 ? an

【解析】据题 f ( x ) ?

a2010 ? a2012 ,得到

1 5 ?1 (负值舍去).依次往前推得到 ? a 2010 ,解得 a 2010 ? 1 ? a 2010 2

a 20 ? a11 ?

3 ? 13 5 . 26

【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念 .理解条件

an?2 ? f (an ) 是解决问题的关键,本题综合性强,运算量较大,属于中高档试题.
15.【2012 高考辽宁文 14】 【答案】2 【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题。 【解析】 2(an ? an? 2 ) ? 5an?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ? 因为数列为递增数列,且 a1 ? 0, 所以q ? 1,? q ? 2 16.【2102 高考北京文 10】 【答案】 a2 ? 1 , Sn ? 【 解 析 】

1 2

1 2 1 n ? n 4 4 1 ? a2 ? a1 ? d ? 1 , 2

S2 ? a3 , 所 以 a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ?

Sn ?

1 n(n ? 1) 。 4

【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算, 考查通项公式和前 n 项和公式的计算。 17.【2012 高考广东文 10】 【答案】

1 4

16

a2 a4 ?

1 1 1 2 2 4 ? a3 ? , a1a3 a5 ? a3 ? 2 2 4

三、解答题
18.【2012 高考浙江文 19】 【解析】

(1) 由 Sn= 2n2 ? n ,得
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1,n∈N﹡.

(2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡
所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 2 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2
2 n?1



2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )]
? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
19.【2012 高考江苏 20】 【答案】解:(1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2
2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2



?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? 。 an ?1 ? an ?
2 2 2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ?
2 ? ?? bn ? ? ? ∴数列 ?? ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 a ? ?? n ? ? ?

2



(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

17

∴ 1 < an?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 。(﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾。 q a1 a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn <1 ,与(﹡)矛盾。 q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q =1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。

又∵ bn?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】(1)根据题设 a n ?1 ?
2 2

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从 an ?1 an ? an ?

2

?b ? ?b ? 而证明 ? n ?1 ? ? ? n ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
(2)根据基本不等式得到 1 < an?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列 {an }

18

的公比 q =1 。 从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn?1 ? 2 ? 数列。最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 。 20.【2012 高考四川文 20】 [解析]取 n=1,得 ?a 1 ? 2s1 ? 2a1 , a1 (?a1 ? 2) ? 0 若 a1=0,则 s1=0, 当 n ? 2时,a n ? sn ? sn?1 ? 0, 所以a n ? 0 若 a1 ? 0,则 a1 ?

bn 2 2 的等比 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

2

?

,

2a n ? 当 n ? 2时,

2

?

? s n , 2a n ?1 ?

2

?

? s n ?1 ,

上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上,若 a1 = 0,

则a n ? 0
2n

若 a1 ? 0,则a n ?

?

…………………………………………7 分

(2)当 a1>0,且 ? ? 100 时,令bn ? lg

1 , 所以,bn ? 2 ? n lg 2 an

所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 6 64 2 100 100 ? lg1 ? 0 当 n≥7 时,bn≤b7= lg 7 ? lg 128 2
则 b1>b2>b3>…>b6= lg 故数列{lg

1 }的前 6 项的和最大. …………………………12 分 an

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数 列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第 三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 21.【2012 高考湖南文 20】(本小题满分 13 分) 【答案】 【解析】(Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

y

M

3 a1 ? d , 2 3 an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ? an ? d . 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? an ?1 ? d 2 3 3 ? ( ) 2 an ? 2 ? d ? d 2 2 a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?

A

O B

x

19

?

3 3 ( an ? 2 ? d ) ? d 2 2

?
3 ? 3 3 ? ( )n?1 a1 ? d ?1 ? ? ( )2 ? 2 ? 2 2
整理得

3 ? ? ( )n?2 ? . 2 ?

3 ? 3 ? an ? ( )n?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( )n?1 ? 1? 2 ? 2 ?

3 ? ( ) n ?1 (3000 ? 3d ) ? 2d . 2 3 n ?1 由题意, an ? 4000,? ( ) (3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000, 2

? 3 n ? ( ) ? 2? ?1000 ? 1000(3n ? 2n?1 ) 2 ? 解得 d ? ? . ? n n 3 n 3 ? 2 ( ) ?1 2
1000(3n ? 2n ?1 ) 故该企业每年上缴资金 d 的值为缴 时, 经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资金为 3n ? 2n
4000元. 【点评】 本题考查递推数列问题在实际问题中的应用, 考查运算能力和使用数列知识分析解 决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出 an ?1 与 an 的关系式 an ?1 ? 只要把第一问中的 an ?1 ?

3 an ? d ,第二问, 2

3 an ? d 迭代,即可以解决. 2

22.【2012 高考重庆文 16】 【解析】(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 所以 a2k ? a1Sk ?2

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
2

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,

从而 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3)

,即

k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去),因此 k ? 6 。 23.【2012 高考陕西文 16】 【答案】:(Ⅰ) an ? 2 n (Ⅱ) k ? 6 【解析】::(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2
20

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 所以 a2k ? a1Sk ?2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
,即

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,

从而 (2k )2 ? 2(k ? 2)(k ? 3)

k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去),因此 k ? 6 。

24.【2012 高考湖北文 20】 解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a ? 3d ? ?3, ?a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ?d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8.

所以由等差数列通项公式可得
an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 Sn . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时,
Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ? ? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ?
? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2

n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2

【解析】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以 及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式 an ? a1 ? ? n ?1? d 求解;有时需要 利用等差数列的定义:an ? an?1 ? c( c 为常数)或等比数列的定义:

an ? c '( c ' 为常数, an ?1

c ' ? 0 )来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等差数
列或等比数列, 但它含有无数项却是等差数列或等比数列, 这时求通项或求和都需要分段讨
21

论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 25.【2012 高考天津文科 18】 (本题满分 13 分) 【解析】(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ;

?a4 ? b4 ? 27 ? 2 ? 3d ? 2q3 ? 27 ?d ? 3 则 ? ?? ?? 3 ? S4 ? b4 ? 10 ?4a1 ? 6d ? 2q ? 10 ?q ? 2
得: an ? 3n ?1, bn ? 2n (Ⅱ) ak bk ? (3k ?1) ? 2k ? (3k ? 4) ? 2k ?1 ? (3k ? 7) ? 2k ? ck ?1 ? ck (k ? N * )

Tn ? ( c ? c ) 2 ? c 1 )? ( c 3 2?
当 n ? 2 时, Tn ? 8 ? an?1bn?1

? ( n ?c? 1

n

c ?)

?n

?1 c ?1 ? 1 c (? 3 n? 4n) ?2

8

26.【2012 高考山东文 20】 (本小题满分 12 分)
?5a ? 10d ? 105, 【答案】 (I)由已知得: ? 1 ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 , 即 bm ? 72m?1 . ∵
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , bk 7

∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, ∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

27.【2012 高考全国文 18】 解:(1)由 a1 ? 1 与 S n ?

n?2 an 可得 3


2?2 a2 ? a1 ? a2 ? a2 ? 3a1 ? 3 3 3? 2 2 S3 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ? a2 ? 4 ? a3 ? 6 3 3 S2 ?
故所求 a2 , a3 的值分别为 3, 6 。 (2)当 n ? 2 时, S n ?

n?2 an ① 3

Sn ?1 ?

n ?1 an ?1 ② 3

22

①-②可得 S n ? S n ?1 ?

n?2 n ?1 an ? an ?1 即 3 3

an ?

a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an?1 ? an ? an ?1 ? n ? 3 3 3 3 an?1 n ? 1

a a 故有 an ? n ? n?1 ? an?1 an?2

a n ?1 n ? 2 ? a1 ? ? ? a1 n ?1 n ? 2

3 n2 ? n ? ?1 ? 1 2

12 ? 1 n2 ? n ? 1 ? a1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 而 2 2
【点评】试题出题比较直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前 n 项和 的关系式变形就可以得到结论。 28.【2012 高考安徽文 21】(本小题满分 13 分) 【答案】

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 2 2 3 2? 2? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 3 2? 4? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2 k? ? (k ? Z ) , 3 3 2? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值, 得:当 x ? 2k? ? 3 2? 得: xn ? 2n? ? 。 3 2? (II)由(I)得: xn ? 2n? ? 。 3 2n? 2n? Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? n) ? ? n(n ? 1)? ? 。 3 3
【解析】(I) f ( x) ? 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0 ,
*

当 n ? 3k ?1(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

2? 3 , ? 3 2 4? 3 ?? , 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
* *

得: 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0 , 当 n ? 3k ?1(k ? N ) 时, sin Sn ?
*

3 , 2

23

当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin Sn ? ?

3 。 2

24

29.【2012 高考上海文 23】(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 [解](1)数列 {an } 为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3; 2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5. ……4 分

(2)因为 bk ? max{ a1, a2 , ?, ak } , bk ?1 ? max{ a1, a2 , ?, ak , ak ?1}, 所以 bk ?1 ? bk . 因为 ak ? bm? k ?1 ? C , ak ?1 ? bm? k ? C , 所以 ak ?1 ? ak ? bm? k ?1 ? bm? k ? 0 ,即 ak ?1 ? ak . 因此, bk ? ak . ( 3 ) 对 ……8 分 ……10 分 ……6 分

k ? 1, 2, ?, 25



a4k ?3 ? a(4k ? 3)2 ? (4k ? 3)



a4k ?2 ? a(4k ? 2)2 ? (4k ? 2) ;

a4k ?1 ? a(4k ? 1)2 ? (4k ? 1) ; a4k ? a(4k )2 ? (4k ) .
比较大小,可得 a4 k ? 2 ? a4 k ?3 . ……12 分

因为 1 ? a ? 1 ,所以 a4k ?1 ? a4k ?2 ? (a ? 1)(8k ? 3) ? 0 ,即 a4k ? 2 ? a4k ?1 ; 2

a4k ? a4k ? 2 ? 2(2a ? 1)(4k ? 1) ? 0 ,即 a4k ? a4k ? 2 .
又 a4 k ?1 ? a4k , 从而 b4k ?3 ? a4k ?3 , b4k ? 2 ? a4k ? 2 , b4k ?1 ? a4k ? 2 , b4 k ? a4 k . 因此 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) = (b3 ? a3 ) ? (b7 ? a7 ) ? (b10 ? a10 ) ? ? ? (b4k ?1 ? a4k ?1 ) ? ? ? (b99 ? a99 ) = (a2 ? a3 ) ? (a6 ? a7 ) ? (a9 ? a10 ) ? ? ? (a4k ? 2 ? a4k ?1 ) ? ? ? (a98 ? a99 ) = ……15 分

? (a4k ? 2 ? a4k ?1 ) = (1 ? a)? (8k ? 3) = 2525(1 ? a) .
k ?1 k ?1

25

25

……18 分

【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识,本题属于 信息给予题,通过定义“控制”数列,考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查数列的 基本运算,数列问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视.
25

30.【2012 高考广东文 19】(本小题满分 14 分) 【答案】 【解析】(1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1。 因为 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 1,求得 a1 ? 1 。 (2)当 n ? 2 时, Sn ? Tn ? Tn?1 ? 2Sn ? n2 ? [2Sn?1 ? (n ?1)2 ] ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 2n ? 1 , 所以 Sn ? 2Sn?1 ? 2n ?1 所以 Sn?1 ? 2Sn ? 2n ? 1 ① ②

② ? ①得 an?1 ? 2an ? 2 , 所以 an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) ,即

an?1 ? 2 ? 2 (n ? 2) , an ? 2 a2 ? 2 ? 2。 a1 ? 2

求得 a1 ? 2 ? 3 , a2 ? 2 ? 6 ,则

所以 ?an ? 2? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 an ? 2 ? 3 ? 2n?1 , 所以 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 , n ? N 。
*

31.【2102 高考福建文 17】(本小题满分 12 分) 解答: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q 则 S10 ? 10a1 ? 45d ? 55 ? d ? 1 ? an ? a1 ? (n ?1)d ? n

b4 ? b1q3 ? 8 ? q ? 2 ? bn ? b1 ? qn ? 2n?1
得: an ? n, bn ? 2n?1

(Ⅱ) a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 4 ,各随机抽取一项写出相应的基本事件有

93个 ( 1, 1 ) , ( 1, 2 ) ( 1, 4 ) ( 2 , 1 ) , ( 2 , 2 () 3,, (22),, 4 () 3共 ,, (4 ), 1 ) ,
符合题意有 (1,1), (2, 2) 共 2 个
26

这两项的值相等的概率为

2 9

32.【2012 高考江西文 17】(本小题满分 12 分) 已知数列|an|的前 n 项和 Sn ? kcn ? k (其中 c,k 为常数),且 a2=4,a6=8a3 (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn。 【答案】 【解析】(1)当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 ) 则 an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 )

a6 ? k (c6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c2 )
a6 c6 ? c5 ? 3 2 ? c3 ? 8 ,∴c=2.∵a2=4,即 k (c2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k=2,∴ an ? 2n (n)1) a3 c ? c
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 2 综上所述 an ? 2n (n ? N * ) (2) nan ? n2n ,则

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?

? n2 n (1) ? ( n ? 1)2 n ? n2 n ?1 (2)

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?

(1)-(2)得

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? Tn ? 2 ? (n ?1)2n?1

? 2n ? n2n?1

27


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