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2014届高考数学(文科,江苏专版)大二轮专题复习第一篇会用“审题路线图”,破解高考不再难


审题是解题的开端, 深入细致的审题是成功解题的必要前提. 著名数学教育家波利亚说, “最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图.”为此波利亚总结出一张“怎样 解题表”,将解题的过程分为四个阶段.其中第一步弄清问题就是我们常说的审题.审题就 是多角度地观察,由表及里,由条件到结论,由数式到图形,洞察问题实质,选择正确的解 题方向.事实上,很多考生往往对审题掉以轻心,或不知从

何处入手进行审题,致使解题失 误而丢分,真是令人痛心不已.本讲结合实例,教你正确的审题方法,给你制订一条“审题 路线图”,破解高考不再难. 一审条件挖隐含 任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的.条件是解题的主要素材,充分利用 条件间的内在联系是解题的必经之路.条件有明示的,有隐含的,审视条件更重要的是 要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息,发挥隐含条件的解题功能. 例1 已知 0≤α<β<γ<2π,且 sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,求 β-α. 审题路线图 条件 sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0

根据审题路线图,可以规范地将题目解出. 解
? ① ?sin α+sin β=-sin γ, 由已知得? ?cos α+cos β=-cos γ, ② ?

①2+②2 得 2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1, 1 故 cos(β-α)=- .由 0≤α<β<γ<2π, 2 知 0<β-α<2π,所以 β-α= 2π 4π 或 β-α= . 3 3

1 同理可得 cos(γ-α)=- ,0<γ-α<2π, 2 2π 4π 所以 γ-α= 或 γ-α= . 3 3 由于 β<γ,得 β-α<γ-α, 2π 所以 β-α 取小值,γ-α 取大值,即 β-α= . 3 设 α,β 都是锐角,且 cos α= 2 5 A. 25 2 5 2 5 C. 或 25 5 答案 A 2 5 B. 5 D. 5 5 或 5 25 5 3 ,sin(α+β)= ,则 cos β 等于 5 5 ( )

2 5 解析 依题意得 sin α= 1-cos2α= , 5 4 cos(α+β)=± 1-sin2?α+β?=± . 5 又 α,β 均为锐角,所以 0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β). 4 5 4 因为 > >- , 5 5 5 4 所以 cos(α+β)=- . 5 于是 cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α 4 5 3 2 5 2 5 =- × + × = .故选 A. 5 5 5 5 25 二审结论会转换 问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误.因而解决问题时的思维 过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.审视结论,就是在结论的启发下, 探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息,善于对 结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向. 例2 已知抛物线 C:x2=2py (p>0)的焦点为 F,A、B 是抛物线 C 上异于坐标原点 O 的不

同两点,抛物线 C 在点 A,B 处的切线分别为 l1,l2,且 l1⊥l2,l1 与 l2 相交于点 D. (1)求点 D 的纵坐标; (2)证明:直线 AB 过定点. 审题路线图

通过审视结论,我们画出了审题路线图,根据审题路线图,即可规范求解. (1)解 如图,设点 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

∵l1,l2 分别是抛物线 C 在点 A,B 处的切线, x1 ∴直线 l1 的斜率 k1=y′|x=x1= , p x2 直线 l2 的斜率 k2=y′|x=x2= . p ∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,得 x1x2=-p2. x2 x2 1 2 ∵A,B 是抛物线 C 上的点,∴y1= ,y2= . 2p 2p
2 x1 x1 ∴直线 l1 的方程为 y- = (x-x1), 2p p

x2 x2 2 直线 l2 的方程为 y- = (x-x2). 2p p

? 由? x x ?y-2p= p ?x-x ?
2 2 2 2

x2 x1 1 y- = ?x-x1? 2p p

x ?x=x + 2 ,解得? p ?y=-2
1

2

.

p ∴点 D 的纵坐标为- . 2 p 0, ? . (2)证明 ∵F 为抛物线 C 的焦点,∴F? ? 2? p x2 p2-x2 1? → ? 1? ? - x , - ∴AF=? 1 2 2p?= -x1, , 2p ? ?
2 p x2 p2-x2 → 2? -x2, - ?=?-x2, BF=? . 2 2p? ? ? 2p ?

p2-x2 1 2p p2-x2 -x1x2-x2 x1 1 1 ∵ 2 2= 2 2= = , x2 p -x2 p -x2 -x1x2-x2 2 2p → → ∴AF∥BF,即直线 AB 过定点 F. x2 y2 已知椭圆 + =1 的上、下焦点分别为 F1、F2,点 P 在第一象限且是椭圆 2 4 → → 上一点,并满足PF1· PF2=1,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. (1)求证:直线 AB 的斜率为定值;

(2)求△PAB 面积的最大值. (1)证明 由条件可得 F1(0, 2),F2(0,- 2), 设 P(x0,y0) (x0>0,y0>0), → → 则PF1=(-x0, 2-y0),PF2=(-x0,- 2-y0), → → 2 所以PF1· PF2=x0 -(2-y2 0)=1, 又点 P(x0,y0)在椭圆上,
2 x2 y0 0 所以 + =1, 2 4 2 4-y0 4-y2 0 所以 x2 ,从而 -(2-y2 0= 0)=1,得 y0= 2. 2 2

则点 P 的坐标为(1, 2). 因为直线 PA、PB 的斜率必存在,故不妨设直线 PB 的斜率为 k(k>0),则直线 PB 的方程 为 y- 2=k(x-1),

? ?y- 2=k?x-1? 由?x2 y2 , + =1 ? 2 4 ?
消去 y,得(2+k2)x2+2k( 2-k)x+( 2-k)2-4=0, 设 B(xB,yB),A(xA,yA),则 1+xB= xB= 2k?k- 2? k2-2 2k-2 -1= , 2 2+k 2+k2 2k?k- 2? , 2+k2

k2+2 2k-2 同理可得 xA= , 2+k2 4 2k 则 xA-xB= , 2+k2 8k yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)= . 2+k2 yA-yB 所以直线 AB 的斜率 kAB= = 2为定值. xA-xB (2)解 由(1)可设直线 AB 的方程为 y= 2x+m.

? ?y= 2x+m 由?x2 y2 , ? 2 + 4 =1 ?
消去 y,得 4x2+2 2mx+m2-4=0, 由 Δ=(2 2m)2-16(m2-4)>0,得 m2<8, 即-2 2<m<2 2,

又点 P 到直线 AB 的距离为 d=

|m| , 3

1 1 则 S△PAB= |AB|d= 1+2|xA-xB|d 2 2 = 1 2

?4-1m2?×3×|m| ? 2 ? 3
1 2 m ?-m2+8?≤ 8
2 2 1?m -m +8?2 8? 2 ? = 2.



当且仅当 m=± 2 时取等号. 所以△PAB 面积的最大值为 2. 三审图形抓特点 在不少数学高考试题中,问题的条件往往是以图形的形式给出,或将条件隐含在图形之 中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变 化的趋势.抓住图形的特征,运用数形结合的数学思想方法,是破解考题的关键. 例3 → → 给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 120° .如图所 → → → 示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动,若OC=xOA+yOB,其中 x,y∈R,则 x+y 的最大值是______. 审题路线图 〈观察方向一〉

〈观察方向二〉

〈观察方向三〉

解析 建立如图所示的坐标系, 则 A(1,0),B(cos 120° ,sin 120° ), 1 3 即 B(- , ). 2 2 → 设∠AOC=α,则OC=(cos α,sin α). → → → ∵OC=xOA+yOB y 3 =(x,0)+?- , y?=(cos α,sin α). ? 2 2 ?

?x-2=cos α, ∴? 3 ? 2 y=sin α.

y

?x= 3 +cos α, ∴? 2sin α ?y= 3 ,

sin α

∴x+y= 3sin α+cos α=2sin(α+30° ). ∵0° ≤α≤120° ,∴30° ≤α+30° ≤150° . ∴x+y 有最大值 2,当 α=60° 时取最大值.

答案 2 点评 从上面三种审题角度看,认真审图,抓住图形特征,解题又快又准,所以观察方 向三值得考虑.

如图是半径为 2,圆心角为 90° 的直角扇形 OAB,Q 为 AB 上一点, → → → → → 点 P 在扇形内(含边界),且OP=tOA+(1-t)OB(0≤t≤1),则OP· OQ 的最大值为________. 答案 4 → → → 解析 ∵OP=tOA+(1-t)OB, → → ∴B,P,A 三点共线,∴BP=tBA, 又 0≤t≤1,∴P 在线段 BA 上运动. ∵Q 为 AB 上一点,设∠POQ=θ, → → → → → → ∴OP· OQ=|OP||OQ|cos θ=2|OP|cos θ≤2|OP|≤2×2=4, → → 即当 P,Q 重合且位于 A 或 B 处时,OP· OQ取得最大值 4. 四审结构定方案 数学问题中的条件和结论,很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题 的数式结构中,往往都隐含着某种特殊关系,认真审视数式的结构特征,对数式结构进 行深入分析,加工转化,可以寻找到突破问题的方案. 例4 b a tan C tan C 在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 + =6cos C,则 + a b tan A tan B 的值是________. 审题路线图 〈观察方向一〉

〈观察方向二〉

b a 解析 由 + =6cos C,得 b2+a2=6abcos C. a b tan C tan C 化简整理得 2(a2+b2)=3c2,将 + 切化弦, tan A tan B 得 = = sin C cos A cos B · ( + ) cos C sin A sin B sin C sin?A+B? · cos C sin Asin B sin C sin C · cos C sin Asin B



sin2C . cos Csin Asin B

根据正、余弦定理得 sin2C = cos Csin Asin B c2 a +b2-c2 ab· 2ab
2



2c2 2c2 = =4. a2+b2-c2 3 2 2 c -c 2

答案 4 点评 观察方向二从数式的特点出发,选择特殊化方法,这种解题方案往往会达到令人 非常满意的效果. cos B → cos C → 已知 O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心,且∠A=θ,若 · AB+ · AC= sin C sin B → 2mAO,则 m=________(用 θ 的三角函数表示). 答案 sin θ

解析 方法一 设 AB=c,AC=b,AO=R, cos B → cos C → → 将等式 · AB+ · AC=2mAO两边平方,得 sin C sin B

? c ?2+cos2C· ? b ?2+2cos Bcos C· c · b · cos2B· cos θ=4m2R2. ?sin C? ?sin B? sin C sin B
设△ABC 的外接圆半径为 R,由正弦定理,得 cos2B+cos2C+2cos Bcos Ccos θ=m2. 1 1 降幂,得 1+ cos 2B+ cos 2C+2cos Bcos Ccos θ=m2, 2 2 1 则 m2=1+ cos[(B+C)+(B-C)]+ 2 1 cos[(B+C)-(B-C)]+2cos Bcos Ccos θ, 2 将上式右边展开并化简,得 m2=1+cos θcos(B+C)=1-cos2θ=sin2θ. 注意到 m>0,可知 m=sin θ. 方法二 设 AB=c,AC=b,AO=R, ∠BAO=α,∠CAO=β. cos B → cos C → → 等式 · AB+ · AC=2mAO sin C sin B → 两边同时乘以AO,得 cos B cos C · cRcos α+ · bRcos β=2mR2, sin C sin B

c 由正弦定理及 cos α= =sin C, 2R b cos β= =sin B,得 cos Bsin C+cos Csin B=m, 2R 所以 m=sin(C+B)=sin θ. 方法三 设 A=B=C=θ=60° ,AB=AC=1, → → → 则AB+AC=2 3mAO, 上式两边平方,得 1+1+1=4m2,注意到 m>0, 所以 m= 3 =sin 60° =sin θ. 2

五审图表、数据找规律 题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,往往也暗示着解决问题的目标和方向.在 审题时,要认真观察分析图表、数据的特征和规律,常常可以找到解决问题的思路和方 法. 例5 (2012· 湖南)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集 了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间 (分钟/人) 1至4件 x 1 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 y 2.5 17 件及以上 10 3

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率) 审题路线图



(1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,

所以 x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均 值可用样本平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 100 =1.9(分钟). (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2,A3 分别表示事 件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分 钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率得 15 3 30 3 P(A1)= = ,P(A2)= = , 100 20 100 10 25 1 P(A3)= = . 100 4 因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件, 所以 P(A)=P(A1∪A2∪A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3) = 3 3 1 7 + + = . 20 10 4 10

7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 . 10 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计, 随机抽取 M 名学生作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务 的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直 方图: 次数分组 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 合计 频数 10 25 m 2 M 频率 0.25 n p 0.05 1

(1)求出表中的 M、p 及图中 a 的值; (2)若该校高一年级有学生 360 人,试估计他们参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人 数; (3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人 参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率.



10 (1)由区间[10,15)内的频数是 10,频率是 0.25 知, =0.25,所以 M=40. M

因为频数之和为 40,所以 10+25+m+2=40, m 3 25 解得 m=3,p= = ,n= =0.625. M 40 40 频率 n 因为 a 是区间[15,20)内的 ,所以 a= =0.125. 5 组距 (2)参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数约为 360×0.625=225. (3)在样本中,在区间[20,25)内的人数为 3,可分别记为 A,B,C,在区间[25,30)内的人 数为 2,可分别记为 a,b.从该 5 名同学中取出 2 人的取法有(A,a),(A,b),(B,a),(B, b),(C,a),(C,b),(A,B),(A,C),(B,C),(a,b),共 10 种,至多一人在区间[20,25) 内的情况有(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b),共 7 种,所以至 7 多一人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率为 . 10 六审细节更完善 审题不仅要从宏观上、 整体上去分析、 去把握, 还要更加注意审视一些细节上的问题. 例 如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等.因为标注、范围大多是对数学概念、公 式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件.审视细节能适时地利用相关量的约束 条件,调整解决问题的方向.所以说重视审视细节,更能体现审题的深刻性. 例6 1 2 1 各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= an + an (n∈N*). 4 2 (1)求 an; a , n为奇数, ? ? n (2)令 bn=? n cn=b2n+4 (n∈N*),求{cn}的前 n 项和 Tn. ? ?b2, n为偶数, 审题路线图



1 2 1 1 1 (1)a1=S1= a1 + a1? a2 - a =0, 4 2 4 1 2 1

因为 a1>0,故 a1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 1 1 1 2 1 = a2 n+ an- an-1- an-1, 4 2 4 2 1 1 2 所以 (a2 n-an-1)- (an+an-1)=0, 4 2 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 因为 an>0,所以 an-an-1=2,即{an}为等差数列, 所以 an=2n (n∈N*). (2)c1=b6=b3=a3=6,c2=b8=b4=b2=b1=a1=2, n≥3 时,cn=b2n+4=b2n-1+2=b2n-2+1=a2n-2+1=2n 1+2,


此时,Tn=8+(22+2)+(23+2)+?+(2n 1+2)


=2n+2n;

当 n=2 时,T2=22+2×2=8=c1+c2.
? ?6, 所以 Tn=? n ?2 +2n, ?

n=1, n≥2且n∈N*.

点评 从审题路线图可以看出,细节对思维的方向不断地修正着. 3an 已知数列{an}的首项 a1=t>0,an+1= ,n=1,2,?. 2an+1 3 ?1 ? (1)若 t= ,求证:?a -1?是等比数列,并求出{an}的通项公式; 5 ? n ? (2)若 an+1>an 对一切 n∈N*都成立,求 t 的取值范围. 2an+1 1 2 1 1 1 1 -1?, (1)证明 由题意知 an>0, = = + , -1= ? 3 an 3an 3 an+1 3? an ? an+1 3 1 2 由于 a1=t= ,所以 -1= . 5 a1 3
?1 ? 2 1 所以数列?a -1?是首项为 ,公比为 的等比数列, 3 3 ? n ?

1 2 1?n-1 2 -1= ? = n, an 3?3? 3 3n 所以 an= n . 3 +2 (2)解 1 1 1 -1?, 由(1)知 -1= ? 3?an ? an+1

1 ??1?n-1 ?1 ? 1 数列?a -1?的通项为 -1=? ? t -1??3? , an ? n ? 3an 由 a1>0,an+1= 知 an>0, 2an+1 又 an+1>an,得 1 < . a an+1 n 1

1 ??1?n ?1 ??1?n-1 即? ? t -1??3? +1<? t -1??3? +1, 1 得 -1>0,又 t>0, t 所以 t 的取值范围是(0,1).

1. 解题先审题,养成认真审题,缜密思考的良好习惯. 2. 审题要慢要细,要谨慎思考:(1)全部的条件和结论;(2)必要的图形和图表;(3)数学式子 和数学符号.要善于捕捉题目中的有效信息,要有较强的洞察力和显化隐含条件的能 力.要制订和用好审题路线图.

3. 审题路线图: 一审条件挖隐含 → 二审结论会转换 → 三审图形抓特点 → 四审结构定方案 → 五审图表、数据找规律 → 六审细节更完善 .


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