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高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)


均值不等式归纳总结 1. (1)若 a, b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab (2)若 a, b ? R ,则 ab ? a 时取“=”) 2. (1)若 a, b ? R * ,则 a ? b ?
2 ab
2

? b2 2

(当且仅当 a ? b

(2)若 a, b ? R *

,则 a ? b ? 2 ab

(当且仅当 a ? b

时取“=” )
a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

3.若 x ? 0 ,则 x ? ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” )

1 x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x

若 x ? 0 ,则 x ? 1
x

? 2即x ?

1 1 ? 2或x ? ? -2 x x

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

4.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2
b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” )
b a b a

若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2即 a ? b ? 2或 a ? b ? -2
b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

5.若 a, b ? R ,则 ( a ? b ) 2 ? a
2

2

? b2 2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

『ps.(1)当两个正数的积为定植时, 可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和 为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积 最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实 际问题方面有广泛的应用』

应用一:求最值
-1-

例 1:求下列函数的值域 (1)y=3x
2+

1

2x 2 1 ≥2 1 x

1 (2)y=x+

x

解:(1)y=3x 2+

2x 2

3x 2·

1 2x 2 1 x



6

∴值域为[

6 ,+∞)

(2)当 x>0 时,y=x+

≥2



=2; 1 x

1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)

1



=-2

解题技巧 技巧一:凑项 例 已知 x ? 5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ?
4
1 的最大值。 4x ? 5

解:因 4x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2)? 对 4x ? 2 要进行拆、凑项,

1 不是常数,所以 4x ? 5

5 1 1 ? ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1。 5 ? 4x

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例 1. 当 时,求 y ? x(8 ? 2x) 的最大值。
-2-

解析:由

知,

,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定

值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到 2x ? (8 ? 2x) ? 8 为定值, 故只需将 y ? x(8 ? 2x) 凑上一个系数即可。



,即 x=2 时取等号

当 x=2 时, y ? x(8 ? 2x) 的最大值为 8。

评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而 可利用均值不等式求最大值。 变式:设 0 ? x ? ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。
2x ? 3 ? 2x ? 解:∵ 0 ? x ? ∴ 3 ? 2x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? ? 2 ?

3 2

3 2

2

?

9 2

3 3? 当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ? ? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

技巧三: 分离
x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1

解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的 项,再将其分离。



,即

时, y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分 离求最值。
(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t y?

评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将 式子分开再利用不等式求最值。即化为 y ? mg ( x) ? 或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。
-3-

A ? B( A ? 0, B ? 0) ,g(x)恒正 g ( x)

技巧五: 在应用最值定理求最值时, 若遇等号取不到的情况, 结合函数 f ( x) ? x ? 的单调性。 例:求函数 y ?
x2 ? 5 x2 ? 4

a x

的值域。
x2 ? 5 x ?4
2

解:令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ?
1 t 1 t

? x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数,故
y? 5 。 2
5 ?2 ?

1 t

? 所以,所求函数的值域为 ? ? , ?? ? 。

练习.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.
1 x 2 ? 3x ? 1 ,x ?3 , ( x ? 0) (2) y ? 2 x ? (1) y ? x x ?3

(3) y ? 2sin x ?
3

1 , x ? (0, ? ) sin x

2 2.已知 0 ? x ? 1,求函数 y ? x(1 ? x) 的最大值.;3.0 ? x ? ,求函数 y ? x(2 ? 3x)

的最大值. 条件求最值 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是 .

分析: “和”到“积”是一个缩小的过程,而且 3a ? 3b 定值,因此考虑利用均 值定理求最小值, 解: 3a 和3b 都是正数, 3a ? 3b ≥ 2 3 a ? 3b ? 2 3 a ?b ? 6 当 3 a ? 3b 时等号成立,由 a ? b ? 2 及 3 a ? 3b 得 a ? b ? 1 即当 a ? b ? 1 时, 3a ? 3b 的 最小值是 6. 变式:若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ,求 ? 的最小值.并求 x,y 的值
1 x 1 y

-4-

技巧六:整体代换

多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。
1 9 错 .解 . : ? x ? 0, y ? 0 , 且 x ? y ? 1 , ?
?1 9? 9 x ? y ? ? ? ?? x ? y? ? 2 2 xy ? 12 xy ?x y?

1 x

9 y



? x ? y ?min ? 12 。
错因:解法中两次连用均值不等式,在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ,在
1 9 9 等号成立条件是 1 ? ?2 x x y xy

?

9 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致,产生错误。因 y

此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而 且是检验转换是否有误的一种方法。
1 9? 正解:? x ? 0, y ? 0, 1 ? 9 ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ??
x y

?x

y?

y 9x ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y

当且仅当 ?

y x

1 9 9x 时, 上式等号成立, 又 ? ? 1, 可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y y
?

变式: (1)若 x, y ? R 且 2 x ? y ? 1 ,求 1 ? 1 的最小值
x y

(2)已知 a, b, x, y ? R ? 且 a ? b ? 1 ,求 x ? y 的最小值
x y

技巧七 已知 x,y 为正实数,且 x
2+

y2
2

=1,求 x

1+y 2 的最大值.

-5-

分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式 ab≤ 1 2

a 2+b 2
2



同时还应化简 1+y 2 2· 2 下面将 x,

1+y

2

中 y 前面的系数为
2



x

1+y 2 = x

= 1 2

2 x·

1 2



y2
2



y2
2

分别看成两个因式: 1 2 1 2 + y2 + 2 2 y2 2 1 + 2 2

x ·

1 2
2



y2
2

x 2+( ≤

)2 =

x 2+



3 4



x 1+y



2 ·x

y2
2



3 4

2

技巧八: 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 1 的最小值.

ab

分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化 为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可 行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又 有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不 等式的途径进行。

-6-

30-2b 法一:a= , b +1 由 a>0 得,0<b<15

30-2b -2 b 2+30b ab= · b= b+1 b+1

-2t 2+34t-31 16 16 令 t=b+1,1<t<16,ab= =-2(t+ )+34∵t+

t

t

t

≥2



16

t

=8 1 18

∴ ab≤18

∴ y≥

当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 2 ab 2 ∴ 30 - ab ≥

法二:由已知得: 30 - ab = a + 2b ∵ a + 2b ≥ 2 2 2 ab 令 u= ab ∴

则 u2+2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 1 18

ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥

点评: ①本题考查不等式

a?b (a, b ? R ?) 的应用、 不等式的解法及运算能力; ? ab 2

(a, b ? R ?) ②如何由已知不等式 ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围,关键是寻找到

a ? b与ab 之间的关系,由此想到不等式

a?b (a, b ? R ?) ,这样将已知条件转 ? ab 2

换为含 ab 的不等式,进而解得 ab 的范围. 变式:1.已知 a>0,b>0,ab-(a+b)=1,求 a+b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 解法一:若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,
-7-

3x +

2y 的最值.

a+b
2



a 2+b 2
2

,本题

很简单 3x + 2 5 2y ≤ 2 ( 3x )2+( 2y )2 = 2 3x+2y =

解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函 数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢。 W > 0 , W2 = 3x + 2y + 2 ( 3x )2·( 3x · 2y = 10 + 2 3x · 2y ≤ 10 +

2y )2 =10+(3x+2y)=20

∴ W≤ 20 =2 5 变式: 求函数 y ?
1 5 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( ? x ? ) 的最大值。 2 2

解析:注意到 2 x ? 1与 5 ? 2 x 的和为定值。
y 2 ? ( 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ) 2 ? 4 ? 2 (2 x ? 1)(5 ? 2 x) ? 4 ? (2 x ? 1) ? (5 ? 2 x) ? 8

又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1= 5 ? 2 x ,即 x ? 时取等号。
3 2

故 ymax ? 2 2 。

评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了 条件。 总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时 还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。 应用二:利用均值不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
?? ?? ? 例 6:已知 a、b、c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1。求证: ? ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ? 1 1 1

分析: 不等式右边数字 8, 使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个 “2”连乘,又 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c ? 2
a a a bc a

,可由此变形入手。
bc a

解: ? a 、 b 、 c ? R ? , a ? b ? c ? 1 。 ? 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c ? 2
a a a
-8-

。同理 1 ? 1 ? 2 ac ,
b b

1 2 ab ?1 ? c c

。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得

1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? ? ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1? ? ? 1? ? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?

应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 解:令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,?
?1 ? 10 3 。? k ? 16 , m ? ? ??,16? ? 2? k k
1 x 9 y x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1. ? ? ? ?1 kx ky k kx ky 1 x 9 y

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例 : 若 a ? b ? 1, P ? lg a ? lg b , Q ? (lg a ? lg b), R ? lg( 是 . 分析:∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0
Q? 1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2 1 2 a?b ) , 则 P, Q, R 的 大 小 关 系 2

∴R>Q>P。

-9-


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