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福建省安溪八中2014届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案


2013 年秋季安溪八中高三年第一学段质量检测

数学试题 (理科)

命题人:陈秋水 131107

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题意要求的.

班级_________ 姓名_________ 号数________________

1.已知集合 M ? x | A. ? x | x ? ?1?

?

x ? 1 ? 0 ,集合 N ? ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0? ,则 M ? N ? (
B. ? x | x ? 1? C. ? x | ?1 ? x ? 1? D. ? x | ?1 ? x ? 1?

?



x2 ? lg ? 2 x ? 1? 的定义域是( 2.函数 y ? ) 2? x ? 1 ? ? 1 ? ? 1 1? A. ? ? , ?? ? B. ? ? , 2 ? C. ? ? , ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 2?
3.函数 y ? 2 sin(

线

D. ? ??, ? ?

?

? ?

1? 2?
?
2

2

? 2 x ) 是(

) B. 最小正周期为 D.最小正周期为 的偶函数

A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为 ? 的奇函数

?
2

的奇函数

4. 在平面直角坐标系中,若角 ? 的顶点在坐标原点,始边在 x 轴的非负半轴上,终边经过点

P(3a, ?4a) (其中 a ? 0 ),则 cos? 的值为(
A. ?

) C.

4 5

B. ?

3 5

3 5

D.

4 5



5.下列结论错误的是( ) A.命题“若 p,则 q”与命题“若非 q,则非 p”互为逆否命题 B. n “i s

x?

1 ? ”是“ x ? ”的充分而不必要条件 2 6

C.为得到函数 y ? sin(2 x ? 度单位

?

? ? ) 的图象只需把 y ? sin(2 x ? ) 的图象向右平移 个长 3 6 4
2 ,则 ?q 是假命题

sin D.命题 q:?x ? R, x ? cos x ?


6. 设奇函数 f(x)在(0, +∞)上为单调递减函数, f(2)=0, 且 则不等式 的解集为 ( )

f (? x) ? f ( x) ?0 x

A.(-∞,-2]∪(0,2] B.[-2,0]∪[2,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,0) ∪(0,2] 7.若二次函数 f ( x) ? ax ? bx 的导函数 f ( x) 的图象如右所示, 则二次函数 f (x) 的顶点在
2
'





A.第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 8. 若函数错误!未找到引用源。的图象(部分)如图所示, 则错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的取值是 ( ) y A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C. ? ?

?
4

,? ?

?
4

错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。 ? ? O 第 8 题图

?

第 7 题图

4

,? ? ?

?
4

? 1 错误!未找到引用源。 x 错误!未找到引用源。 ? x ? 2 ,  x ? 2 2 9.若函数 f ( x ) ? ? ,则关于 x 的函数 y ? f ( x) ? f ( x) 的零点的个数为 ?1   x ? 2 ?
) A.2 B.3 C.4 D.5 10. 在实数集 R 中定义一种运算 *” 对任意 a, b ? R, a*b 为唯一确定的实数, “ , 且具有性质: 2 (1)对任意 a ? R, a*0=a; 0 (2)对任意 a, b, c ? R, (a*b)*c=(ab)*c +(a*c)+(b*c)-2c. 0 如:3*2 =(3*2)*0= (3?2)*0+(3*0)+(2*0)-2?0=6+3+2-0=11. 9 1 0 关于函数 f ( x) ? (2 x) * 的性质,有如下说法: 2x 4 ①函数 f (x) 的最小值为 3; ②函数 f (x) 的图像关于点(0,1)成中心对称 0 1 1 ③函数 f (x) 为奇函数; ④函数 f (x) 的单调递增区间为 (??, ? ), (6 , ??) . 2 2 其中所有正确说法的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (

第Ⅱ卷(非选择题
11.若 ? ? (0,

共 100 分)


二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卷相应位置.

?

2 ?e x    x ? 0    f { f (8)} ? __________。 12. 若 f ( x ) ? ? ,则 ? f ( x ? 4)  x ? 0
13.函数 y ? log 2 (? x ? 2 x ? 3) 的单调递减区间为
2

), 且 cos 2 ? ? sin 2? , 则 tan ? ?

.

14. 曲 线 y ? s i n , y ? cos x 与 直 线 x ? 0 , x ? x ______________.

?
4

所围成的平面区域的面积为

a i n +2 o 15. f ?x ?= s2x bcs x 设
成立,则 ① f (?

, 其中 a, b ? R, ab ? 0 . 若 f ? x ? ? f ? ② f ? x ? 的图像关于 x ?

?? ? ? 对一切 x ? R 恒 ?6?

?
12

) ? 0;
? ?

?
6

对称;

③ f ? x ? 的单调递减区间是 ? k? ?

?
6

, k? ?

2? ? 7? ? ? ? k ? Z ? ;④ | f ( 12 ) |?| f ( 5 ) | ; 3 ?

⑤存在经过点 ? a, b ? 的直线与函数 f ? x ? 的图象相交. 以上结论正确的是__________________(写出所有正确结论的编号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是 P(亿元)和 Q(亿元),它们与投资额 t(亿元)的关系有经验公式 P=

1 1 2t ,Q= t,今该公司将 5 亿元投 8 4

资这两个项目, 其中对甲项目投资 x(亿元), 投资这两个项目所获得的总利润为 y(亿元). 求: (1)y 关于 x 的函数表达式; (2)求总利润的最大值. 17. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
4

] 时,求函数 y ? f ( x) 的值域.

x2 y2 18. (本小题满分 13 分)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , a b
点 P 是 x 轴上方椭圆 E 上的一点,且 PF1 ? F1 F2 , PF1 ? (Ⅰ) 求椭圆 E 的方程和 P 点的坐标; (Ⅱ)判断以 PF2 为直径的圆与以椭圆 E 的长轴为直径的圆的位置关系; 19. (本小题满分13分)如图所示,在三棱锥 P ? ABC 中,

3 5 , PF2 ? . 2 2 P

AB ? BC ? 6 ,平面 PAC ? 平面 ABC , PD ? AC 于点 D ,

A

D
B

C

AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 3 .
(1)证明△ PBC 为直角三角形; (2)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值. 20. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 ) gx bn x , () ?l
2 2



(Ⅰ) 将函数 y ? f ( x) 图象向右平移一个单位即可得到函数 y ? ? ( x) 的图象,试写出 y ? ? ( x) 的解析式及值域; (Ⅱ) 关于 x 的不等式 ( x ? 1) ? f ( x) 的解集中的整数恰有 3 个,求实数 a 的取值范围;
2

(Ⅲ) 对于函数 f ( x) 与 g ( x) 定义域上的任意实数 x , 若存在常数 k , m , 使得 f ( x) ? kx ? m 和 g ( x) ? kx ? m 都成立,则称直线 y ? kx ? m 为函数 f ( x) 与 g ( x) 的“分界线”.设

a?

2 , b ? e ,试探究 f ( x) 与 g ( x) 是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的 2

方程;若不存在,请说明理由. 21.本题有(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 、 、 果多作则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑, 并将选题号填入括号中. (Ⅰ).(本小题满分 7 分) 选修 4 一 2:矩阵与变换 如果曲线 x ? 4 xy ? 3 y ? 1 在矩阵 ?
2 2

?1 a? 2 2 ? 的作用下变换得到曲线 x ? y ? 1,求 a ? b ?b 1?

的值。 (Ⅱ).(本小题满分 7 分) 选修 4 一 4:坐标系与参数方程
? x ? 2 ? 3 t, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . ?y ? 4 t 5 ? (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.

(Ⅲ).(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | . (1)解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)若 f ( x) ? a对x ? R恒成立, 求实数a 的取值范围。

2013 年秋季安溪八中高三年第一学段质量检测

数学试题 (理科) 参考答案
一、选择题:DBABB 二、填空题:11. DCDBC.
1 12. 1 13. (1,3) 14. 2 ? 1 15.①②⑤ 2 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 1 1 16.解:(1)根据题意,得 y= 2x ? (5 ? x ) x∈[0,5].???? 4 分 , 4 8
t2 (2)令 t= 2x ,t∈[0, 10 ] ,则 x= ,???? 7 分 2
y= ?

1 2 1 5 1 7 t ? t ? ? ? (t ? 2)2 ? . ???? 10 分 16 4 8 16 8

因为 2∈[0, 10 ] ,所以当 2x =2 时,即 x=2 时,y 最大值=0.875.???? 12 分 答:总利润的最大值是 0.875 亿元.???? 13 分

17.解: f ( x) ? 2cos x ? 2 3 sin x cos x ?1
2

? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2sin(2 x ?
(Ⅰ)由 2k? ?

?
6

)?2

???? 4 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z

所以 f (x) 的单调递增区间为 [k? ? (Ⅱ)∵ 0 ? x ? ∴

?
3
?

, k? ?
2? 3

?
6

],k ?Z

???? 8 分

?
4



?
6

? 2x ?

?
6

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

???? 12 分

∴ 3 ? 2 sin(2 x ?

?
6

)?2? 4
???? 13 分

∴函数 y ? f ( x) 的值域为 [3, 4]

18.解: (Ⅰ)? P 在椭圆 E 上 ? 2a ? PF1 ? PF2 ? 4, a ? 2 ,

?????.2 分 ??????.4 分

5 3 2 2 2 ? PF1 ? F1 F2 ,? F1F2 ? PF2 ? PF1 ? ( )2 ? ( )2 ? 4, 2 2

2c ? 2, c ? 1 , ? b 2 ? 3 .
x2 y 2 ? ?1 所以椭圆 E 的方程是: 4 3
??????.6 分

3 ???.7 分 ? F1 (?1,0), F2 (1,0) ,? PF1 ? F1 F2 ? P(?1, ) 2 3 (Ⅱ)线段 PF2 的中点 M (0, ) 4 3 3 2 25 2 ∴ 以 M (0, ) 为圆心 PF2 为直径的圆 M 的方程为 x ? ( y ? ) ? 4 4 16 5 圆 M 的半径 r ? ?????.9 分 4
以椭圆 E 的长轴为直径的圆的方程为: x ? y ? 4
2 2

, 圆 心 为 O(0,0) , 半 径 为

R ? 2 ?.11 分
圆 M 与圆 O 的圆心距为 | OM |?

3 5 ? 2 ? ? R ? r 所以两圆相内切 ???13 分 4 4

19.解: (1)以点 E 为坐标原点,以 EB , EC 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的空 间直角坐标系 E ? xyz ,???????????????????1 分 则B

?

2, 0, 0 , C ? 0, 2, 0 ? , P 0, ?1, 3 .

?

?

?

P

z

于是 BP ? ? 2, ?1, 3 , BC ? ? 2, 2, 0 . 因为 BP ?BC ? ? 2, ?1, 3 ? ? 2, 2, 0 ? 0 ,

??? ?

?

?

??? ?

?

?

??? ??? ? ?

?

??

?

??? ??? ? ? 所以 BP ? BC .所以 BP ? BC .

A

E

D

C y

所以 ?PBC 为直角三角形.?????????6分

x

B

(2)由(1)可得, A ? 0, ?2, 0 ? . 于是 AP ? 0,1, 3 , PB ?

??? ?

?

?

??? ?

?

??? ? 2,1, ? 3 , PC ? 0,3, ? 3 .????8分

?

?

?

设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

??? ? ?n ? PB ? 0, ? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ? 则 ? ??? 即? ? ?n ? PC ? 0. ?3 y ? 3z ? 0. ? ?
取 y ? 1,则 z ? 3 , x ? 2 .所以平面 PBC 的一个法向量为 n ? 10分 设直线 AP 与平面 PBC 所成的角为 ? ,

?

2,1, 3 .??

?

??? ? AP ? n ??? ? 4 6 则 sin ? ? cos ? AP ,n ? ? ??? ? ? ? 3 AP ? n 2 ? 6
所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为

???12分

6 .???????????13 分 3
????2 分

20.解: (Ⅰ) ? ( x) ? a ( x ? 1) ,值域为 [0, ??) .
2 2 2

(Ⅱ)解法一:不等式 ( x ? 1) ? f ( x) 的解集中的整数恰有 3 个, 等价于 (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 ? 0 恰有三个整数解,故 1 ? a ? 0 ,
2 2

2

令 h( x) ? (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 ,由 h(0) ? 1 ? 0 且 h(1) ? ?a ? 0(a ? 0) ,
2 2 2

所以函数 h( x) ? (1 ? a ) x ? 2 x ? 1 的一个零点在区间 (0,1) ,
2 2

则另一个零点一定在区间 [?3, ?2) ,故 ?

? h(?2) ? 0, ? h(?3) ? 0,

解之得

4 3 ? a ? .?8 分 3 2

????9 分

????10 分

????11 分

?12 分 下面证明 g ( x) ?

e ex ? ( x ? 0) 恒成立. 2

设 G ( x) ? e ln x ? x e ? 所以当 0 ? x ? 因此 x ?

e e ( e ? x) e ,则 G?( x) ? ? e ? . x x 2

e 时, G '( x) ? 0 ;当 x ? e 时, G ' ( x) ? 0 .

e e 时 G ( x) 取得最大值 0 ,则 f (x) ? ex ? (x ? 0) 成立.???13 分 2 e 故所求“分界线”方程为: y ? ex ? . ????14 分 2
21. (Ⅰ)解:设点 P( x, y ) 在矩阵 ?

?1 a? ? 的作用下变换得到 P?( x?, y?) , ?b 1? ? 1 a ? ? x ? ? x? ? ? x? ? x ? ay 则? ?????4 分 ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ?b 1? ? y? ? y ? ? y ? bx ? y 2 2 2 2 2 2 则 ( x ? ay ) ? (bx ? y ) ? 1 ,展开得 (1 ? b ) x ? 2(a ? b) xy ? (a ? 1) y ? 1

? 1 ? b2 ? 1 ? 比较系数得: ?2(a ? b) ? 4 ? a2 ?1 ? 3 ?
解得

???6 分

a ? 2, b ? 0 , 所以 a ? b ? 2

???????7 分 ?????1 分

(Ⅱ)解: (1)曲线 C 的极坐标方程可化为 ? 2 ? 2? sin ? . 又 x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 .

??????3 分

(2)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y ? ? 4 ( x ? 2) .?????4 分 3 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(0,1),半径 r ? 1 ,则 MC ? 5 . ???6 分 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1 . 所以 MN 的最大值为 5 ? 1 。???????7 分

?3 ? 2 x, x ? 1 ? (Ⅲ) (1)∵ f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?1,1 ? x ? 2 ?2 x ? 3, x ? 2 ?
∴当 x<1 时,3-2x>3,解得 x<0; 当 1 ? x ? 2时, f ( x) ? 3 无解 当 x>2 时 2x-3>3,解得 x<3. 综上,x<0 或 x>3,

∴不等式 f(x)>3 的解集为 (??,0) ? (3,??) ????????4 分

?3 ? 2 x, x ? 1 ? (2)∵ f ( x ) ? ?1,1 ? x ? 2, ?2 x ? 3, x ? 2, ?
∵ f ( x) ? a 恒成立

∴ f ( x) min ? 1

∴a<1,即实数 a 的取值范围是 (??,1) ????????????7 分


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