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3.1.2 指数函数教案


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龙文学校个性化辅导教案提纲 ggggggggggggangganggang 纲 学生: 时间: 年 月 日 时段:

一、授课目的与考点分析:授课目的:
考点分析:

二、授课内容

一)指数函数的定义
x

指数函数

一般地,函数 y ? a ( a >0 且 a ≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 提问:在下列的关系式中,哪些不是指数函数,为什么? (1) y ? 2 (5) y ? x
x?2

(2) y ? (?2) (6) y ? 4 x
2

x

(3) y ? ?2 (7) y ? x
x

x

(4) y ? ?
x

x

2

(8) y ? (a ? 1)
x

( a >1,且 a ? 2 )
x ?2

在理解指数函数的概念时,应抓住定义的“形式” ,像 y ? 2 ? 3 , y ? x 2 , y ? 3 式y?a
x

1

, y ? 2x ?1 等函数均不符合形

? a ? 0且a ? 1? ,因此,它们都不是指数函数.

(二)指数函数的图像和性质

?1? x 注:指数函数 y ? a 与y ? ? ? (a ? 0且a ? 1) 的图像关于 y 轴对称。 ?a?
(三)指数函数的底数与图像的关系 指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的 则 0 ? c ? d ?1? a ? b , 在 y 轴右侧,图像从下到上相应的底数也由小变大, 在 y 轴左侧,图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在 y 轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大 在第一象限内, “底大图高” 考点一:比较数值的大小
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x

关系 如图所示,

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比较大小常用的方法有:①作差比较法 ②作商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法, 在比较两个幂的大小时,除上述一般方法外,还应注意以下情况: 1) 对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,直接利用指数函数的单调性来判断。 2) 对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较 ,可利用指数函数的图像来判断。 3) 对于底数和指数均不同的两个幂的大小比较,可以利用中间值来比较 4) 对于三个及以上的数进行大小比较,则应先根据值的大小, (特别是 0 和 1)进行分组,再比 例 1.比较大小 (1) 1.9
??

较各组的大小。

与 ?3 1.9
与0.93.1

(2) 0.7

3

与0.33
1 ? 1 ? 1 4

(3) 1.7

0.3

?3? 3 ?3? 4 ?3? (4) ? ? , ? , ? ? ? ?4? ?4? ?2?

?

考点二:指数函数图像过定点问题 例 2.函数 y ? a
x ?3

? 3(a ? 0且a ? 1) 的图象恒过定点____________。
x

例 3.若函数 y ? a ? (b ? 1)(a ? 0, a ? 1) 的图像经过第一、三、四象限,则一定有( ) A. a ? 1且b ? 0 C. 0 ? a ? 1且b ? 0 B. 0 ? a ? 1且b ? 0 D. a ? 1且b ? 1 ( )

例 4.函数 f ( x) ? a x ?b 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是
A. a ? 1, b ? 0 B. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0 考点三:与指数函数有关的复合函数的性质 1.与指数函数有关的复合函数的定义域与值域 (1)函数 y ? a (2)先确定
f ( x)

的定义域与 y ?

f ( x) 的定义域相同。

f ( x) 的值域,再根据指数函数的值域、单调性,可确定 y ? a f ( x ) 的值域

2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域 (2)弄清复合函数是由哪些基本函数复合而成的 (3)分层逐一求解函数的单调性。 (4)求出复合函数的单调区间( “同增异减” ) 例 5.求下列函数的单调区间和值域 (1) y ? 3
? x2 ? x

(2) y ? a

2x

? 2a x ? 1(a ? 0, a ? 1)

【反思归纳】对于简单的复合函数的单调性,应首先弄清所给函数是由哪些基本函数复合而成的,然后再研究各自 区域上的单调性,根据“同增异减”的法则作出判断。 考点四:指数方程:指数中含有未知数的方程
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f ( x)

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? a g ( x ) 型, ? f ( x) ? g ( x)

f (a x ) ? 0 型, ? t ? a x (换元)

a f ( x ) ? b 型, ? f ( x) ? l ogab(取对数)
例 6.解下列方程 (1)解方程 2
?2 x ?14

?1? ?? ? ? 16 ?

x2 ? 2

(2)解方程 3

x

? 32? x ? 8

考点五:指数不等式:指数中含有未知数的不等式,通常把它们变为同底,再运用指数函数的单调性来转化为普 通不等化。 例 7.求不等式的解集

?1? (1) ? ? ?3?

x2 ?8

? 3?2 x

(2) a

x 2 ?5 x

? a x ? 7 (a ? 0且a ? 1)

考点六:函数的单调性与奇偶性 例 8.已知

f ( x) ?

a (a x ? a ? x )(a ? 0且a ? 1) a ?1
2

(1)判断

f ( x) 的奇偶性

(2)讨论

f ( x) 的单调性

(3)当 x ?[?1,1] 时,

f ( x) ? b 恒成立,求 b 的取值范围。

【反思归纳】 (1)函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题,常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题 (2)求参数的范围也是常考内容,难度不大,但极易造成失分,因此对题目进行认真分析,必要的过程不可少, 这也是高考阅卷中十分强调的问题。 例 9.若直线 y ? 2a 与函数 y ? a ? 1 (a ? 0且a ? 1) 的图像有两个公共点,则 a 的取值范围是
x



例 10.已知 a ? 0且a ? 1,

1 f ( x) ? x 2 ? a x ,当 x ? ? ?1,1? 时,均有 f ( x) ? ,则实数 a 的取值范围是 2



三、本次课后作业:
一份卷子

四、学生对于本次课的评价:
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差

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3

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五、教师评定:
1、 学生上次作业评价: ○ 好 ○ 较好 2、 学生本次上课情况评价: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 一般 ○ 差 ○ 差

上次作业完成情况:

课堂表现情况:

知识点掌握情况:

学生签字: ___________

龙文学校教务处签字:

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