三角函数图像及其变换
1
辅 导 讲 义
教师 学生 康在顺 肖荷涵 类别 科目 年级 基础 数学 高一 # 上课日期 上课时间 提高 2014.07.20 8:00-10:00 # 总共学时 第几学时 培优
第三讲：三角函数的图象与性质
第一课时： 三角函数的图象与性质 一、知识讲解 1. 函数的周期性：对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一值
时，都有 f（x+T）=f（x） ，那么函数 f（x）就叫做周期函数.非零常数 T 叫做这个函数 的周期（详见课本周期定义）.正弦函数、余弦函数都是周期函数， 2k
? （k ? z 且
k ? 0） 都是它们的周期， 正切函数、 余切函数也是周期函数， k?（ k ? z 且 k ? 0 ）
都是它们的周期。 一般地，y=Asin(? x+? )(A ? 0,? >0) 及函数 y=A cos(? x+? )(A ? 0,? >0) 的最 小正周期 T=
2? ? , y=A tan(? x+? )(A ? 0,? >0) 的最小正周期 T= 。 |? | |? |
注意：若 T 是函数 f (x)的最小正周期，则 kT (k
? 0,k ? Z) 也是 f（x）的周期。
2. 基本三角函数的图象和性质：
(1)正弦函数、余弦函数、正切函数的图像:
y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -
y
? 2
y=cosx
o?
2 3? 2 ? 2? 5? 3? 2 7? 2 4?
y
? -? - 2 -2? -3? 2
1 -1
x
-4? -7? 2
-5? -3? 2
1 -1 o?
2
3? ? 2 2? 5? 2
7? 3? 2
4?
x
2
y
y
y=tanx
y=cotx
-
3? 2
-?
-
? 2
o
? 2
?
3? 2
x
-?
-
? 2
o
? 2
?
3? 2
2?
x
(2) 常见三角函数的单调区间：
? ?? ? y ? sin x 的递增区间是 ?2k? ? ， 2k? ? ? (k ? Z ) ， 2 2? ?
递减区间是 ?2k? ?
? ?
?
2
， 2k? ?
3? ? (k ? Z ) ； 2? ?
y ? cos x 的递增区间是 ?2k? ? ?， 2k? ? (k ? Z ) ，
递减区间是 ?2k?， 2k? ? ? ? (k ? Z ) ，
? ?? ? y ? tan x 的递增区间是 ? k? ? ，k? ? ? (k ? Z ) ， 2 2? ?
（其中A ? 0，? ? 0） （3）函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B
最大值是 A ? B ， 最小值是 B ? A ， 周期是 T ? 初相是 ? ；其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ? 交点都是该图象的对称中心。 【解题方法】 【函数的周期性】 1-1、求函数的周期，若题目出现三角函数的形式，则有 y=Asin(? x+? )(A ? 0,? >0) 的周期
2?
?
2
?
， 频率是 f ?
? ， 相位是 ?x ? ? ， 2?
(k ? Z ) ，凡是该图象与直线 y ? B 的
T=
2?
?
，
y=A tan(? x+?)(A ? 0,? >0) 的周期 T =
? 。 （若题目没有直接给出 ?
y=Asin(? x+?)(A ? 0,? >0) 的形式，需要利用三角函数诱导公式化简）
1-2 、若题目出现的是抽象函数即 f （ kx+b ）的关系表达式形式，则用替代消元法，设
1 b x= x0 - 将 f（kx+b）化成 f (x0 ) ，找出 f（x+T）=f（x）的关系，求解周期 T。 k k
3
二、知识应用【考察一般形式的三角函数的周期性】
例 1、函数 y =2cos (
?
2
x?
?
3
) 的最小正周期周期是
（ C
）
A、?
B、 4?
C、 4
D、 2?
点拨：依题意由 1-1 可知，出现 y=A cos(? x+? )(A ? 0,? >0) 的形式，故是三角函数， 所以 T=
2? 2? = =4 |? | | ? | 2
例 2、若存在常数
p >0 ，使得函数 f (x) 满足 f (
（ B ）
p p x)=f ( x ? 1) (x ? R) ，则 2 2
f (x) 的一个正周期为
p A、 2
B、1
C、
p
D、2
点拨： 依题意由 1-2 可知， 出现 （ f kx+b） 形式， 令 x=
2 2 p p x0 + 代入 f( x)=f( x-1) p p 2 2
得：
f (x0 +1)=f (x0 ), ? f (x) 的周期 T=1
例 3、函数 y =|2sin(
?
3
-2x)| 的周期是
（
）
A、 ?
B、 2?
C、 6?
D、
? 2
例 4、函数 y =2sin (kx-
?
6
) 的周期为 T， T ? (1,3) ，则正整数 k=
例 5、函数 y =
sin x+cos x 的最小正周期为 cos x
【解题方法】 【三角函数的单调性，定义域、值域】 2-1、 已知常见三角函数的单调区间 （详见知识点 2） ， 若出现 y=Asin(? x+? )(A ? 0) ，
4
只需令 t =? x +? ，则变化求 y =Asint 的增减区间。 2-2、已知三角函数中 y=sin x,y=cos x,x ? R ； y = tan x,x ? k? +
? ,y=cot x,x ? k? 2
若三角函数为分母，则要求分母不为 0，若为被开方数，则要求三角函数值 ? 0 。 2-3、已知 y1 =sin x,y2 =cos x,x ? R,
则y1、y2 ?[-1,1]
y3 = tan x,x ? (k? - ,k? + ),k ? z,则y3 ? (-?,+?) 2 2 y4 =cotx,x ? (k? ,k? +? ),k ? z,则y4 ? (-?,+?)
【知识应用】 【考察三角函数的单调性，定义域、值域】 例 1、函数 y =
?
?
1 ? sin (2x- ) 的单调递减区间 3 3
（ C
）
A、 [
5? 11? , ] 12 12
B、 [2k? +
5? 11? ,2k? + ],k ? z 12 12
C、 [k? +
5? 11? ,k? + ],k ? z 12 12
D、 [k? -
11? 5? ,k? ],k ? z 12 12
点拨：依题意由 2-1 可知， t=2x-
?
? 3? ?[2k? + ,2k? + ],k ? z 3 2 2
3? 2
，k?z
即： 2k? +
?
2
? 2x-
?
3
? 2k? +
解得： k? +
5? 11? ? x ? k? + ,k ? z 12 12 1 ? cos(2x- ) 的单调递增区间 3 3
（ ）
例 2、函数 y =
A、 [k? -
? ?
? x ? k? + ],k ? z 3 6
?
B、 [k? +
?
6
? x ? k? + ? x ? k? +
2? ],k ? z 3 2? ],k ? z 3
C、 [k? -
? x ? k? + ],k ? z 6 3
2sin x-1 的定义域为
?
D、 [k? +
?
3
例 3、函数 y =
（
D
）
5
A、 [
? 5?
6 6 ,
] ,2k? + ],k ? Z 6 2
B、 [
? ?
, ] 6 2
C、 [2k? +
?
?
D、 [2k? +
?
6
,2k? +
5? ],k ? Z 6
点拨：依题意由 2-2 可知， 2sin x -1?
0, 即 sinx ?
1 ，再由正弦函数图象可知， 2
2k? +
?
6
? x ? 2k? +
2 cos x
5? 6
，k ?z
例 4、函数 y =
的定义域为
（ B、 (2k? ? D、 (2k? ?
）
A、 (2k? ? ? ,2k? ? ? ), k ? z C、 (2k? ,2k? ? ? ), k ? z
?
?
,2k? ) ? (2k? ,2k? ? ), k ? z 2 2
?
,2k? ? ), k ? z 2 2
（ A ）
?
例 5、对于函数
f (x)=
sin x+1 (0<x<? ) ，下列说法正确的是 sin x
A、有最小值无最大值 C、有最大值且有最小值 点拨：依题意由 2-3 可知，
B、有最大值无最小值 D、既无最大值也无最小值
f (x)=
sin x+1 1 =1+ ,x ? (0,? ), ?sinx ? (0,1] sin x sin x
?当sinx=1,f (x)min =2,当sin x ? 0,f (x)max ? +?
例 6、定义运算 a*b = ? 值域为 （ A、 [-1,
?a,a ? b ，例如1*2=1,3*2=2 ，则函数 f (x)=sinx*cosx 的 b , a > b ?
） B、 [0,
2 ] 2
2 ] 2 2 2 , ] 2 2
C、 [-1,1]
D、 [-
例 7、若函数 y1 =a-b cos x 的最大值为
3 1 ，最小值为 - ， 2 2
6
求函数 y2 =-4a sin bx+1的值域。
例 8、已知函数 （1） （2） （3） （4）
f (x)=log 1 |sinx|+1
2
求其定义域和值域； 判断其奇偶性； 判断周期性，若是周期函数，求出最小正周期； 写出单调区间.
第二课时：三角函数模型的图象与性质及其应用
一、知识讲解
1、 对于一般地，三角函数 y =Asin (?x+? ) 五点法作图: 根据三角函数的图像在一个周期内的最高点、最低点与 x 轴的三个交点来作图，即先确 定五个点来作这个函数的图象，其一般步骤是： （1） 令 ? x+? 分别等于 0,
?
2
,? ,
3? ,2? ，求出对应的 x 的值和 y 值，即求出对 2
应的五点； （2） 在 坐 标系 中 描述 出 这五个 关 键点 ， 用平 滑 的曲线 依 次顺 序 连结 ， 得函数
y=Asin (?x+? ) 在一个周期内的函数图象；
（3） 将所得的图象向两个方向扩展，得 y =Asin (?x+? ) 在 R 上的图象。 例如，正弦函数 y =sin x 的五点作图法如下：
x y=sinx
0 0
? 2
1
?
0
3? 2
-1
2?
0
7
2、
y=Asin (?x+? ) 图象变换法作图：
三角函数的图象变换包括两种：平移和伸缩变换，由
y=sin x 的图象变换得到
y=Asin (?x+? ) 要经过：
（1） 相位变换： y =sin x 的图象是向左（ ? >0 ）平移或者向右（ ? <0 ）平移
|? | 个单位得到 y=sin (x+? ) ；
（2） 周期变换：将得到
y=sin (x+? ) 的图象的横坐标伸长（ 0<? <1）或者
1
缩短 （ ? >1 ） 到原来的 （3）
?
倍 （纵坐标不变） ， 得到 y=sin(?x+? ) 的图象；
振幅变换：y=sin(?x+? ) 图象的纵坐标伸长 （ A>1 ） 或者缩短 （ 0<A<1 ） 到原来的 A 倍（横坐标不变） ，得到 y =Asin (?x+? ) 的图象。
3、函数 y =Asin (?x+? ) 在实际物理中的意义： 形如 y =Asin (?x+? ) 的函数，在物理、工程等学科的研究中有着广泛的应用， 其 中 的 参 数
A、?、?
具 有 实 际 意 义 ， 在 物 理 学 上 ， 当 函 数
y=A s i ? n (? x +
T= 2?
) ? ( A? > 0 ,? 表示一个振动量时，则 >0),x (0,A + 叫做振幅， )
1 叫做频率， ? x+? 叫做相位， ? 叫做初相。 T
?
叫做周期，
f=
4、函数
y=Asin (?x+? ) 的单调性、对称性：
函数 y =Asin (?x+? ) （ A>0,? >0 ） 的单调区间的确定， 基本思想是把 ? x+?
8
看成一个整体 t=? x+? ： 的 单 调 递 增 区 间 是 [2k? - ,2k? + ],k ? ? y=A s i n t 2 2
因为
?
?
，所以，
y=Asin (?x+? ) 的单调递增区间是： 2k? 同理
?
? t=?x+? ? 2k? + ,k ? z 2 2
?
? 3? y=Asin t 的单调递减区间是 [2k? + ,2k? + ],k ? z ，所以， 2 2
y=Asin (?x+? ) 的单调递减区间是： 2k? +
同理：因为
? 3? ? t=?x+? ? 2k? + ,k ? z 2 2
y=sin x 的 对 称 轴 为 x 0 =k? + k , ? z， 所 以 y=Asin t 2
?
为
? ? x 0 =k? + ,k ? z ，即： ? x+? =k? + ,k ? z ；然后,求出相应的 x 的范围即可. 2 2
【解题方法】 【五点作图法画出三角函数图象】 1-1、
? 3? y=Asin (? x+? )，我们先令 t =? x+? 分别等于 0, ,? , ,2? ， 2 2 然后解出对应的 x ，最后用列表表示，并画出函数图象。
一般对于 x
-
? ?
0 0
-
? ? + ? 2?
? 2
A
-
? ? + ? ?
-
? 3? + ? 2?
3? 2
-A
-
? 2? + ? ?
2?
0
? x+?
y
?
0
二、知识应用
1、考查五点作图法及其图像变换 例 1、已知函数 y=2sin ( 2 x ?
?
3 ),
(1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明 y=2sin (2 x ? ) 的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到.
3
?
9
2、求解三角函数解析式 一般对于 y =Asin (?x+? ) 的求解，要确定 A 、?、? ；其中 A 表示振幅，表示图象在 y 轴摆动的幅度；周期 T=
1 2? = ， ? 表示相位，任意取图象某一点代入到 f |?|
y=Asin (?x+? ) ，求出 ? ，并根据图象下一点增减趋势取舍 ? 。
例 2、如图为 y=Asin( ? x+ ? )的图象的一段，求其解析式. 点拨：依题意 由 2-1 可知， A=
3，
T 5? ? 2? = - ? T =? , =? ? ? =2 2 6 3 ?
将点 M (
?
,0) 代入 y= 3 sin (2x +? ) ， 2* +? =k? 3 3 2? 3
，当 x>
?
， ? =k? -
2? ,k ? z 3
当 k=0 时， ? = -
? 时，y>0,成立。 3
当 k=1 时， ? =
?
3
，当 x>
? 时，y<0,不成立（舍） 3
? y = 3sin x(2x-
2? ) 3
? ,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式为 2
例 3、函数 y=Asin( ? x+ ? )( ? ＞0,| ? |＜ ( )
? ?
8 4
A. y=-4sin ( x ? ) C. y=4sin ( x ? )
8 4
B. y=-4sin ( x ? )
8 4
?
?
?
?
D. y=4sin ( x ? )
8 4
?
?
10
练习 已知函数 y =Asin (?x+? )
+m (A>0) 的最大值是 4，最小值是 0，最小正周期是 +m (A>0) 的解析式。
? ， 2
直线 x =
?
3
是函数的一条对称轴，求 y =Asin (?x+? )
3、图像变换的考查 例题 4、 （1）为了得到 y ? sin( 2 x ?
?
3
) 的图象，只需将 y ? sin 2 x 的图象（
）
? 个单位 3 ? D．向右平移 个单位 6 ? 4? （2）设 ? >0,函数 y=sin( ? x+ )的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则 ? 的最 3 3
A．向左平移 B．向右平移 小值是（ （A） ） (B)
? 个单位 3 ? C．向左平移 个单位 6
2 3
4 3
(C)
3 2
(D)3
（3）将函数 y ? sin 4 x 的图像向左平移 于（ A、 ? ）
? 个单位，得到 y ? sin(4 x ? ? ) 的图像，则 ? 等 12
D、
? 12
B、 ?
?
3
C、
? 3
? 12
一、选择题 π 1．函数 f(x)＝tan(x＋ )的单调递增区间为( 4 π π A．(kπ－ ，kπ＋ )，k∈Z 2 2 )
11
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z 3π π C．(kπ－ ，kπ＋ )，k∈Z 4 4 π 3π D．(kπ－ ，kπ＋ )，k∈Z 4 4 2．函数 y＝xsin x 的部分图象是(
)
3．在(0,2π)内使 sin x>|cos x|的 x 的取值范围是( ) π 3π π π 5π 3π ? ? ? ? A．? B．? ?4 ， 4 ? ?4，2?∪? 4 ， 2 ? π π? 5π 7π? C．? D．? ?4，2? ?4，4? 4．下列是函数 f(x)＝|sin x|的单调递增区间的是( ) π π π 3π ? ? A．? B．? ?－4，4? ? 4， 4 ? 3π? 3π ? C．? D．? ?π， 2 ? ? 2 ，2π? π 5π ≤x≤ ?的图象与直线 y＝2 围成一个封闭的平面图形，那么此 5．已知函数 y＝2sin x? 2? ?2 封闭图形的面积是( ) A．4 B．8 C．4π D．2π 二、填空题 6．函数 f(x)＝sin(x＋φ) (0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，则 φ 的值是________． π 2π? 7．函数 y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈? ?3， 3 ?的值域为________． 8．求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x2的定义域． 9．函数 f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线 y＝k 有且仅有两个不同的交点，求 k 的取值范围．
x π? x 1．要得到 y＝sin? ) ?2＋3?的图象，只要将函数 y＝sin 2的图象( π π A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 3 3 2π 2π C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 3 3 π π ? 2．把函数 y＝sin? ?2x－4?的图象向右平移8个单位，所得图象对应的函数是(
)
12
A．非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．奇函数 D．偶函数 π 3．已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|< )的部分图象如图所示，则( ) 2 π π A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ 6 6 π π C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 6 6 π? π π 4．函数 f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝ 所得线段长为 ，则 f? ?4?的值 4 4 是( ) π A．0 B．1 C．－1 D． 4 π? 5．要得到 y＝cos? ) ?2x－4?的图象，只要将 y＝sin 2x 的图象( π π A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 8 8 π π C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 4 4 π 7π 6．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)在同一周期内，当 x＝ 时，y 最大＝2，当 x＝ 时，y 最小＝ 12 12 －2，那么函数的解析式为________________． π ? 7．已知曲线 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为? ?8， 2?，此点到相邻 3 π π π，0?，若 φ∈?－ ， ?． 最低点间的曲线与 x 轴交于点? ?8 ? ? 2 2? (1)试求这条曲线的函数表达式； (2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
3π ? 8．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M? ? 4 ，0? π? 对称，且在区间? ?0，2?上是单调函数，求 φ 和 ω 的值．
