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第25届北京市高中力学竞赛决赛试题


第 25 届北京市高中力学竞赛决赛试卷
(北京四中杯)
(全卷满分 150 分)
题 号 分 数 阅卷人 复查人 一 (填空)

2012 年 5 月 20 日 9:30~11:30
二(计算题) 7 8 9 10 11 总 分

一、填空题(6 小题,每小题 8 分,共 48 分)
得 分



1. 一跳远运动员在地球表面跳远,起跳时速度为 10m/s,能跳出 7.5m 远. 已知月球表面的重力加速度是地球表面重 力加速度的 1/6,如果他在月球表面跳远,起跳速度大小也是 10m/s,他跳远的记录将是 m.

2. 一举重运动员能举起 100kg 的重物,他对一根羽毛能施加 1000N 的力吗?答: .

,理由是

3. 嫦娥飞船绕月球做匀速圆周运动,测出其周期为 T,则飞船距月球表面的距离为 h,可否不计地球引力而近似表述为
h ? GMT 4?
2 2

3

? R ,其中 M 是月球的质量,R 是月球半径. 答:

,理由是 .

4. 据北京晚报 2012 年 3 月 17 日和参考消息 3 月 18 日报道,奥地利勇士鲍姆加持纳从 2.18 万米高空的氦气球吊篮中跃下, 下落的最高速度到 163m/s.下落约 3 分 43 秒,距地面 2400m 高处打开伞,整个下落到地面的时间持续 8 分 8 秒. 试根据报纸报 道和你的分析,在图 1 中比较准确地画出奥地利勇士下落到地面过程的 v-t 图线.

5. 下雨天,假设无风,雨滴以速度 υ1 竖直下落,雨滴在空中的分布是均匀的,单位体积的雨量是 ρ. 如图 2 所示,一个人
v/m?s-1

t/s 图1

要从 A 处运动到 B 处,他没有带伞,A、B 的距离为 l,人的运动速度为 υ2. 把人简化为长方体模型,头和肩的水平面积为 S1, 身体前方正面的竖直面积为 S2. 则人从 A 到 B 过程中,打到面积 S1 上的雨量为 为 . ,打到面积 S2 上的雨量

S1

υ1

S2

υ2

6. 三个质量均为 m 的小球 A、B、C,用轻杆连接,如图 3 所示. A、B 与 B、C 的距离相等,A、B、C 与地球中心 O 在一条 直线上. 三个小 球在高空绕地球做匀速圆周运动,如果轻杆收到扰动而偏离直线一小角度 θ,则轻杆与直线的偏角 θ 将 不变) ,理由是 .(本题说明控制卫星天线总指向地球 的基本原理) (增大、减小、

A O 地球 图3

B θ

C

二、计算题(共 102 分)
得 分

7.(16 分)两个相同的半球,半径都是 r,质量为 0.5m,放在静摩擦因数为 μ = 0.5 的水平面上. 在两个半球上放一 个半径为 r,质量为 m 的光滑球,如图 4 所示. 求在平衡状态下两球球心之间的最大距离 b.

A B θ b 图4 C

得 分

8. (16 分)两个质量分别为 m 1 和 m 2 的小球,它们之间的相互作用表现为斥力(斥力大小表达式为 k

m1m 2 r
2

, k 是常

数, r 为两球之间距离). 现已知 m 1 以速度 v 0 接近 m 2 ,瞄准距离为 b,即 m 2 到 m 1 速度方向的垂直距离为 b,如图 5 所示. 求 m 1 小球接近 m 2 小球的最近距离 d. 设 m 1 ?? m 2 ,小球 m 2 可近似看作静止.

m
b d

2

m1

v0

m1

v

图5

得 分

9. (20 分)如图 6 所示,质量为 m 的小球,用不可伸长的线悬于固定点 O,线长为 l,初始线与铅垂线有一个夹角, 初速为 0. 在小球开始运动后,线碰到铁钉 O1. 铁钉的方向与小球运动的平面垂直. OO1=h<l,且已知 OO1 与铅垂线

夹角为 β,设 l 与铅垂线夹角为 ? . 假设碰后小球恰能做圆周运动. 求线与铁钉碰前瞬时与碰后瞬时张力的变化.

O

?

β O1

l

图6

得 分

10. (25 分) 如图 7 所示,理想滑轮(轻质,无摩擦)两端悬挂两个质量均为 m 的砝码盘. 用轻线拴住劲度系数很大 的轻弹簧(弹簧劲度系数为 k)两端使它压缩的长度为 l,将此弹簧竖直放在左侧砝码盘上,弹簧上放一质量为 m

的砝码. 右侧砝码盘上也放置质量为 m 的砝码,使两盘静止. 燃断轻线,轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离. 求(1)此系 统(包括两个盘、两个砝码、弹簧和细绳)中哪些量守恒?(2)使用守恒定律求砝码脱离弹簧后升起的高度.

得 分

11. (25 分)三个质量为 m 的小球用两根长为 l 的不可伸长细绳相连. 初始时刻,三个小球在一条线上,静止放在 光滑水平面上,标号分别为 1、2、3,如图 8 所示. 给标号为 3 的小球以初速度 v 0 ,则这三个小球运动起来,求 1、

2 两球相遇时的速度为多大?

1

3

2

v0

图8

第 25 届北京市高中力学竞赛决赛试题答案

(北京四中杯)
一、填空题 1. 45 . (8 分) 2. 不能 (2 分).一根羽毛不能对运动员施加 1000N 的力,根据牛顿第三定律,运动员也不能对羽毛施加 1000N 的力. (6 分) 3.可以(2 分) .在地球引力所用下,月球(携带飞船)绕地球做匀速圆周运动,可认为月球飞船处于失重状态,可只考 虑月球对飞船的引力作用(6 分) . 4.
v/m?s-1 163

t/s 233 488

5. ? S 1 v 1

l v2

; 分) ? S 2 l . 分) (4 (4

6. 减少(2 分) 球受地球引力与惯性离心力平衡,A 球受引力大于惯性离心力,合力指向地球,C 球受引力小于惯性离 ,B 心力,合力背向地球,A、C 球受力的力矩使 θ 角减少(6 分) .
A O 地球 B θ C

二、计算题 7. 解:设最大距离时摩擦力为 fmax,AB 球心连线 与竖直夹角 θ. 对 A 球 y 方向: 2 N cos ? ? mg
N ? mg 2 c o s? 1 ? mg ? N cos ? ? 0 2 1 1 ? mg ? mg ? mg 2 2

y
NB N

(3 分)

?
(3 分)
1 2
mg

x fmax

对 B 球 y 方向: N B
NB

对 B 球 x 方向: f max ? N sin ? ? 0
f max ? ? N B ? 1 2 mg ? mg 2 c o s? 1 2 s i n? ? 0 mg

(3 分) (1 分)

t a n? ? 1

t a n? ?

bm a x bm a x 2 (2r ) ? ( ) 2
2

?1

(3 分)

b max 4

3

? 4r

2

?

b max 4

3

bm a x ? 8r
2

2

bm a x ? 2 2 r

(3 分)

8.解: m 1 小球受力始终指向 m 2 小球中心, m 1 小球在一平面内运

?

r

v0

动.如图所示.设 z 轴垂直于此平面且通过 m 2 小球中心,则 m 1 小球所受力对 z 轴的力矩为零,即对 z 轴角动量守恒. m 1 小球以 速度 v0 运动,对 z 轴角动量是 rm 1 v 0 sin ? ,但 r sin ? ? b ,故 rm 1 v 0 sin ? ? bmv 0 , m 1 小球最接近 m 2 小球(距离为 d)时,即无继 续向 m 2 小球运动的速度,又无远离 m 2 小球的速度,此刻的速度 v 应与 m 1 小球至 m 2 小球的连线垂直,角动量是 dm 1 v .于是
dm 1 v ? bm 1 v 0
v0b d

(1)

(5 分)



v ?

在散射过程中,只有斥力作用,故能量守恒。最初,其能量为 m 1 v 02 动能,到达离 m 2 小球最近时,其总能量为
2
1 2 m1v ? k
2

1

m1m 2 d



后一项为斥力势能,k 为一常数.因此,
1 2 m1v ? k
2

m1m 2 d

?

1 2

m1v 0

2

(2)

(5 分)

有(1) (2)得
d ? k m2 v0
2

?

? m2 ? ?k ? ? b2 ? v2 ? 0 ? ?

2

(4 分)

d 只能为正,故式中负号无物理意义,舍去.
d ? k m2 v0
2

?

? m2 ? ?k ? ? b2 ? v2 ? 0 ? ?

2

(2 分)

9.解:假设碰后小球能作圆周运动,运动到最高点的速度 v 可由
mv
2

(l ? h )

? mg

(3 分)

得出 v 2 ? ( l ? h ) g 设初始夹角为 α 由机械能守恒得到: mv 2 ? mg [ h cos ? ? l cos ? ? ( l ? h )]
2 mg ( l ? l c o s? ) ? 1 mv
2

1

(5 分)

2 h 3 3 c o s? ? [ ( ? c o s? ) ? ] l 2 2

假设碰前瞬时速度为 v1 则: mv 12 ? mgl (cos ? ? cos ? )
2
v 1 ? 2 gl ( c o ? ? c o s? ) s

1

(2 分)

碰前: T1 ? mg cos ? ?

mv 1 l

2

(3 分)
2

T 2 ? mg c o s? ?

mv 1

(l ? h )

(3 分)

T 2 ? T1 ?

2m g h ( l ? h ) ( c o ? ? c o s? ) s

? l(

2 mgh 3 2 ? cos ? )

(4 分)

10. 解: (1)该质点系能量守恒(3 分) ,对滑轮轴的角动量守恒(2 分) 。 (2)设滑轮半径为 R,弹簧释放后,弹簧上边的砝码获得的速度为 v,方向向上,左边砝码盘及右边砝码盘及砝码获得的速度 大小是 v'。该质点系对滑轮轴的角动量守恒,有: - mvR+mv’R+2mv’R = 0, 分)即 (6 v = 3 v' (1) (3 分)
1 1 2 mv
2

能量守恒(因为弹簧弹性系数很大,所以忽略重力势能的微小变化) ,有: kl 2 ?
2

?

1 2

(3 m )v

'2

(6

分) 即 mv 2 ? 3 mv ' 2 ? kl 2 (2)

左盘中的砝码脱离弹簧获得速度 v 后做竖直上抛运动
2 2 (3) mv ? mgh ? h ? v / 2 g 由⑴⑵可求得 v2=3kl2/4m,代入⑶中得: 1 2

(3 分)

h = 3 k l2/8mg

(2 分)

11.解:设运动起来后三小球竖直方向速度大小为 v ,1、2 球相遇时速度大小为 u .由于是光滑水平面,所以运动起来前后

动量守恒、能量守恒,有
mv 0 ? 3 mv

(1)
? 2? 1 2 mu
2

(10 分) (2) (10 分)

1 2

mv 0 ?
2

1 2

mv 2 3 v0

2

解得

u ?

(5 分)


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