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函数零点的教案


课题:§3.1.1 方程的根与函数的零点
教学目标: 知识与技能 理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应

方程要的关系,掌握零点存在的判定条件. 过程与方法 零点存在性的判定. 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义

情感、态度、价值观 和价值.

教学重点: 零点的概念及存在性的判

定. 教学难点: 零点的确定. 教学程序与环节设计:

创设情境

结合二次函数引入课题.

组织探究

二次函数的零点及零点存在性的.

尝试练习

零点存在性为练习重点.

探索研究

进一步探索函数零点存在性的判定.

作业回馈

重点放在零点的存在性判断及零点的确定 上. 研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数 值符号,并尝试进行系统的总结.

课外活动

教具:多媒体教学

教学过程与操作设计:

环节

教学内容设置

师生双边互动

先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相 应的二次函数的图象: 1 方程 x ○ 2 方程 x ○ 3 方程 x ○
2

? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2x ? 1

2

师:引导学生解方
2

? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x ? 2x ? 3
2

程,画函数图象,分 析方程的根与图象 和 x 轴交点坐标的关

创 1 ○

系,引出零点的概 念. 生:独立思考完成解 答,观察、思考、总





结、概括得出结论, 并进行交流.

境 2 ○ 师:上述结论推广到 一般的一元二次方 程和二次函数又怎 样?

3 ○

函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成 立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点. 师:引导学生仔细体 会左边的这段文字, 感悟其中的思想方 函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数 组 根, 亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐 标. 即: 织 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的 图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 探 生:认真理解函数零 点的意义,并根据函 数零点的意义探索 其求法: 1 ○ 函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: 究 1 ○ 2 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; (几何法)对于不能用求根公式的方 2 ○ 代数法; 几何法. 法.

程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来, 并利用函数的性质找出零点. 二次函数的零点: 二次函数 师:引导学生运用函 数零点的意义探索

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
1)△>0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两不等

二次函数零点的情 况.

实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点, 生:根据函数零点的 二次函数有两个零点. 意义探索研究二次

2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有两相等 函数的零点情况,并 实根(二重根),二次函数的图象与 x 轴有 一个交点, 二次函数有一个二重零点或二阶 零点. 3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 无实根, 二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无 零点. 组 零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 的图 织 象: 1 ○ 探 在区间 [?2,1] 上有零点______; 生:分析函数,按提 示探索,完成解答, 并认真思考. 进行交流,总结概括 形成结论.

f (?2) ? _______, f (1) ? _______, f (?2) · f (1) _____0(<或>).

师:引导学生结合函 数图象,分析函数在



2 ○

在区间 [2,4] 上有零点______;

区间端点上的函数 值的符号情况,与函 数零点是否存在之 间的关系.

f (2) · f (4) ____0(<或>).

(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

1 ○

在区间 [a, b] 上______(有/无)零点;

f (a ) · f (b) _____0(<或>).

2 ○

在区间 [b, c] 上______(有/无)零点;

生:结合函数图象,

f (b) · f (c) _____0(<或>).

思考、讨论、总结归 纳得出函数零点存 在的条件,并进行交 流、评析.

3 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; ○
f (c) · f (d ) _____0(<或>).

由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数 在某给定区间上是否存在零点.

师:引导学生理解函 数零点存在定理,分 析其中各条件的作 用.

环节

教学内容设置

师生互动设计 师:引导学生探索判 断函数零点的方法, 指出可以借助计算

例.求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数. 问题: 例 题 研 究

机或计算器来画函 数的图象,结合图象

1)你可以想到什么方法来判断函数零点个 对函数有一个零点 数? 2)判断函数的单调性,由单调性你能得该 函数的单调性具有什么特性? 生:借助计算机或计 算器画出函数的图 象,结合图象确定零 点所在的区间,然后 利用函数单调性判 断零点的个数. 形成直观的认识.

课堂 收获

本节课我们学到了什么?

课后作业:课后练习题 1,2

教学反思


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