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山东省聊城市“四县六校”2012-2013学年高二下学期期末联考 理科数学试题 Word版含答案


绝密★启用前
山东省聊城市“四县六校”2012-2013 学年下学期高二期末联考

理科数学试题
考试时间:120 分钟; 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题 1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )

2.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S2 ? 2 , S4 ? 10 ,则 S 6 等于(



A.12 B.18 C.24 D.42 3.如图,要测出山上石油钻井的井架 BC 的高,从山脚 A 测得 AC ? 60 m, 塔顶 B 的 仰角 ? ? 45? ,塔底 C 的仰角 15? ,则井架的高 BC 为( )

A. 20 2 m

B. 30 2 m

C. 20 3 m

D. 30 3 m

?x ? y ≥ 0 ? 4.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ≥ 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?0 ≤ x ≤ 3 ?



A.3

B.6

C.8

D.9

5.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

An 7n ? 45 ,则使 ? Bn n?3



an 为整数的正整数 n 的个数是( bn
B.3

) C.4 D.5

A.2

6.已知直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? ay ? 1 ? 0 ,给出如下结论: ①不论 a 为何值时, l1 与 l2 都互相垂直; ②当 a 变化时, l1 与 l2 分别经过定点 A(0,1)和 B(-1,0); ③不论 a 为何值时, l1 与 l2 都关于直线 x ? y ? 0 对称; ④当 a 变化时, l1 与 l2 的交点轨迹是以 AB 为直径的圆(除去原点). 其中正确的结论有( ). A.①③ B.①②④ 7. 奇函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? 集为( ).

C.①③④

D.①②③④

? 上为增函数,且 f ?1? ? 0 ,则不等式

f ? x? ? f ??x? x

? 0 的解

A . ? ?1, 0 ? ? ?1, ??

?

B. ? ?? , ?1? ? ? 0,1? C ? ?? , ?1? ? ?1, ?? ? D . ? ?1, 0 ? ? ? 0,1? 8.如图, Rt? AEF 是正方形 ABCD 的内接三角形,若 tan?EAF ? 所成的比为( ).

2 ,则点 C 分线段 BE 3

3 2 5 C. ? 3
A. 9.对于函数 f ( x) ? ?

B. ?

2 3 3 D. ? 2
).

? sin x(sin x ? cos x) ,下列说法正确的是( ?cos x(cos x ? sin x)

A. f ? x ? 的值域是 ? ?1,1?

B.当且仅当 x ? ? 2k ? 1? ? (k ? Z ) 时, f ? x ? 取得最小值-1 C. f ? x ? 的最小正周期是 ? D.当且仅当 2k? ? x ? 2k? ?

?
2

? k ? Z ? 时, f ? x ? ? 0
3 1 ,- ),则角α 的正弦值为( 2 2
C.- )

10.已知角α 的终边上一点的坐标为(

A.-

3 2

B.

3 2
)

1 2

D.

1 2

tan1050 ? 1 11. 的值为( tan1050 ? 1
A.

3 3

B.-

3 3

C. 3

D.- 3

12.为了得到函数 y=2sin2x 的图象,可将函数 y=4sin ? x ? 象( )

? ?

??

?? ? ? ·cos ? x ? ? 的图 6? 6? ?

? 个单位 3 ? C.向右平移 个单位 6
A.向右平移

? 个单位 3 ? D.向左平移 个单位 6
B.向左平移

第 II 卷(非选择题)
评卷人 得分 二、填空题 13.下列命题: ① ?ABC 中,若 A ? B ,则 cos2 A ? cos2B ; ②若 A,B,C 为 ?ABC 的三个内角,则 ③已知 an ? sin

4 1 9 的最小值为 ? A B?C ?

19 n? 16 (n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 中的最小项为 ; ? 3 6 2 ? sin n? 6
f ( a ) f ( b) f ( c ) ; ? ? a b c

④若函数 f ( x ) ? log2 ( x ? 1) ,且 0 ? a ? b ? c ,则 ⑤函数 f ( x ) ?

x 2 ? 2 x ? 5 ? x 2 ? 4 x ? 13 的最小值为 29 .

其中所有正确命题的序号是 14 . 已 知

4 4 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ? 5 5



? 3? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? ? 2 ?



?? ? (? ? ? ) ? ? , ? ? ,则 sin 2? ? ?2 ?
15.数列 ? an ? 的首项为 a1 ,前 n 项和为 S n ,若 S n , an ,1 成等差数列,则 an ? 16.若θ 角的终边与 _____. 评卷人 得分 三、解答题 17.在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a 、b 、 c 成等比数列,

8? ? 的终边相同,则在[0,2π ]内终边与 角的终边相同的角是 5 4

3 . 4 1 1 (Ⅰ)求 的值; ? tan A tan C ??? ??? 3 ? ? (Ⅱ)设 BA ? BC ? ,求 a 、 c 的值. 2
且 cos B ? 18. 已知定点 O ? 0,0 ? ,A ? 3,0 ? , 动点 P 到定点 O 距离与到定点 A 的距离的比值是 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (Ⅱ)当 ? ? 4 时,记动点 P 的轨迹为曲线 D . ①若 M 是圆 E : ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 64 上任意一点,过 M 作曲线 D 的切线, 切点是 N ,
2 2

1

?

.

求 MN 的取值范围;

②已知 F , G 是曲线 D 上不同的两点,对于定点 Q(?3,0) ,有 QF ? QG ? 4 .试问无论 直线 FG 能恒和一个定圆相切吗?若能, 求出这个定圆的方程; F ,G 两点的位置怎样, 若不能,请说明理由. 19.数列 ? an ? 满足 an ? 2an ?1 ? 2n ? 1(n ? N * , n ? 2) ,且 a3 ? 25 . (1)求 a1 , a2 (2)是否存在实数 t,使得 bn ?

1 a ? t ? (n ? N * ) ,且{ bn }为等差数列?若存在,求出 n ? n 2

t 的值;若不存在,说明理由. 20.已知某海滨浴场的海浪高达 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作 y=f(t).下表是某日各时的浪高数据. t(时) y(米) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acosω t+b. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acosω t+b 的最小正周期 T、振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一 天内的上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有多长时间可供冲浪者进行运动? 21.设函数 f(x)= 3 cos ω x+sinω xcosω x+a(其中ω >0,a∈R),且 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为 (1)求ω 的值; (2)如果 f(x)在区间 ? ?
2

? . 6

? ? 5? ? 上的最小值为 3 ,求 a 的值. , ? 3 6 ? ?

22.设定义在 R 上的函数 f ? x ? ,满足当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ,且对任意 x, y ? R ,有

f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? , f ?1? ? 2
(1)解不等式 f 3 x ? x (2)解方程 ? f ? x ? ? ? ? ?
2

?

2

??4

1 f ? x ? 3? ? f ? 2 ? ? 1 2

参考答案 1.D 【解析】 试题分析:依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为 A 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为 B; 若俯视图为 D,则正视图中应有虚线,故该几何体的俯视图不可能是 D 若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱, 下面的几何体为正四棱柱时, 俯视图 为 C; 故选 D 考点:三视图 点评:简单题,三视图问题,关键是理解三视图的画法规则,应用“长对正,高平齐,宽相 等” ,确定数据。 2.C 【解析】 试题分析:因为,在等差数列中, S2 , S4 ? S2 , S6 ? S4 成等差数列。 S2 ? 2 , S4 ? 10 , 所以,由 2( S4 ? S2 ) ? S2 ? S6 ? S4 ,解得, S 6 =24,故选 C。 考点:等差数列的求和公式 点评:简单题,在等差数列中, S2 , S4 ? S2 , S6 ? S4 成等差数列。多掌握些“小结论” ,有助 于灵活解题。 3.B 【解析】 试题分析:依题意,在三角形 ABC 中, AC ? 60 ,角 B=45°,角 BAC=45°-15°=30°, 所以由正弦定理得, BC ?

AC sin 300 ? 30 2 ,故选 B。 sin 450

考点:正弦定理的应用 点评:简单题,利用三角形内角关系,确定角创造了应用正弦定理的条件。 4.D 【解析】 试题分析:画出可行域及直线 2 x ? y ? 0 ,平移直线 2 x ? y ? 0 ,当直线经过点 A(3,-3) 时,直线的纵截距最小,所以, z ? 2 x ? y 取得最大值 9,选 D。

考点:简单线性规划问题 点评:简单题,简单线性规划问题,解答步骤是“画,移,解,答” 。本题中 y 的系数为负 数,应特别注意平移的方向。 5.D 【解析】 试题分析:在等差数列中,若 m ? n ? p ? q, 则 am ? an ? a p ? aq 。 因为,两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

An 7n ? 45 , ? Bn n?3

n(a1 ? a2 n ?1 ) A an 2an 7(2n ? 1) ? 45 7n ? 19 12 2 所以, = , ? ? ? 2 n ?1 ? ?7? n(b1 ? b2 n ?1 ) B2 n ?1 bn n ?1 n ?1 2bn (2n ? 1) ? 3 2
为使

an 为整数,须 n+1 为 2,3,4,6,12,共 5 个,故选 D。 bn

考点:等差数列的性质,等差数列的求和公式。 点评:中档题,在等差数列中,若 m ? n ? p ? q, 则 am ? an ? a p ? aq 。本题较为典型。 6.B 【解析】 试题分析: l1 与 l2 互相垂直的条件是,a×1+1×(-a)=0,所以,①正确; 由直线系方程,知,②当 a 变化时, l1 与 l2 分别经过定点 A(0,1)和 B(-1,0),正确; 当 a ? 0 时,由 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 1 ? 0 两方程消去 a,

并整理得, x ? y ? x ? y ? 0 ,即 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ?
2 2

1 2

1 2

1 ,表示以 AB 为直径的圆(除去 2

原点),结合选项可知选 B。 考点:直线系方程,圆的方程。 点评:中档题,本题综合性较强,较全面考查了两直线的位置关系,直线系的概念以及圆的 方程。 7.C 【解析】 试题分析:因为,奇函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? 所以当 x ? 1时,f ? x ? ? 0, f ? ? x ?

? 上为增函数, f (?1) ? 0

f ( x) ? f ( ? x) ? 0; x

0 ? x ? 1, 时 f ( x) ? f ? ? x ? ? 0,

f ( x) ? f ? ? x ? x

?0;

故选 C。 考点:函数的奇偶性、单调性 点评:简单题,此类问题往往借助于函数图像分析。奇函数的图象关于原点成中心对称。 8.B 【解析】 试题分析:设 AB ? 1 BE ? x,CE ? 1 ? x , , 则 AE ? 1 ? x 2,EF ?

4 2 2 2 AE , CF ? EF 2 ? CE 2 ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? , 9 3

AB CE 1 1 ? x , ? , ? BE CF x CF ??? ? ? 1 2 ??? 解得 x ? ,所以 BC ? ? CE , 3 3

? ABE ?? ECF ,

故选 B。 考点:平面向量的应用 点评:简单题,平面向量在平面几何中的应用,一般借助于图形,发现向量之间的关系,利 用向量的线性运算,加以解答。 9.D 【解析】 试题分析:本题给出的函数可以描述为 cos x和sin x 中取较小的值。 可以先大致画出题目中的函数图象, 如图:图中的细线分别是 cos x,sin x 的图象, 粗线为 f ( x) 的图像。

8

6

4

2

10

5

5

10

y = f(x)
2

4

6

从图象中可以判断 D 正确。

cos 下边说明各个选项: 中 1 包含于值域之内, A 则在 f ( x) ? 1时, x和sin x 至少有一个为 1,
并且是较小的那个。令 f ( x) ? cos x ? 1, 则x ? 2k? ,sin x ? 0; 这与其取法矛盾,A 错误。 B 中, sin x ? ?1 时,

x ? 2k? ?

3? , k ? Z , f ( x) ? ?1 这与题面“当且仅当 x ? ? 2k ? 1? ? , k ? Z ”冲突。B 错误。 2

C 中,若题面正确,则有 f ( x) ? f ( x ? ? ), 而 f (0) ? min ?sin x, cos x? ? 0, f (? ) ? min ?sin x, cos x? ? ?1 ,所以题面错误。 D 中, f ( x) ? 0, 则sin x ? 0,cos x ? 0 ,此时 x 在第一象限,选 D。 考点:三角函数的图象和性质 点评:中档题,正确理解函数的意义,画出 cos x,sin x 的图象,是解题的关键。 10.A 【解析】 试题分析: 因为, 角α 的终边上一点的坐标为(

1 2 3 2 3 1 ) ? 1, , - ), 所以, r= ( ) ? ( ? 2 2 2 2

sin ? ?

3 y =- ,选 A。 2 r

考点:三角函数的定义
2 2 点评:简单题,角 ? 终边上一点 P 的坐标(x,y),r=|OP|= x ? y ,则 sin ? ?

y . r

11.C 【解析】

tan1050 ? 1 tan1050 ? tan 450 ? tan(1050 ? 450 ) ? tan 600 ? 3 ,选 C。 试题分析: = 0 0 0 tan105 ? 1 tan 45 tan105 ? 1
考点:两角和差的正切公式 点评:简单题,通过“1”的代换,创造应用公式的条件,是常见变形技巧。

12.C 【解析】 试题分析:因为,y=4sin ? x ?

? ?

??

?? ? ?? ? ? ? ·cos ? x ? ? = 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin(2 x ? ) ,所以, 6? 3 6? 6? ? ?

为了得到函数 y=2sin2x 的图象, 只需将 y=4sin ? x ?

? ?

??

?? ? ?? ? ? ? ? ·cos ? x ? ? = 2sin 2 ? x ? ? ? 2sin(2 x ? ) 向右平移 个单 6? 3 6? 6? 6 ? ?

位,故选 C。 考点:二倍角的正弦,三角函数图象的变换。 点评:小综合题,为研究三角函数的图象和性质,往往利用三角公式首先化简。函数图象的 平移遵循“左加右减,上加下减” 。 13.②③ 【解析】 试题分析:① △ ABC 中 , 若 A< B, 则 a< b, 由 正 弦 定 理
2

a b ? s i nA s i n B
2

得 0< sinA< sinB, 又 cos2A=1-2sin A, cos2B=1-2sin B, 所 以 cos2A> cos2B, ① 错 误 . ② 因 为 A+B+C=π , α =A, β =B+C, α +β =π 所以

? ?? =1, ?
4

原式等价于

?

?

1

?

?(

4

?

?

1

?

) ?1=(

4

?

?

?

1 ? ?? )

?

=

1

?

(5 ?

? 4? 1 ? 4? 9 ? ) ? (5 ? 2 ? )? , ? ? ? ? ? ?

当且仅当

? 4? , 即 α =2β 时 取 等 号 . 所 以 ② 正 确 . ? ? ?
n? n? 16 n? 16 =2+ sin ≤3, ? ? ? 2 , 因 为 1≤ 2 ? sin n? n? 6 2 ? sin 6 2 ? sin 6 6 6

③ 因 为 an ? sin

n? 16 , 则 1≤ t≤ 3. 因 为 函 数 y=t+ -2 在 区 间 ( 0, 4) 上 单 调 递 6 t 16 19 减 ,所 以 在 [1,3]上 单 调 递 减 ,因 此 ,当 t=3 时 ,函 数 有 最 小 值 3+ -2= ,则 3 3 19 对 应 数 列 {a n }中 的 最 小 项 为 ,所以③正确. 3 f ( x) ④ 令 g( x) = , 则 函 数 g( x) 的 几 何 意 义 为 曲 线 上 点 与 原 点 连 线 斜 率 的 大 x f (a) f (b) f (c) 小.由题意可知 , 分 别 看 作 函 数 f( x) =log 2 ( x+1) 图 象 上 的 , a b c
所 以 设 t= 2 ? sin

点 ( a, f( a) ) , ( b, f( b) ) , ( c, f( b) ) 与 原 点 连 线 的 斜 率 , 由 图 象 可知,

f ( a) f ( b) f ( c) ,所 以 ④ 错 误 . ? ? a b c
2 x ? 2 x? 5 ? 2

⑤ 因 为 , f ( x)?

x ? 4 x ?1 3 ?

2 2 (x ? 1 ) ? ( 02 2 )? x (? ?

2 ) ,0 ? 2( ?

3)

问 题 转 化 成 点 P( x, 0) 到 A( 1, 2), B( 2, 3) 距 离 之 和 的 最 小 值 。 原 式 等 价 为 |PA|+|PB|的 最 小 值 , 找 出 点 A 关 于 x 轴 的 对 称 点 D( 1, -2) . 则 |PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥ |PD|, 所 以 最 小 值 为 |PD|=

? 2 ?1? ? ? ?2 ? 3?
2

2

? 26 .

所以,⑤错误.故答案为:②③. 考点:正弦定理的应用,均值定理的应用,对号函数的性质,对数函数的图象和性质。 点评:难题,本题综合性较强,难 度 较 大 。灵 活 的 对 问 题 实 施 转 化 ,是 解 题 的 关 键 。 14.

24 25
3 3? 3 ?? ? , 2? ),sin ?? ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? , ? ? ,sin ?? ? ? ? ? , 5 2 5 ?2 ?

【解析】 试题分析: 因为,? ? ? ? (

3 ? 4 ? 3 4 24 , sin 2? ? sin(a ? ? ? a ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? 5 ? 5 5 25
故答案为

24 25

考点:和与差的三角函数,三角函数的同角公式。 点评: 中档题, 应用两角和与差的三角函数公式时, 变角是常用技巧。 2? ? a ? ? ? a ? ? 如 等。 15. 2
n?1

【解析】 试题分析:分别以 n, n ? 1,1 代入原式,可以得到数列的一个递推关系式,进而得到通项公式 的结果。 2an ? Sn ? 1, 2an ?1 ? Sn ?1 ? 1, 所以 2 ? an ? an ?1 ? ? Sn ? Sn ?1 ? an , an ? 2an ?1 ,所以 这是一个以 2 为公比的等比数列。把 1 代入,得, 2a1 ? a1 ? 1, a1 ? 1 ,得到通项公式为

an ? 2n?1 .
考点:数列的递推公式,等比数列的通项公式。 点评:中档题,当给定数列的 an , S n 关系时,通过“赋值” ,进一步确定数列的特征,是常 用的手段之一 16.

2? 9? 7? 19? , , , . 5 10 5 10

【解析】 试题分析:依题意, ? =2kπ + ∴

?

4 ? 又 ∈[0,2π ], 4 2? ∴k=0, ? = ; 5 9? k=1,α = ; 10 7? k=2,α = ; 5 19? k=3,α = . 10 2? 9? 7? 19? 故答案为: , , , . 5 10 5 10
考点:终边相同的角 点评:简单题,与角 ? 终边相同的角的集合为 {? | ? ? 2k? ? ? , k ? z} 。对指定范围的角, 只需指定 k 的值。 17. (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)? a 、 b 、 c 成等比数列,?b2 ? ac ,?sin2 B ? sin Asin C 2分

?

k? 2? ,k∈z, ? 2 5

8? ,k∈z, 5

4 7 .(Ⅱ) a ? 1, c ? 2 或 a ? 2, c ? 1 . 7

1 1 cos A cos C cos Asin C ? sin A cos C ? ? ? ? tan A tan C sin A sin C sin Asin C sin( A ? C ) sin B 1 4 7 = 6分 ? ? ? 7 sin Asin C sin Asin C sin B ??? ??? 3 ? ? 3 3 (Ⅱ)? BA ? BC ? ,即 ac cos B ? ,而 cos B ? , 4 2 2 所以 ac ? 2 ①, b2 ? 2 8分 由余弦定理,2= a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,?a 2 ? c2 ? 5 ,② 由①②解得 a ? 1, c ? 2 或 a ? 2, c ? 1 12 分
?

10 分

考点:等比中项,平面向量的数量积,两角和与差的三角函数,正弦定理、余弦定理的应用。 点评:中档题,本题综合性较强,综合考查等比中项,平面向量的数量积,两角和与差的三 角函数,正弦定理、余弦定理的应用。思路比较明确,难度不大。
2 ? 3 ? ? 3 ? ? 2 x? 18. (Ⅰ) ? ? , ? ?y ?? ? ?1? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 2

3 ? 3 ? ? ,0 ? 为圆心, 方程表示的曲线是以 ? ? 为半径的圆. ? ?1 ? ? ?1 ?
(Ⅱ)当 ? ? 4 时,曲线 D 的方程是 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,曲线 D 表示圆,圆心是 D ? ?1,0 ? ,

半径是 2 . ① 5 ≤ MN ≤ 165 . ②动直线 FG 与定圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1相切. 【解析】

) 试题分析: (Ⅰ) 设动点 P 的坐标为 ? x, y ? , 则由 ? PO ? PA , ? ( x 2 ?y 2 ) ?( x ?3 2? y 2 得
y



M · E · N ·O D x

整理得:

? ? ? 1? x2 ? ? ? ? 1? y 2 ? 6 x ? 9 ? 0 .

?? ? 0 , 当 ? ? 1 时,则方程可化为: 2x ? 3 ? 0 ,故方程表示的曲线是线段 OA 的垂直平分线; ?
2 ? 3 ? ? 3 ? ? 2 当 ? ? 1 时,则方程可化为 ? x ? ? , ? ?y ?? ? ?1? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 2

3 ? 3 ? ? ,0 ? 为圆心, 即方程表示的曲线是以 ? ? 为半径的圆. ? ?1 ? ? ?1 ?
(Ⅱ)当 ? ? 4 时,曲线 D 的方程是 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 故曲线 D 表示圆,圆心是 D ? ?1,0 ? ,半径是 2 . ①由 DE ?

5分

? 2 ? 1?

2

? ? 4 ? 0 ? ? 5 ,及 5 < 8 - 2 有:
2

两圆内含,且圆 D 在圆 E 内部.如图所示,由 MN ? MD ? DN 有: MN ? MD ? 4 ,
2 2 2 2 2

故求 MN 的取值范围就是求 MD 的取值范围.而 D 是定点,M 是圆上的动点,故过 D 作圆

5 E 的 直 径 , 得 MD min ? 8 ? 5 ? 3 , MD max ? 8 ? 5 ? 13 , 故 5 ≤ MN ≤ 1 6 ,
5 ≤ MN ≤ 165 .
9分

2

②设点 Q 到直线 FG 的距离为 d , ?FQG ? ? , 则由面积相等得到 QF ? QG sin ? ? d FG ,且圆的半径 r ? 2 .

即d ?

4sin ? 4sin ? ? ? 1. 于是顶点 Q 到动直线 FG 的距离为定值, FG 2r sin ?

即动直线 FG 与定圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1相切. 考点:圆的方程,圆与圆的位置关系,直线与圆的位置关系。 点评:难题,本题确定轨迹方程,利用了“直接法” ,对于参数 ? 的讨论,易出现遗漏现象。 本题确定点到直线的距离,转化成面积计算,不易想到。 19. (1) a1 ? 7 , a2 ? 9 。 (2) t ? 1, d ? 1 , bn ? 3 ? n , an ? 2 【解析】 试题分析: (1) a3 ? 2a2 ? 8 ? 1 ? 25, a2 ? 9
n

?3 ? n? ?1。

a2 ? 2a1 ? 4 ? 1 ? 9, a1 ? 7
(2)设存在 t 满足条件,则由 bn 为等差,设

1 1 a ? t ? ? n ?1 ? an ?1` ? t ? ? d n ? n 2 2 1 1 t 则 n an ? n ?1 an ?1 ? n ?1 ? d 2 2 2 n an ? 2an ?1 ? t ? 2 d 而an ? 2an ?1 ? t ? 2n 所以t ? 1, d ? 1
求 ? an ? 的通项公式. 分析:可以直接使用 2 的结论简化计算。 解答: 在(2)中, b1 ?

1 ? a1 ? 1? ? 4, d ? 1, 2

bn ? 3 ? n ,

1 ? an ? 1? ? 3 ? n ? an ? 2n ? 3 ? n ? ? 1 。 2n

考点:数列的递推公式,等差数列的通项公式。 点评:中档题,对于存在性问题,往往需要先假定存在,利用已知条件探求得到假设,从而 肯定存在性。本题首先假设出公差 d 和 t,通过构造、变换已知等式,又经过对比,得到公 差 d 和 t。 20.(1) y=

1 ? cos t+1. 2 6

(2)在规定时间上午 8:00 至晚上 2:00 之间,有 6 个小时时间可供冲浪者运动,即上午 9: 00 至下午 15:00. 【解析】

试题分析:(1)由表中数据,知周期 T=12, ∵ω =

2? 2? ? = = . T 12 6

由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5. 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0. ∴A=0.5,b=1,∴振幅为 ∴y=

1 ? cos t+1. 2 6

1 , 2

(2)由题意知,当 y>1 时才可对冲浪者开放.

1 ? ? cos t+1>1,∴cos t>0. 2 6 6 ? ? ? ∴2kπ - < t<2kπ + , 2 6 2
∴ 即 12k-3<t<12k+3. ∵0≤t≤24,故可令 k 分别为 0、1、2,得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定时间上午 8:00 至晚上 20:00 之间,有 6 个小时时间可供冲浪者运动,即上午 9: 00 至下午 15:00. 考点:函数模型,三角函数的图象和性质。 点评: 中档题, 作为一道实际应用问题, 首先应 “审清题意, 明确函数模型, 解答数学问题” 。 余弦形函数的图像和性质, 可类比正弦型函数的图象和性质加以研究。 本题与不等式解法相 结合,注意将数字转化成时刻。 21.(1)ω = 【解析】 试题分析:(1)f(x)=

3 ?1 1 .(2) a= . 2 2

3 3 1 cos2ω x+ sin2ω x+ +a 2 2 2

=sin ? 2? x ?

? ?

??

3 +a. ?+ 2 3?

依题意得 2ω ·

1 ? ? ? + = ,解得ω = . 2 6 3 2
? ?

(2)由(1)知,f(x)=sin ? x ?

??

3 +a. ?+ 2 3?

又当 x∈ ? ?

? ? 7? ? ? ? 5? ? , , ? 时,x+ ∈ ? 0, 3 ? 6 ? ? ? 3 6 ?

故?

1 ?? ? ≤sin ? x ? ? ≤1, 3? 2 ?

从而 f(x)在 ? ?

3 1 ? ? 5? ? +a. , ? 上取得最小值 ? + 2 2 ? 3 6 ?

由题设知 ?

3 3 ?1 1 + +a= 3 ,故 a= . 2 2 2

考点:和差倍半的三角函数,三角函数的图象和性质。 点评: 中档题, 本题较为典型, 即首先利用和差倍半的三角函数公式, 将三角函数式 “化一” , 进一步研究函数的图像和性质。本题(2)给定了自变量的较小范围,应注意确定 ? x ? ? 的 范围,进一步确定函数的最值。 22.(1)先证 f ? x ? ? 0 ,且单调递增, ? x |1 ? x ? 2? ;(2) x ? 0 . 【解析】 试题分析:(1)先证 f ? x ? ? 0 ,且单调递增, 因为 f ? x ? ? f ? x ? 0 ? ? f ? x ? f ? 0 ? , x ? 0 时 f ? x ? ? 1 , 所以 f ? 0 ? ? 1 .

? x x ? ? ? x ?? 又 f ? x ? ? f ? ? ? ? ? f ? ?? ? 0 , ? 2 2 ? ? ? 2 ??
假设存在某个 x0 ? R ,使 f ? x0 ? ? 0 , 则 f ? x ? ? f ?? x ? xo ? ? xo ? ? f ? x ? xo ? f ? xo ? ? 0 与已知矛盾,故 f ? x ? ? 0 ? ? 任取 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 , f ? x2 ? x1 ? ? 1 ,

2

? 所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? = f ?? x2 ? x1 ? ? x1 ? ? f ? x1 ? ? ? = f ? x2 ? x1 ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? = f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ? 0 . ?
所以 x ? R 时, f ? x ? 为增函数. 解得: ? x |1 ? x ? 2? (2) f ?1? ? 2 , f ? 2 ? ? 2 , f ? 3? ? 8 ,原方程可化为: ? f ? x ? ? ? 4 f ? x ? ? 5 ? 0 , ? ?
2

解得 f ? x ? ? 1 或 f ? x ? ? ?5 (舍) 考点:函数的奇偶性、单调性,抽象函数、抽象不等式的解法, “赋值法” 。 点评:难题,涉及抽象不等式解法问题,往往利用函数的奇偶性、单调性,将抽象问题转化 成具体不等式组求解,要注意函数的定义域。抽象函数问题,往往利用“赋值法” ,通过给 自变量“赋值” ,发现结论,应用于解题。本题较难,构造结构形式,应用已知条件,是解 答本题的一大难点。


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