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2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及解答


2007 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
三 题 号 一 二 13
得 分

总 成 绩 14 15 16

评 卷 人 复 核 人

考生注意:1.本试卷共三大题(16 小题) ,全卷满分 150 分. 考试时间:120 分钟. 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3.解题书写不要超出装订线. 4

.不能使用计算器. 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 得 分 评卷人 本题共有 6 小题,每题均给出 A、B、C、D 四个结论, 其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填 在题的括号内. 每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的 字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 答:[ (B)有最小正周期 ? (D)无最小周期
2

1. 已知函数 y ? sin x ,则
2

]

(A)有最小正周期 2? (C)有最小正周期
2

? 2

2. 关于 x 的不等式 x ? ax ? 20a ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,则 a 的最大值与最小值 的和是 (A) 2 答:[ (B) 1 (C) 0 (D) ?1 ]

3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线的 三点是 (A) A 、 B 、 D (C) B 、 C 、 D 答:[ (B) A 、 B 、 C (D) A 、 C 、 D ]

??? ?

??? ?

??? ?

4. 设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 (A) ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n (C) ? ? ? , ? ? ? , m ? ?

答:[

]

(B) ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? (D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

2 1, 2 ,并且 5. 若 m 、 n ? x x ? a2 ? 10 ? a1 ? 10 ? a0 ,其中 ai ??1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7? , i ? 0,

?

?

m ? n ? 636 ,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为
(A) 60 个 (B) 70 个 (C) 90 个

答:[ (D) 120 个

]

6. 已知 f ( x) ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ? x ?1 ? x ? 2 ? ?? x ? 2007 ( x ?R) , 且 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1), 则 a 的值有 (A) 2 个 (B) 3 个 (C) 4 个 (D)无数个 答:[ ]

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 得 分 评卷人 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上.

7. 设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 8. 设 f ( x) ? loga ( x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2, 1) ,它的反函数的图象经过点

.

(2, 8) ,则 a ? b 等于
9. 已知函数 y ? f ( x) 的图象如图,则满足 f (

.

2 x2 ? x ?1 ) ? f (lg( x 2 ? 6 x ? 20)) ? 0 的 2 x ? 2x ? 1

x 的取值范围为

. y

O

1

x

10. 圆锥曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 10 ? x ? y ? 3 ? 0 的离心率是
2 2

.

11. 在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 , sin C ? .

2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC 的面积为 3

12. 设命题 P : a ? a ,命题 Q : 对任何 x ?R,都有 x ? 4ax ? 1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中
2 2

有且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是

.

三、解答题(本题满分 60 分,共 4 小题,每题各 15 分)

得 分

评卷人 13. 设不等式组 ?

? x ? y ? 0, 表示的平面区域 ?x ? y ? 0

为 D . 区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0 和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2, 0) 的直线 l 与 曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.

14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,面 AAC 1 1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1 A1 ? AAC 1 1C , A 1B ? AB ? AC ? 1 .
求证: (1) AA1 ? BC1 ; A

B A1

B1

ABC 的距离. (2)求点 A 1 到平面
C C1

15. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?3 ? an ? 3 , an? 2 ? an ? 2 . 求 a2007 .

16. 已知平面上 10 个圆,任意两个都相交. 是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证明 你的结论.


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