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2013高考风向标文科数学一轮课时知能训练:第8章 第2讲 平面向量的数量积)


第2讲

平面向量的数量积

1.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m 的值为( ) 3 3 A.- B. C.2 D.6 2 2 1 1? 2.设向量 a=(1,0),b=? ) ?2,2?,则下列结论中正确的是( 2 A.|a|=|b| B.a· b= 2 C.a∥b D.a-b 与 b 垂直 3.(201

1 年广东广州测试)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.设向 量 m=(a+b,c),n=(a-b,b-c).若 m⊥n,则角 A 的大小为( ) π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6 4.已知 a=(λ,2),b=(-3,5),且 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是( ) 10 10 10 10 A.λ> B.λ≥ C.λ< D.λ≤ 3 3 3 3 → → 2 2 5.已知双曲线 x -y =2 的左、 右焦点分别是 F1, F2,点 P(x0,1)在双曲线上. 则F1P· F2P =( ) A.-12 B.-2 C.0 D.4 3 → → 6.(2011 年广东江门一模)若△ABC 的面积是 2,cosA= ,则AB· AC=______. 5 1 7.设 P 是双曲线 y= 上一点,点 P 关于直线 y=x 的对称点为 Q,点 O 为坐标原点, x → → 则OP· OQ=______. 15 → → → → 8.已知△ABC 中,AB· AC<0,△ABC 的面积 S△ABC= ,|AB|=3,|AC|=5,求∠BAC 4 的大小.

9.已知向量 a=?

-1 ? 1 ?sinx,sinx?,b=(2,cos2x).

π? (1)若 x∈? ?0,2?,试判断 a 与 b 能否平行? π 0, ?,求函数 f(x)=a· (2)若 x∈? b 的最小值. ? 3?

→ → → → 10.在△ABC 中,A(2,3),B(4,6),C(3,-1),点 D 满足:CA· CD=CB· CD. (1)求点 D 的轨迹方程; → → (2)求|AD|+|BD|的最小值.

11.(2011 年广东东莞一模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知向量 A A? A? ? A m=? n=-1. ?2cos 2 ,sin 2 ?,n=?cos 2 ,-2sin 2 ?,m· (1)求 cosA 的值; (2)若 a=2 3,b=2,求 c 的值.

12.(2010 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· OC=0,求 t 的值.

第2讲
1.D

平面向量的数量积
2.D 3.B 4.A

→ 5.C 解析:由题意得 P(± 3,1),双曲线两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),则F1P= → → → 2 (x0+2,1),F2P=(x0-2,1).∴F1P· F2P=(x0+2,1)· (x0-2,1)=x0 -3=3-3=0. 1 3 4 6. 3 解析: ∵△ABC 的面积是 2, ∴ |AB|· |AC|sinA=2.∵cosA= , ∴sinA= .即|AB|· |AC| 2 5 5 3 → → → → =5.∴AB· AC=|AB|· |AC|cosA=5× =3. 5 1? 1 ? 7. 2 解析: 设点 P 的坐标为? 则点 P 关于直线 y=x 的对称点 Q 的坐标为? ?t, t ?, ? t ,t?, → → ∴OP· OQ=2. 1→ → 1 15 1 8.解:∵S△ABC= |AB|· |AC|sin∠BAC= ×3×5×sin∠BAC= ,∴sin∠BAC= . 2 2 4 2 → → ∵AB· AC<0, ∴∠BAC 为钝角,∴∠BAC=150° . -1 1 9.解:(1)若 a 与 b 平行,则有 · cos2x= · 2. sinx sinx π 0, ?,sinx≠0,所以得 cos2x=-2. 因为 x∈? 2 ? ? 这与|cos2x|≤1 相矛盾,故 a 与 b 不能平行. -cos2x 2-cos2x 1+2sin2x 2 1 (2)由于 f(x)=a· b= + = = =2sinx+ , sinx sinx sinx sinx sinx π? 3? ? 又因为 x∈? ?0,3?,所以 sinx∈?0, 2 ?. 1 1 于是 2sinx+ ≥2 2sinx· =2 2, sinx sinx 1 2 当 2sinx= ,即 sinx= 时取等号. sinx 2 故函数 f(x)的最小值等于 2 2. → → → → → → → 10. 解: (1)设 D(x, y), 则CA=(-1,4), CD=(x-3, y+1), CB=(1,7). ∵CA· CD=CB· CD, ∴(-1)· (x-3)+4· (y+1)=(x-3)· 1+(y+1)· 7, 整理得点 D 的轨迹方程为 2x+3y-3=0. 14 21 → → - ,- ?,∴|AD|+|BD| (2)易得点 A 关于直线 2x+3y-3=0 的对称点的坐标为 M? 13? ? 13 → 33 13 的最小值为|BM|= . 13 A A A A A A 2cos ,sin ?,n=?cos ,-2sin ?,m· 11.解:(1)∵m=? n=-1,∴cos2 -sin2 = 2 2? 2? ? ? 2 2 2 1 - . 2 1 ∴cosA=- . 2 1 2π (2)由(1)知 cosA=- ,且 0<A<π,∴A= . 2 3 a b ∵a=2 3,b=2,由正弦定理得 = , sinA sinB

3 2 1 = ,∴sinB= . 2π sinB 2 sin 3 π ∵0<B<π,B<A,∴B= . 6 π ∴C=π-A-B= .∴c=b=2. 6 → → 12.解:(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1), → → → → 则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). → → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2,2 10. → → → → → → (2)由题设知:OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-tOC)· OC=0,得:(3 +2t,5+t)· (-2,-1)=0, 11 从而 5t=-11,所以 t=- . 5 即

2


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