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反证法-教案


§14.1.3 反证法 教学目标: 1、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 2、了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题. 教学重点: 体会反证法证明命题的思路方法,掌握反证法证题的步骤。 教学难点: 理解反证法的推理依据及方法,用反证法证明简单的命题是教学难点. 教学过程: 提问: 师:通过预习我们知道反证法,什么叫做反证法? 生:从命题结论的反面出发,引

出矛盾,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做 反证法. 师:本节将进一步研究反证法证题的方法,反证法证题的步骤是什么? 生:共分三步: (1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)从假设出发,经过推理,得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 师:反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运用直接 证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。 导入: 王戎 7 岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘 取果子,只有王戎站在原地不动? 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 假设李子不是苦的,即李子是甜的, 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢? 那么,树上的李子还会这么多吗? 这与事实矛盾吗?说明李子是甜的这个假设是错的还是对的? 所以,李子是苦的 王戎的推理方法是: 假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李. 二、探究 问题: 若 “在△ABC 中,AB=c,BC=a, AC=b,∠C≠90°”请问结论 a? +b? ≠ c? 成 立吗?请说明理由。 探究: 假设 a? +b? =c?,由勾股定理可知三角形 ABC 是直角三角形,且∠C=90°,这与已 知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立,从而说明原结论 a? +b? ≠ c? 成立。

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这种证明方法与前面的证明方法不同,它是首先假设结论的反面成立,然后经过正确的;逻辑推理 得出与已知、定理、公理矛盾的结论,从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。

三、应用新知 例1:在△ABC 中,AB≠AC,求证:∠B ≠ ∠ C 证明:假设,∠B = ∠C 则 AB=AC 这与已知 AB≠AC 矛盾. 假设不成立. ∴∠B ≠ ∠ C 小结: 反证法的步骤:假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确 例 2、已知:如图有 a、b、c 三条直线,且 a//c,b//c. 求证:a//b 证明:假设 a 与 b 不平行,则可设它们相交于点 A。 那么过点 A 就有两条直线 a、b 与直线 c 平行,这与“过直线外一点有且只有一条直线 与已知直线平行矛盾,假设不成立。 ∴a//b. 小结:根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外,还可以与我们学过的定理、公理矛 盾 例 3 求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于 60°。 已知:△ABC , 求证:△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60° 证明: 假设△ABC 中没有一个内角小于或等于 60° 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° ∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180° 这与三角形的内角和为 180 度矛盾.假设不成立. ∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60° 例 4.试证明:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行 .(学生完成, 教师引导) 已知: ; 求证: ; 证明:假设 ,则可设它们相交于点 A。那么过点 A 就有 条直 线与直线 c 平行,这与“过直线外一点 ”。矛盾, 则假设不成立。 ∴ 。 三、课堂练习:
1、求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于 60° 2、求证两条直线相交只有一个交点. 3、试证明:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行. 4、求证:在一个三角形中,如果两个角不等,那么他们所对的边也不等. 5、求证:一个五边形不可能有 4 个内角为锐角. 6、 “a<b”的反面应是( ) A.a≠b B.a>b C.a=b D.a=b 或 a>b

7、用反证法证明“若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b”时,应假设( )
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A.a 不垂直于 c C.a⊥b

B.a,b 都不垂直于 c D.a 与 b 相交

8、用反证法证明命题“在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等”时,应假设 ___________. 9、用反证法证明“若│a│<2,则 a<4”时,应假设__________. 10、请说出下列结论的反面:(1)d 是正数; (2)a≥0; (3)a<5.

11、如下左图,直线 AB,CD 相交,求证:AB,CD 只有一个交点. 证明: 假设 AB, CD 相交于两个交点 O 与 O′, 那么过 O, O′两点就有_____条直线, 这与 “过两点_______” 矛盾,所以假设不成立,则________.

12、完成下列证明. 如上右图,在△ABC 中,若∠C 是直角,那么∠B 一定是锐角. 证明:假设结论不成立,则∠B 是______或______. 当∠B 是____时,则_________,这与________矛盾; 当∠B 是____时,则_________,这与________矛盾. 综上所述,假设不成立. ∴∠B 一定是锐角. 13、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于 60°” ,?应先假设这个三角形中( ) A.有一个内角小于 60° C.有一个内角大于 60° B.每一个内角都小于 60° D.每一个内角都大于 60°

14、 若用反证法证明命题 “在直角三角形中, 至少有一个锐角不大于 45?°” 时, 应假设_______________. 15、 三角形内角中至多有一个内角是钝角.

四、课后作业:课本 五、小结: 用反证法证题时,应注意的事项 : (1)周密考察原命题结论的否定事项,防止否定不当或有所遗漏; (2)推理过程必须完整,否则不能说明命题的真伪性; (3)在推理过程中,要充分使用已知条件,否则推不出矛盾,或者不能断定推出的结果是 错误的。

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七、教学反思:

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