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2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练16 椭圆、双曲线、抛物线 理


训练 16
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

椭圆、双曲线、抛物线

(时间:45 分钟 满分:75 分)

1.以双曲线 -y =1 的左焦点为焦点,顶点在原点的抛物线方程是 3 ( A.y =4x C.y =-4
2 2

x2

2


).

B.y =-4x 2x D.y =-8x
2

2

x 2 y2 2.(2012?皖南八校二次联考)双曲线 - =1(m>0,n>0)的离心率为 2,有一个焦点与 m n
抛物线 y =4mx 的焦点重合,则 n 的值为 ( A.1 B.4 C.8 D.12 ).
2

x2 y2 3.(2012?泉州质检)已知 A1,A2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左右顶点,椭圆 C 上 a b
4 异于 A1,A2 的点 P 恒满足 kPA1?kPA2=- ,则椭圆 C 的离心率为 9 ( A. 4 9 2 B. 3 5 C. 9 D. 5 3 ).

4.(2012?临沂质检)已知长方形 ABCD 的边长 AB=2,BC=1,若以 A、B 为焦点的双曲线恰 好过点 C、D,则此双曲线的离心率 e=( A. 5+1 2 ).

B.2( 5-1) D. 2+1
2 2

C. 5-1

x y a2 5.设 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x= 上存在 P,使线 a b c
段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率的取值范围是 ( A.?0, C.? ).

? ?

2? ? 2?

B.?0, D.?

? ?

3 ? ? 3 ?

? 2 ? ,1? ?2 ?
x2 y2 a b

? 3 ? ,1? ?3 ?

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(2012?东莞二模)若双曲线 2- 2=1 的渐近线与圆(x-2) +y =3 相切,则此双曲线的
2 2

1

离心率为________. 7.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1 的左、右焦点分别是 F1、F2,P 为椭圆 C 25 9 上的一点,且 PF1⊥PF2,则△PF1F2 的面积为________. 1? ? 2 8.已知抛物线 x =4y 的焦点 F 和点 A?-1, ?,P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF|的最小 8? ? 值是________. 三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9. 分)如图, P 是圆 x +y =25 上的动点, D 是 P 在 x 轴上的投影, 为 PD 上一点, (11 设 点 M 4 且|MD|= |PD|. 5
2 2

x2

y2

(1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5 10.(12 分)(2012?陕西)已知椭圆 C1: +y =1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相 4 同的离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; → → (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上OB=2OA,求直线 AB 的方程. 11.(12 分)(2012?新课标全国)设抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程;
2

x2

2

(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值. 参考答案 训练 16 椭圆、双曲线、抛物线 1.D [由题意知:抛物线的焦点为(-2,0).又顶点在原点,所以抛物线方程为 y =-8x.] 2.D [抛物线焦点 F(m,0)为双曲线一个焦点,∴m+n=m ,又双曲线离心率为 2,∴1+ =
2 2 2

n m

4,即 n=3m,所以 4m=m ,可得 m=4,n=12.]
2

4 x0 y 0 b 4 3. [设 P(x0, 0), D y 则 ? =- , 化简得 2+ 2=1 可以判断 2= , = e x0+a x0-a 9 a 4a a 9 9 = 4 5 1- = .] 9 3

y0

y0

2

2

2

1-? ?

?b?2 ?a?

2c 2 5+1 4.A [由题意可知 c=1, 5-1=2a,所以 e= = = .] 2a 2 5-1

? ? ? 5.D [设 P? ,y?,F1P 的中点 Q 的坐标为? ?
则 kF1P=

a2 ?c

b2 y? , ?, ?2c 2?

cy cy ,kQF2= 2 .由 kF1P?kQF2=-1, b2+2c2 b -2c2
4 4 2 2 2 2

4c -b ? 2c -b ? ? 2c +b ? 2 得y= = . 2 2

c

c

因为 y ≥0,但注意 b +2c ≠0, 所以 2c -b >0, 即 3c -a >0. 1 3 2 即 e > .故 <e<1. 3 3 当 b -2c =0 时,y=0,此时 kQF2 不存在,此时 F2 为中点, -c=2c,得 e= 得, 3 ≤e<1.] 3
2 2 2 2 2 2

2

2

2

a2 c

3 .综上 3

6.解析 依题意得:双曲线的渐近线方程为:bx±ay=0, 则 |2b|
2 2

a2+b2

= 3,即:b =3a ,又 c =a +b ,

2

2

2

2

2

∴c =4a ,∴e=2. 答案 2 7.解析 ∵PF1⊥PF2,∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,由椭圆方程知 a=5,b=3,∴c=4,∴
?|PF1| +|PF2| =4c =64, ? ? ? ?|PF1|+|PF2|=2a=10,
2 2 2 2 2 2

解得|PF1||PF2|=18, 1 1 ∴△PF1F2 的面积为 |PF1|?|PF2|= ?18=9. 2 2 答案 9 8.解析 点 A 在抛物线的外部,所以当 P、A、F 三点共线时,|PA|+|PF|最小,其中焦点

F 的坐标为(0,1),故|PA|+|PF|的最小值为|AF|=

113 . 8
3

答案

113 8

9.解 (1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

?xP=x, ? 由已知得? 5 ?yP=4y, ?

∵P 在圆上,

x2 y2 ?5 ?2 2 ∴x +? y? =25,即轨迹 C 的方程为 + =1. 25 16 ?4 ?
4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5 + 25

x2

?

x-3?
25

2

=1,即 x -3x-8=0.

2

3- 41 3+ 41 ∴x1= ,x2= . 2 2 ∴线段 AB 的长度为|AB|= ? =

x1-x2?

2

+?

y1-y2?

2

?1+16?? x -x ? ? 25? 1 2 ? ?

2



41 41 ?41= . 25 5
2 2 2

y x 3 a -4 3 10.解 (1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2),其离心率为 ,故 = , a 4 2 a 2
则 a=4, 故椭圆 C2 的方程为 + =1. 16 4 (2)法一

y2

x2

A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由OB=2OA及(1)知,O,A,B





三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k )x =4, 4 所以 xA=
2

x2

2

2

2

4 2. 1+4k

将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k )x =16, 16 4 所以 xB=
2

y2

x2

2

2

16 2, 4+k

16 16 → → 2 2 又由OB=2 OA,得 xB=4xA,即 2= 2, 4+k 1+4k

4

解得 k=±1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 法二 A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2 OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. 将 y=kx 代入 +y =1 中,得(1+4k )x =4, 4 4 16 16k → → 2 2 所以 xA= 2,由OB=2 OA,得 xB= 2,yB= 2, 1+4k 1+4k 1+4k
2 2

x2

2

2

2

y x 4+k 2 2 2 2 将 xB,yB代入 + =1 中,得 2=1,则 4+k =1+4k , 16 4 1+4k
解得 k=±1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 11.解 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆 F 的半径|FA|= 2p. 由抛物线定义可知 A 到 l 的距离 d=|FA|= 因为△ABD 的面积为 4 1 即 ?2p? 2 2p=4 1 2,所以 |BD|?d=4 2 2p. 2,

2

2

2

2,解得 p=-2(舍去)或 p=2.
2 2

所以 F(0,1),圆 F 的方程为 x +(y-1) =8. (2)因为 A,B,F 三点在同一直线 m 上,所以 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90°. 1 由抛物线定义知|AD|=|FA|= |AB|. 2 所以∠ABD=30°,m 的斜率为 当 m 的斜率为 0. 4 2 p 由于 n 与 C 只有一个公共点,故 Δ = p +8pb=0,解得 b=- . 3 6 3 3 或- . 3 3

3 3 2 3 2 2 时,由已知可设 n:y= x+b,代入 x =2py 得 x - px-2pb= 3 3 3

p |b1| 因为 m 的纵截距 b1= , =3,所以坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 2 |b|
当 m 的斜率为- 为 3. 综上,坐标原点到 m,n 距离的比值为 3. 3 时,由图形对称性可知,坐标原点到 m,n 距离的比值 3

5


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