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2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练13 空间线面位置关系的推理与证明 理


训练 13 空间线面位置关系的推理与证明
(时间:45 分钟 满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.l1、l2、l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( A.l1⊥l2,l2⊥l3? l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3? l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3? l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3

共面 2.(2012·荆门等八市联考)设 l,m,n 表示不同的直线,α 、β 、γ 表示不同的平面,给 出下列四个命题: ①若 m∥l, m⊥α , l⊥α ; 且 则 ②若 m∥l, m∥α , l∥α ; 且 则 ③若 α ∩β =l, ∩γ β =m,γ ∩α =n,则 l∥m∥n;④若 α ∩β =m,β ∩γ =l,γ ∩α =n,且 n? β ,则 ).

l∥m.
其中正确命题的个数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2012·潍坊一模)在空间中,l、m、n 是三条不同的直线,α 、β 、γ 是三个不同的平 面,则下列结论错误的是 ( A.若 α ∥β ,α ∥γ ,则 β ∥γ B.若 l∥α ,l∥β ,α ∩β =m,则 l∥m C.α ⊥β ,α ⊥γ ,β ∩γ =l,则 l⊥α D.若 α ∩β =m,β ∩γ =l,γ ∩α =n,l⊥m,l⊥n,则 m⊥n 4.(2012·泉州模拟)下列四个条件: ①x,y,z 均为直线;②x,y 是直线,z 是平面;③x 是直线,y,z 是平面;④x,y,z 均为平面. 其中,能使命题“x⊥y,y∥z? x⊥z”成立的有 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ). ). ).

5.如图,在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB1,BC1 的中点,则以下结论中不成立 的是 ( ).

1

A.EF 与 BB1 垂直 B.EF 与 BD 垂直 C.EF 与 CD 异面 D.EF 与 A1C1 异面 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O,剪去△AOB,将剩余部 分沿 OC、 折叠, OA、 重合, OD 使 OB 则以 A、 、 、 、 为顶点的四面体的体积为________. B C D O

7.(2012·石家庄模拟)如图,AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆周上(异于点 A,B),直线 PA 垂 直于圆 O 所在的平面,点 M 为线段 PB 的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面 MOB;②MO∥平面 PAC;③OC⊥平面 PAC;④平面 PAC⊥平面 PBC.

其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号). 8.如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一 动点.现将△AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC.在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足.设 AK=t,则 t 的取值范围是________.

2

三、解答题(本题共 3 小题,共 35 分) 9.(11 分)如图所示,在四棱锥 P ?ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,E、F 分别为

PC、BD 的中点,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA=PD=

2 AD. 2

(1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD. π 10.(12 分)(2011·江西)如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=BC=2,P 为 AB 边上一动点,PD 2 ∥BC 交 AC 于点 D,现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′,使平面 PDA′⊥平面 PBCD.

(1)当棱锥 A′ ?PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A′C 的中点,求证:A′B⊥DE. 11.(12 分)如图(1)所示,在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,

E,F,G 分别为线段 PC,PD,BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面 PDC⊥平面 ABCD(如图
(2)).

(1)求证:AP∥平面 EFG; (2)在线段 PB 上确定一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ,试给出证明. 参考答案 训练 13 空间线面位置关系的推理与证明 1.B [对于 A,直线 l1 与 l3 可能异面;对于 C,直线 l1、l2、l3 可能构成三棱柱三条侧棱所 在直线时而不共面;对于 D,直线 l1、l2、l3 相交于同一个点时不一定共面.所以选 B.]

3

2.B [①正确;②错误,没有明确 l 与 α 的具体关系;③错误,以墙角为例即可说明 ; ④正确,可以以三棱柱为例说明.] 3.D 4.C [①③④能使命题“x⊥y,y∥z? x⊥z”成立.] 5.D 6.解析 折叠后的四面体如图所示.OA、OC、OD 两两相互垂直,且 OA=OC=OD=2 2,体 1 1 1 8 2 3 积 V= S△OCD·OA= × ×(2 2) = . 3 3 2 3

答案

8 2 3

7.解析 ①错误,PA? 平面 MOB;②正确;③错误,否则,有 OC⊥AC,这与 BC⊥AC 矛盾; ④正确,因为 BC⊥平面 PAC. 答案 ②④ 8.解析 如图,过 D 作 DG⊥AF,垂足为 G,连接 GK,∵平面 ABD⊥平面 ABC,

DK⊥AB,∴DK⊥平面 ABC,

∴DK⊥AF.∴AF⊥平面 DKG, ∴AF⊥GK. 容易得到,当 F 接近 E 点时,K 接近 AB 的中点,当 F 接近 C 点时,K 接近 AB 的四等分 1 点.∴t 的取值范围是 ,1. 2 答案 1 ,1 2

9.证明 (1)连接 AC,则 F 是 AC 的中点,E 为 PC 的中点,故在△CPA 中,EF∥PA, 又∵PA? 平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. (2)∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 又∵CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD,
4

∴CD⊥PA. 又 PA=PD= 2 AD, 2

π ∴△PAD 是等腰直角三角形,且∠APD= , 2 即 PA⊥PD.又∵CD∩PD=D,∴PA⊥平面 PCD. 又∵PA? 平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PCD. 10.(1)解 令 PA=x(0<x<2),则 A′P=PD=x,BP=2-x. 因为 A′P⊥PD,且平面 A′PD⊥平面 PBCD, 故 A′P⊥平面 PBCD. 1 1 1 3 所以 VA′PBCD= Sh= (2-x)·(2+x)x= (4x-x ). 3 6 6 1 3 令 f(x)= (4x-x ), 6 1 2 2 由 f′(x)= (4-3x )=0,得 x= 3(负值舍去). 6 3

? 2 ? 当 x∈?0, 3?时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ? 3 ?
当 x∈?

?2 3,2?时,f′(x)<0,f(x)单调递减. ? ?3 ?

2 所以当 x= 3时,f(x)取得最大值. 3 2 3 故当 VA′PBCD 最大时,PA= . 3 (2)证明 设 F 为 A′B 的中点, 如图所示,连接 PF,FE, 1 1 则有 EF 綉 BC,PD 綉 BC. 2 2 所以 EF 綉 PD. 所以四边形 EFPD 为平行四边形. 所以 DE∥PF. 又 A′P=PB,所以 PF⊥A′B,故 DE⊥A′B. 11.(1)证明 ∵E、F 分别是 PC,PD 的中点, ∴EF∥CD∥AB.又 EF?平面 PAB,AB? 平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB. 同理:EG∥平面 PAB. ∴平面 EFG∥平面 PAB.
5

又∵AP? 平面 PAB,∴AP∥平面 EFG, (2)解 取 PB 的中点 Q,连接 AQ,QD,则 PC⊥平面 ADQ. 证明如下: 连接 DE,EQ, ∵E、Q 分别是 PC、PB 的中点, ∴EQ∥BC∥AD. ∵平面 PDC⊥平面 ABCD,PD⊥DC, ∴PD⊥平面 ABCD.∴PD⊥AD,又 AD⊥DC, ∴AD⊥平面 PDC,∴AD⊥PC. 在△PDC 中,PD=CD,E 是 PC 的中点. ∴DE⊥PC,∴PC⊥平面 ADEQ,即 PC⊥平面 ADQ.

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