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3.2.3直线的一般式方程000


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名 称 条 件 方程 适用范围
有斜率的 直线 有斜率的 直线 不垂直于x、 y轴的直线
不垂直于x、y 轴,且不过原 点的直线

点斜式 点P(x0,y0)和斜率k
斜率k, 斜截式 y轴上的纵截距b

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? kx ? b
y ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

两点式 P1(x1,y1),P2(x2,y2) y 2 ? y1 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b

x a

?

y b

?1

上述四种直线方程,能否写成如下统一形式? ? x+ ? y+ ? =0
y ? y 1 ? k ( x ? x1 )
kx ? ( ?1) y ? y1 ? kx1 ? 0

y ? kx ? b
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1

kx ? ( ?1) y ? b ? 0

x 2 ? x1 ( y ? y ) x ? ( x ? x ) y ? x ( y ? y ) ? y ( x ? x ) ? 0 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1

x a

?

y b

?1

bx ? ay ? ( ? ab) ? 0

上述四式都可以写成直线方程的一般形式: Ax+By+C=0, A、B不同时为0.

Ax ? By ? C ? 0
问:所有的直线都可以用二元一次方程表示? A C x? ①当B≠0时 方程可化为 y ? ? B B A 这是直线的斜截式方程,它表示斜率是 ? B C 在y轴上的截距是 ? 的直线. B y ②当B=0时 l C 方程可化为 x ? ? (A ? 0) x A O C ? A 表示垂直于x轴的一条直线

一、直线的一般式方程:
关于x,y的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (其中A、B不同时为0) 叫做直线的一般式 方程,简称一般式.

二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,

方程表示的直线:
(1)平行于x轴;

y
l

(1) A=0 , B≠0 ,C≠0

o

x

二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,

方程表示的直线:
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;

y
l
(2) B=0 , A≠0 , C≠0

o

x

二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,

方程表示的直线:
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;

y
l
(3) A=0 , B≠0 ,C=0

o

x

二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,

方程表示的直线:
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;

(4)与y轴重合;

y
l
(4) B=0 , A≠0, C=0

o

x

二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,

方程表示的直线:
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;

(4)与y轴重合; (5)过原点;

y
l
(5) C=0,A、B不同时为0

o

x

二、二元一次方程的系数对直线的位置的影响:
在方程Ax+By+C=0中,A,B,C为何值时,

方程表示的直线:
(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;

(4)与y轴重合; (5)过原点;

y

o

(1) A=0 , B≠0 ,C≠0 (2) B=0 , A≠0 , C≠0 (3) A=0 , B≠0 ,C=0 x (4) B=0 , A≠0, C=0 (5) C=0,A、B不同时为0

例. 例2 :已知直线经过点 A(6, ?4), 斜率为 ? , 3

4

求直线的点斜式和一般 式方程 .
4 3

解: 点斜式方程式为 : y ? 4 ? ? ( x ? 6)
化成一般式得 : 4 x ? 3 y ? 12 ? 0
注意 :对于直线方程的一般式,规定:
1)x的系数为正;
2)x,y的系数及常数项一般不出现分数;

3)按含x项,含y项、常数项顺序排列.

(1)如何根据两直线的方程系数之间的关系来 判定两直线的位置关系? l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
A1 A2 B2 C2 A1 B1 C1 l1与l2平行 ? ? A2 B2 C2 A1 B1 l1与l2相交 ? A2 B2 ( 2)当l1 ? l2时,上述方程系数有何 联系? ? B1 ? C1

( B1 ? 0, B2 ? 0, )

l1与l2重合

?2? .l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0

练习1:已知直线l1:x+(a+1)y-2+a=0和
l2:2ax+4y+16=0,若l1//l2,求a的值.

a=1
练习2:已知直线l1:x-ay-1=0和

l2:a2x+y+2=0,若l1⊥l2,求a的值.

a=1或a=0

三、直线系方程:
1)与直线l: ? By ? C ? 0 平行的直线系 Ax 方程为: Ax ? By ? m ? 0 (其中m≠C,m为待定系数)

三、直线系方程:
2)与直线l: ? By ? C ? 0 垂直的直线系 Ax

方程为:Bx ? Ay ? m ? 0 (其中m为待定系数)

练习: 1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限,则( (A) A· B>0,A· C>0 (B) A· B>0,A· C<0 (C) A· B<0,A· C>0 (D) A· B<0,A· C<0
小窍门:

)

C C A ?              ? 一般式方程的横截距为:  纵截距为:  斜率为:? A B B

2、设A、B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且 │PA│=│PB│,若直线PA的方程为x-y+1=0,则 直线PB的方程是( ) A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0 C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0

2、设直线l 的方程为 (m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,分别根据下列 条件确定m的值: (1) l 在X轴上的截距是-3; (2)斜率是-1.

3、求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形面积是6 的直线方程.

小结:
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1

两点坐标

两点式
点斜式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
x a ? y b ?1

两个截距 化成一般式

截距式

Ax+By+C=0

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