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2010理科数学(全国卷1)


2010 年高考大纲卷全国Ⅰ理科数学试题及答案 (必修+选修 II)
第I卷 参考公式: 如果事件 A、 B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A、 B 相互独立,那么

S ? 4? R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A B) ? P( A) P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

V ?

3 ? R3 4

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k n ?k P (k ? 0,1, 2,…n) n (k ) ? Cn p (1 ? p)

其中 R 表示球的半径

一、选择题 (1)复数 (A) i

3 ? 2i ? 2 ? 3i
(B) ?i (C)12-13 i (D) 12+13 i

(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

1? k2 A. k

1? k2 B. k

C.

k 1? k
2

D. -

k 1? k2

? y ? 1, ? (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

(4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 = 5, a7 a8a9 =10,则 (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

a4a5a6 =

(5) (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式 中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

1

(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程 中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种

(7)正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为

A

2 3

B

3 3

C

2 3
? 1 2

D

6 3

(8)设 a= log3 2,b=In2,c= 5 A a<b<c Bb<c<a

,则 C c<a<b
2

D c<b<a
0

(9)已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 p 在 C 上,∠ F 1 p F2 = 60 ,则 P
2

到 x 轴的距离为 (A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

(10)已知函数 f ( x) ?| lg x | ,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??)

(11)已知圆 O 的半径为 1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的 最小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的 最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

2

第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效) (13)不等式 2x2 ? 1 ? x ? 1 的解集是 (14)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? .

3 ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4

. .

(15)直线 y ? 1 与曲线 y ? x2 ? x ? a 有四个 交点,则 a 的取值范围是

(16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D ,

uu r uur a ? b ? a cot A ? b cot B 且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ............

B 及其对边 a 已知 VABC 的内角 A ,

b ,

满足 a ? b ? a cot A ? b cot B , 求内角 C .

(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... . 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3. 各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被 录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

3

(19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, SD ? 底面 ABCD, AB//DC, AD ? DC, AB=AD=1, DC=SD=2, E 为棱 SB 上的一点, 平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

(20)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x 2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

(21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点, 点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA FB ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

(22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 , bn ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围

4

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案 一、选择题 1. A 7. D (1)复数 2. B 8. C 3. B 9. B 4. A 10. C 5. C 11. D 6. A 12. B

3 ? 2i ? 2 ? 3i

(A)i (B) ?i (C)12-13 i (D) 12+13 i 1.A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析 1】

3 ? 2i (3 ? 2i)(2 ? 3i) 6 ? 9i ? 4i ? 6 ? ? ?i. 2 ? 3i (2 ? 3i)(2 ? 3i) 13 3 ? 2i ?3i 2 ? 2i ? ?i 2 ? 3i 2 ? 3i

【解析 2】

(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 C. k

k 1? k
2

D. -

k 1? k2

2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突 出了弦切互化这一转化思想的应用.
2 2 2 【解析 1】 sin 80 ? 1 ? cos 80 ? 1 ? cos ( ?80 ) ? 1 ? k ,

所以 tan100? ? ? tan 80 ? ?

sin 80 1? k 2 ?? . cos80 k

【解析 2】 cos(?80?) ? k ? cos(80?) ? k ,
0 0 sin1000 sin ?180 ? 80 ? sin 80o 1? k 2 tan100? ? ? ? ? con100o con ?1800 ? 800 ? ?con80o ?k

? y ? 1, ? (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0, ?
则 z ? x ? 2 y 的最大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、 识图能力及计算能力. 【解析 1】画出可行域(如右图) ,由图可知,当直线 l 经 过 点 A(1,-1) 时 , z 最 大 , 且 最 大 值 为
5

y

y?x

x? y ?0

A

l0 : x ? 2 y ? 0
L0

1
2
A

O
?2

x

x? y?2? 0

zmax ? 1 ? 2 ? (?1) ? 3 .
z ? x ? 2y ? y ? 【解析 2】 1 1 x? z, 画图知过点 ?1, ?1? 是最大, zMax ? 1 ? 2 ? ?1? ? 3 2 2

(4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则 (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

a4a5a6 =

4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等 知识,着重考查了转化与化归的数学思想.
3 3 【解析 1】 由等比数列的性质知 a1a2a3 ? (a1a3 ) a2 ? a2 ? 5, a7 a8a9 ? (a7 a9 ) a8 ? a8 ? 10,
1

3 所以 a2 a8 ? 50 3 ,所以 a4 a5a6 ? (a4 a6 ) a5 ? a5 ? ( a2a8 )3 ? (506 )3 ? 5 2

1

(5) (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

3 【解析 2】 a1a2 a3 =5 ? a2 ? 5;
3 6 3 3 3 a7 a8a9 =10 ? a8 ? 10, ? a5 ? a2 a8 ? 50 ? a4a5a6 ? a5 ?5 2,

5.C【解析】 2 (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 ? ?1 ? 6 x 2 ? 12 x ? 8 x 2 ? ?1 ? 5 x 3 ? 10 x 3 ? 10 x ? 5 x 3 ? x 3 ?

? ?

1

3

?? ??

1

2

4

5

? ?

x 的系数是 -10+12=2
(6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程 中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 6.A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
1 2 【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C3 C4 种不同的 2 1 选法;(2)A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C3 C4 种不同的选法.所以不同的选法共有 1 2 2 1 C3 C4 + C3 C4 ? 18 ? 12 ? 30 种.

【解析 2】 C7 ? C3 ? C4 ? 30
3 3 3

(7)正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,B B1 与平面 AC D1 所成角的余弦值为
6

A

2 3

B

3 3

C

2 3

D

6 3

7.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的 求法,利用等体积转化求出 D 到平面 AC D1 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想 的具体体现. A1 D A O C B D1 B1 C1

【解析 1】 因为 BB1//DD1,所以 B B1 与平面 AC D1 所成角和 DD1 与平面 AC D1 所 成 角 相 等 , 设 DO ⊥ 平 面 AC D1 , 由 等 体 积 法 得

VD? ACD1 ? VD1 ? ACD ,


1 1 S?ACD1 ? DO ? S ?ACD ? DD1 .设 DD1=a, 3 3
1 1 1 1 3 3 2 AC AD1 sin 60 ? ? ( 2a)2 ? ? a , S ?ACD ? AD CD ? a 2 . 2 2 2 2 2 2

则 S?ACD1 ? 所以 DO ?

S ?ACD DD1 a3 3 ? ? a ,记 DD1 与平面 AC D1 所成角为 ? , 2 S ?ACD1 3 3a

则 sin ? ?

6 DO 3 ,所以 cos ? ? . ? 3 DD1 3

【解析 2】 设上下底面的中心分别为 O 1 , O ; O 1O 与平面 AC D1 所成角就是 B B1 与平面 AC D1 所成角, cos ?O1OD1 ?

O1O OD1

? 1/

3 6 ? 3 2

(8)设 a= log3 2,b=In2,c= 5

?

1 2

,则

A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a 8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数 大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= log3 2=
1 2

1 1 , b=In2= ,而 log2 3 ? log2 e ? 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5

?

=

1 ,而 5 ? 2 ? log2 4 ? log2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b. 5

7

【 解 析

2 】 a= log3 2=

1 1 ,b=ln2= , 1 ? log2 e ? log2 3 ? 2 log 2 3 log 2 e



1 ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 1 ; c= 5 2 ? ? ? ,∴c<a<b 2 log 2 3 log 2 e 5 4 2

2 2 (9)已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 p 在 C 上,∠ F 1 p F2 = 60 ,则 P
0

到 x 轴的距离为 (A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

9.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数 学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】不妨设点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得

| PF1 |? e[ x0 ? (?
由余弦定理得 cos∠ F 1 P F2 =

a2 a2 )] ? a ? ex0 ? 1 ? 2 x0 , | PF2 |? e[ x0 ? )] ? ex0 ? a ? 2 x0 ? 1 . c c

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 |2 (1 ? 2 x0 )2 ? ( 2 x0 ? 1)2 ? (2 2) 2 0 ,即 cos 60 ? , 2 | PF1 || PF2 | 2(1 ? 2 x0 )( 2 x0 ? 1)

解得 x0 ?
2

5 3 6 2 2 ,所以 y0 ? x0 ? 1 ? ,故 P 到 x 轴的距离为 | y0 |? 2 2 2

【解析 2】由焦点三角形面积公式得:

S?F1PF2 ? b2 cot

?
2

? 12 cot

600 1 1 6 ? 3 ? 2c h ? 2 2 h ? h ? 2 2 2 2

(10)已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??)

10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在 做本小题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+2b ? a ? A,这也是命题者的用苦良心之处. 【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去),或 b ? 又 0<a<b,所以 0<a<1<b,令 f (a ) ? a ? 为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+

2 ? 2 2 ,从而错选 a

1 2 ,所以 a+2b= a ? a a

2 ,由“对勾”函数的性质知函数 f ( a ) 在 a ?(0,1)上 a

2 =3,即 a+2b 的取值范围是(3,+∞). 1
8

?0 ? a ? 1 ?0 ? x ? 1 ? ? 【解析 2】 由 0<a<b,且 f(a)=f(b)得: , 利用线性规划得: , 求 z ?x ?y 2 ?1 ? b ?1 ? y ? ab ? 1 ? xy ? 1 ? ?
的取值范围问题, z ? x ? 2 y ? y ? ? z 最小为 3,∴(C) (3, ??) (11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的 最小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

1 1 1 1 x ? z , y ? ? y? ? ? 2 ? ?1 ? 过点 ?1,1? 时 2 2 x x

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求 法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】如图所示:设 | OP |? x , ?APB ? 2? ,

1 2 cos 2? ? 1 ? 22 sin ? ? 1 ? 2 , , sin ? ? , x2 ?1 , x t 2 2 2 2 2 则 PA ? PB ? x ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? 2 ) ? x ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 3 x x
则 | PA |?| PB |? 当且仅当 x ?
2

A

O

P

,故 PA ? PB 的最小值为 2 2 ? 3 ,故 2 时,取“=” B

选 D. 【解析 2】

?? ? 法一: 设 ?APB ? ? ,0 ? ? ? ? , PA ? PB ? ? PA?? PB ? cos ? ? ?1/ tan ? cos ? 2? ?
? ?? ?? ? 1 ? sin 2 ??1 ? 2sin 2 ? ? 2 ?? 2? 2 ? ?1 ? 2sin 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? sin 2 sin 2 2 2
cos 2

2

?

法二:换元: x ? sin

2

?
2
2

, 0 ? x ? 1, PA ? PB ?
2

?1 ? x ??1 ? 2 x ? ? 2 x ? 1 ? 3 ? 2
x x

2 ?3

或建系:园的方程为 x ? y ? 1,设 A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ), P( x0 ,0) ,
2 PA ? PB ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? ? x1 ? x0 , ? y1 ? ? x12 ? 2x1x0 ? x0 ? y12

AO ? PA ? ? x1, y1 ? ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? 0 ? x12 ? x1x0 ? y12 ? 0 ? x1x0 ? 1
2 2 2 PA ? PB ? x12 ? 2 x1 x0 ? x0 ? y12 ? x12 ? 2 ? x0 ? ?1 ? x12 ? ? 2 x12 ? x0 ?3? 2 2 ?3

9

(12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体 积的最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过 球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力. 【解析 1】过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P,设点 P 到 CD 的距离为 h ,则有

1 1 2 V四面体ABCD ? ? 2 ? ? 2 ? h ? h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时, hmax ? 2 22 ? 12 ? 2 3 ,故 3 2 3

Vmax ?

4 3 . 3

【解析 2】过 CD 作平面 PCD,AB ? 平面 PCD,交 AB 于 P,设点 P 到 CD 的距离为 h,则有

1 1 2 VABCD ? 2 2h ? h ,当直径通过 AB 与 CD 的中点时,最大 hMax ? 2 22 ? 1 ? 2 3 , 3 2 3
∴ VMAX ?

4 3 3

二、填空题 13. {x | 0 ? x ? 2} 14. ?

1 7

15. (1, )

5 4

16.

3 3

(13)不等式 2x2 ? 1 ? x ? 1 的解集是

.

13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法,利用平方去掉根号是解根式不 等式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 【解析 1】原不等式等价于 ? 【解析 2】
2 2 ? ?2 x ? 1 ? ?1 ? x ? 2x ?1 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? 1 ? x ? ? ? 0 ? x ? 2 ? ? x 0 ? x ? 2? , ? ?1 ? x ? 1 2 2

?2 x 2 ? 1 ? ( x ? 1)2 , ?x ?1 ? 0

解得 0≤x≤2.

(14)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? 14. ?

3 ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4

.

1 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的 7

正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.

k ? 1) ? ? , ? 2(2 k ? 1) ? k )(? Z ,又 ) 【解析 1 】因为 ? 为第三象限的角 , 所以 2? ? (2(2

10

3 ? 4 cos 2? ? ? <0, 所以 2? ? ( ? 2(2 k ? 1)? , ? ? 2(2 k ?1) ? )( k ? Z) ,于是有 sin 2? ? , 5 2 5 4 ? tan ? tan 2? 1 ? sin 2? 4 ? 3 ??1. 4 tan 2? ? ? ? ,所以 tan( ? 2? ) ? ? ? 4 cos 2? 3 4 7 1 ? tan tan 2? 1 ? 4 3 3 3 【解析 2】 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ? , 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ? 5 2 4 ? 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ? 3? ? 2? 在二象限, sin 2? ? 5

sin( ? 2? ) sin cos 2? ? cos sin 2? cos 2? ? sin 2? 1 4 4 4 tan( ? 2? ) ? ? ? ?? ? ? ? 4 7 cos( ? 2? ) cos cos 2? ? sin sin 2? cos 2? ? sin 2? 4 4 4

?

?

?

?

(15)直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是
2

.

15.(1, ) 【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解 法,着重考查了数形结合的数学思想. 【解析 1】如图,在同一直角坐标系内画出直线 y ?1 与曲线

5 4

1 x?? 2
a

y

x?

1 2

y ? x2 ? x ? a
y=1 x

?a ? 1 ? 2 y ? x ? x ? a , 观 图 可 知 , a 的 取 值 必 须 满 足 ? 4a ? 1 , 解 得 ?1 ? ? 4
1? a ? 5 . 4

O

y?

4a ? 1 4

1 5 ?1? a ?1? a ? 4 4 (16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D , uu r uur 且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为 .
【解析 2】由数型结合知: a ? 16.

3 3

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识,考查了数 形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点: “数研究形,形助数” ,利用几何性质可 寻求到简化问题的捷径. 【解析 1】如图, | BF |? b2 ? c 2 ? a , 作 DD1 ? y 轴于点 D1,则由 BF ? 2FD ,得

y
B

uu r

uur

11

O D1

F D

x

3 3 | OF | | BF | 2 ? ? ,所以 | DD1 |? | OF |? c , 2 2 | DD1 | | BD | 3
即 xD ?

3c a 2 3c 3c 2 ,由椭圆的第二定义得 | FD |? e( ? ) ? a ? 2 c 2 2a

又由 | BF |? 2 | FD | ,得 c ? 2a ?
2
2

3c 2 2 2 ,整理得 3c ? 2a ? ac ? 0 . a
2 . 3

两边都除以 a ,得 3e ? e ? 2 ? 0 ,解得 e ? ?1(舍去),或 e ? 【解析 2】设椭圆方程为: 第一标准形式,F 分 BD 所成的比为 2,

xc ?
代入

3y ? b 3? 0 ? b 0 ? 2 x2 b ? 2 y2 3 3 b ? x2 ? xc ? c; yc ? ? y2 ? c ? ?? , 1? 2 2 2 1? 2 2 2 2

9 c 2 1 b2 3 ? ? 1, ? e ? 2 2 4a 4b 3

-----------------------------------------------------------

2010 年全国卷 1 理科数学试题答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 A 5 C 6 A 7 D 8 C 9 B 10 C 11 D 12 B

1.A 解析:本题考查了复数代数形式的运算法则. A.

3 ? 2i (3 ? 2i) ? (2 ? 3i) 13i ? ? ? i ,故选 2 ? 3i (2 ? 3i) ? (2 ? 3i) 13

2.B 解 析 : 本 题 考 查 了 同 角 三 角 函 数 关 系 以 及 诱 导 公 式 . cos(?80 ) ? cos80 ? k ,

sin80 ? 1? k 2 , tan 80 ?

1? k 2 1? k 2 , tan100 ? ? tan 80 ? ? , k k
O

y y=1 x A x-y-2=0 Z=x-2y x+y=0

故选 B. 3.B 解析:本题考查了在线性约束条件下求目标函数的最值问题,即线性规划 问题.如图, 画出约束条件表示的可行域, 当目标函数 z ? x ? 2 y 经过 x ? y ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 的交点 A(1, ?1) 时,取到最大值 3,故选 B.

4.A 解 析 : 本 题 考 查 了 等 比 数 列 的 性 质 . (a1a2a3 ) ? (a7 a8a9 ) ? a5 ? 50 ,
6

a4a5a6 ? a53 ? 5 2 ,选 A.
另法: 由等比数列的性质知 a1a2 a3 , a4 a5a6 , a7 a8a9 成等比数列,则 (a4a5a6 )2 ? a1a2 a3 ×
12

a4 a5a6 =50,∵ an >0,所以 a4a5a6 ? 50 ? 5 2 .
r r 2 5.C 解析:本题考查了二项式定理. (1 ? 2 x )3 展开式的通项为 Tr ?1 ? C3 (2 x )r ? 2r C3 x , r

(1 ? x ) 展开式的通项为 Tr??1 ? C (? x ) ? (?1) C x ,因此, (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 展
3 5
3

r? 5

r?

r?

r? 5

r? 3

开式的各项为 (?1) ? 2 ? C ? C ? x
r r 3

r?

r? 5

r r? ? 2 3

,当

r r? ? ? 1 时有 r ? 0 且 r ? ? 3 或 r ? 2 且 r ? ? 0 2 3

两种情况,因此展开式中 x 的系数为(-10)+12=2,故选 C. 6.A 解析:本题考查了排列组合知识.不同的选法分两类,A 类选修课 1 门,B 类选修课 2
2 1 1 2 门,或者 A 类选修课 2 门,B 类选修课 1 门,因此,共有 C3 ? C4 ? C3 ? C4 ? 30 种选法,故

选 A. 7.D 解析: 本题考查了立体几何中线面角的求法. BB1 与平面 ACD1 所成角等于 DD1 与平面

ACD1 所成角,在三棱锥 D ? ACD1 中,由三条侧棱两两垂直得点 D 在底面 ACD1 内的射影
为等边 ?ACD1 的垂心即中心 H,则 ?DD1H 为 DD1 与平面 ACD1 所成角,设正方体棱长为

6 a 6 ? a,则 cos ?DD1 H ? 3 ,故选 D. a 3
8.C 解 析 : 本 题 考 查 了 代 数 式 大 小 比 较 的 方 法 . a ? log 3 2 ?
? 1 2

ln 2 ? ln 2 ? b , 又 ln 3

c?5

?

1 1 1 ? , a ? log 3 2 ? log 3 3 ? ,因此 c ? a ? b ,故选 C. 2 5 2

9.B 解析:本题考查了双曲线中有关焦点三角形的问题 . 由双曲线焦点三角形面积公式得

S?F1PF2 ? b 2 cot

?
2

? 1? cot 30 ? 3 , 设 P



x

轴 的 距 离 为

h , 则 由

1 1 6 6 S?F1PF2 ? ? F1 F2 ? h ? ? 2 2 ? h ? 3 , h ? ,P 到 x 轴的距离为 ,选 B. 2 2 2 2
10.C 解 析 : 本 题 考 查 了 对 数 函 数 、 对 数 式 的 运 算 性 质 、 对 勾 函 数 图 像 性 质 . 由 题 意

0 ? a ? 1 ? b , 由 f ( a)? f ( b得 ) ? lg a ? lg b , lg a ? lg b ? 0 , ab ? 1 , 因 此 ,

a ? 2b ? a ?

2 2 , 由对勾函数性质知 y ? x ? 在 (0,1) 单调递减, 因此 a ? 2b ? 3 , 即 a ? 2b a x

的取值范围是 (3, ??) ,故选 C. 11.D 解析:本题考查了向量数量积的定义运算,考查了最值的求法,考查了圆的切线性质. 设 | OP |? x , ?APB ? 2? ,
13

1 2 x 2 ? 1 ,, sin ? ? , cos 2? ? 1 ? 22 sin ? ? 1 ? 2 , x t 2 2 2 2 2 则 PA ? PB ? x ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? 2 ) ? x ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 3 x x
则 | PA |?| PB |? 当且仅当 x ?
2

,故 PA ? PB 的最小值为 2 2 ? 3 ,故选 D. 2 时,取“=”

12.B 解析:本题考查了球和多面体的组合体问题,考查了空间想象能力.如图,过 OCD 三 点作球的截面,交 AB 于点 M,由条件知, ?OAB 、 ?OCD 均为边长为 2 的等边三角形, 设 M 到 CD 的距离为 h ,A 到面 MCD 的距离为 h1 ,B 到面 MCD 的距离为 h2 ,则

1 1 1 VA? BCD ? V A? MCD ? V B? MCD ? S? MCD (h ? ? CD ? h ?( h 因此, 当 1 ? h 2) ? 1 ?h 2), 3 3 2
AB⊥面 MCD 时, VA? BCD ? 二、填空题 13. {x | 0 ? x ? 2} 解析: 本题考查了不等式的基本性质. 由 2x2 ? 1 ? x ? 1 得

A M B O D

1 1 4 3 最大,故选 B. ? ? 2 ? 2 3 ? (1 ? 1) ? 3 2 3

x ?1 ? 0 ? ? x ? ?1 ? 0 ? x ? 2 ,不等式解集 2 x2 ? 1 ? x ? 1 ? ? 2 ?? 2 ?2 x ? 1 ? ( x ? 1) ?0 ? x ? 2
为. {x | 0 ? x ? 2} .

C

1 解析:本题考查了同角三角函数的关系,二倍角公式以及两角和差的三角函数公式. 7 3 2 由 cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ? ,且 ? 为第三象限角得 5
14. ?

5 n? , 得 t a? cos ? ? ? 5

4 2 , tan 2? ? ? , 3

y ? x2 ? x ? a

y a

y ? x2 ? x ? a

1 ? tan 2? 1 tan( ? 2? ) ? ?? . 4 1 ? tan 2? 7 5 15. 1 ? a ? 解析:本题考查了利用数形结合的思 4
想解题的策略. 如图,作出 y ? x
2

?

x

? | x | ?a 的图像,
1 ?1? a, 4

a?

1 4

若要使 y ? 1 与其有四个交点,需满足 a ? 解得 1 ? a ?

5 . 4

16.

3 解析:本题考查了椭圆离心率的求解策略.不妨设椭圆 C 焦点在 x 轴上,中心在原 3

点,B 点为椭圆上顶点,F 为右焦点,则由 BF ? 2FD ,得 D 点到右准线的距离是 B 点到右
14

准线距离的一半,则 D 点横坐标 xD ?

a2 ,由 BF ? 2FD 知,F 分 BD 所成比为 2, ,由定 2c

比分点坐标公式得 c ?

0 ? 2?

a2 2 2c ? a ,得 3c 2 ? a 2 ,得 e ? 3 . 3 1? 2 3c

三、解答题 17. 解: 由 a ? b ? a cot A ? b cot B 及正弦定理得

sin A ? sin B ? cos A ? cos B sin A ? cos A ? cos B ? sin B
从而 sin A cos

?
4

? cos A sin

?
4

? cos B sin

?
4

? sin B cos

?
4

sin( A ? ) ? sin( ? B) 4 4
又0 ? A? B ?? 故 A?

?

?

?
4

?

?
4

?B

A? B ?
所以 C ?

?
2

?
2

18. 解: (Ⅰ)记 A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D 表示事件:稿件被录用. 则 D=A+B·C,

P( A) ? 0.5 ? 0.5 ? 0.25, P( B) ? 2 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.5, P(C ) ? 0.3,
15

P( D) ? P( A ? B C )
= P( A) ? P( B C ) = P( A) ? P( B) P(C ) =0.25+0.5×0.3 =0.40. (Ⅱ) X ~ B(4,0.4) ,其分布列为:

P( X ? 0) ? (1 ? 0.4)4 ? 0.1296,
1 P( X ? 1) ? C4 ? 0.4 ? (1 ? 0.4)3 ? 0.3456, 2 P( X ? 2) ? C4 ? 0.42 ? (1 ? 0.4)2 ? 0.3456, 3 P( X ? 3) ? C4 ? 0.43 ? (1 ? 0.4) ? 0.1536,

P( X ? 4) ? 0.44 ? 0.0256.
期望 EX ? 4 ? 0.4 ? 1.6 .

19. 解法一:(Ⅰ)连接 BD,取 DC 的中点 G,连接 BG, 由此知 DG ? GC ? BG ? 1, 即 ?ABC 为直角三角形,故 BC ? BD . 又 SD ? 平面ABCD,故BC ? SD , 所以, BC ? 平面BDS,BC ? DE . 作 BK ? EC, K为垂足,因平面EDC ? 平面SBC , 故 BK ? 平面EDC,BK ? DE, DE 与平面 SBC 内的两条相交
16

直线 BK、BC 都垂直 DE⊥平面 SBC,DE⊥EC,DE⊥SB

SB ? SD2 ? DB2 ? 6
DE ? SD DB 2 ? SB 3

EB ? DB 2 - DE 2 ?
所以,SE=2EB (Ⅱ) 由 SA ?

6 2 6 , SE ? SB - EB ? 3 3

SD2 ? AD2 ? 5, AB ? 1, SE ? 2EB, AB ? SA, 知
2 2

?1 ? ?2 ? AE ? ? SA ? ? ? AB ? ? 1, 又AD=1 . ?3 ? ?3 ?
故 ?ADE 为等腰三角形. 取 ED 中点 F,连接 AF ,则 AF ? DE , AF ? 连接 FG ,则 FG / / EC, FG ? DE . 所 以, ?AFG 是二面角 A ? DE ? C 的平面角. 连接 AG,A G= 2 , FG ?

AD 2 ? DF 2 ?

6 . 3

DG 2 ? DF 2 ?

6 , 3

AF 2 ? FG 2 ? AG 2 1 cos ?AFG ? ?? , 2 AF FG 2
所以,二面角 A ? DE ? C 的大小为 120°. 解法二: 以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 D ? xyz , 设 A(1,0,0),则 B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2) (Ⅰ) SC ? (0, 2,-2), BC ? (-1,1,0) 设平面 SBC 的法向量为 n =(a,b,c) 由 n ? SC, n ? BC ,得 n SC ? 0, n BC ? 0

17

故 2b-2c=0,-a+b=0 令 a=1,则 b=c,c=1, n =(1,1,1) 又设 SE ? ? EB

(? ? 0) ,则

? ? 2 DE ? ( , , ), DC ? (0, 2, 0) 1? ? 1? ? 1? ?
设平面 CDE 的法向量 m =(x,y,z) 由 m ? DE, m ? DC ,得 m ? DE ? 0 , m ? DC ? 0 故

? ? 2 E( , , ) 1? ? 1? ? 1? ?

?x ?y 2z ? ? ? 0, 2 y ? 0 . 1? ? 1? ? 1? ?

令 x ? 2 ,则 m ? (2,0, ?? ) . 由平面 DEC⊥平面 SBC 得 m ⊥ n , m n ? 0, 2 ? ? ? 0, ? ? 2 故 SE=2EB (Ⅱ)由(Ⅰ)知 E ( , , ) ,取 DE 的中点 F,则 F ( , , ), FA ? ( , ? , ? ) , 故 FA DE ? 0 ,由此得 FA ? DE 又 EC ? (?

2 2 2 3 3 3

1 1 1 3 3 3

2 3

1 3

1 3

2 4 2 , , ? ) ,故 EC DE ? 0 ,由此得 EC ? DE , 3 3 3

向量 FA 与 EC 的夹角等于二面角 A ? DE ? C 的平面角 于是

cos ? FA, EC ??

FA EC 1 ?? 2 | FA || EC |

所以,二面角 A ? DE ? C 的大小为 120

20.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

x ?1 1 ? ln x ? 1 ? ln x ? , x ?

xf ?( x) ? x ln x ? 1 ,
题设 xf ?( x) ? x ? ax ? 1 等价于 ln x ? x ? a .
2

令 g ( x) ? ln x ? x ,则 g ?( x ) ?

1 ?1 x
18

1 , g ' ( x)>0 ;当 x≥1 时, g ' ( x)≤0 , x ? 1 是 g ( x) 的最大值点, 当 0<x<

g ( x)≤g (1) ? ?1
综上, a 的取值范围是 ? ?1, ?? ? . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x)≤g (1) ? ?1 即 ln x ? x ? 1≤0 .

1 时, f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 ? x ln x ? (ln x ? x ? 1)≤0 ; 当 0<x<
当 x≥1 时,

f ( x) ? ln x ? ( x ln x ? x ? 1)
1 ? 1) x 1 1 ? ln x ? x(ln ? ? 1) x x ? ln x ? x(ln x ?
≥0
所以 ( x ? 1) f ( x)≥0

21. 解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , D( x1 , ? y1 ) , l 的方程为 x ? my ? 1(m ? 0) . (Ⅰ)将 x ? my ? 1 代入 y ? 4 x 并整理得 y ? 4my ? 4 ? 0
2 2

从而 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? 4 直线 BD 的方程为 y ? y2 ?

y2 ? y1 y2 4 ( x ? x2 ) ,即 y ? y2 ? (x ? 2 ) x2 ? x1 y2 ? y1 4
19

令 y ? 0 ,得 x ?

y1 y2 ?1 4

所以点 F(1,0)在直线 BD 上 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x1 ? x2 ? (my1 ?1) ? (my2 ?1) ? 4m2 ? 2

x1x2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? 1.
因为

uur uur FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 ) ,

uur uur FA ? FB ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 4 ? 8 ? 4m2


8 ? 4m 2 ?

8 ,解得 9

m??

4 3

所以 l 的方程为 又由(Ⅰ)知

3x ? 4 y ? 3 ? 0,3x ? 4 y ? 3 ? 0
y2 ? y1 ? ? (4m) 2 ? 4 ? 4 ? ? 4 7 3

故直线 BD 的斜率

4 3 , ?? y2 ? y1 7

因而直线 BD 的方程为 3x ? 7 y ? 3 ? 0,3x ? 7 y ? 3 ? 0. 因为 KF 为 ? BKD 的平分线,故可设圆心 M (t ,0)(?1 ? t ? 1) , M (t ,0) 到 l 及 BD 的

距离分别为

3 t ? 1 3 t ?1 , . 5 4



3 t ? 1 3 t ?1 1 ? 得 t ? ,或 t ? 9 (舍去) , 9 5 4
圆 M 的半径 r ?



3 t ?1 2 ? . 5 3
1 9
2 2

所以圆 M 的方程为 ( x ? ) ? y ? 22. 解: (Ⅰ) an ?1 ? 2 ?

4 . 9

a ?2 5 1 ? ?2? n , 2 an 2an

2an 1 4 ? ? ? 2,即bn?1 ? 4bn ? 2 an?1 ? 2 an ? 2 an ? 2 bn?1 ? 2 2 1 ? 4(bn ? ), 又a1 ? 1, 故b1 ? ? ?1 3 3 a1 ? 2
20

所以 {bn ? } 是首项为 ?

2 3 2 1 bn ? ? ? ? 4n ?1 3 3 1 2 bn ? ? ? 4n ?1 ? 3 3

1 ,公比为 4 的等比数列, 3

(Ⅱ) a1 ? 1, a2 ? c ?1,由a2 ? a1得c ? 2. 用数学归纳法证明:当 c ? 2 时 an ? an?1 . (ⅰ)当 n ? 1 时, a2 ? c ?

1 ? a1 ,命题成立; a1 1 1 ? c ? ? ak ?1 ak ?1 ak

(ⅱ)设当 n=k 时, ak ? ak ?1 ,则当 n=k+1 时, ak ? 2 ? c ? 故由(ⅰ) (ⅱ)知,当 c>2 时 an ? an?1

c ? c2 ? 4 1 1 当 c>2 时,令 a ? ,由 an ? ? an?1 ? ? c 得 an ? a an an 2
当2? c ? 当c ?

10 时, an ? a ? 3 3

10 时, a ? 3 ,且 1 ? an ? a 3
1 1 1 (a ? an ) ? (a ? an ) , a ? an ?1 ? n (a ? 1) 3 an a 3

于是 a ? an ?1 ? 当 n ? log 3 因此 c ?

a ?1 时, a ? an?1 ? a ? 3, an?1 ? 3 a ?3

10 不符合要求 3 10 所以 c 的取值范围是 (2, ] 源 3
126.com

21


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