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【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义 解析几何第九章


数学

川(理)

压轴题目突破练——解析几何
第九章 解析几何

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

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1 2 3

A组
4

/>
专项基础训练
5 6 7 8 9

1.已知两条直线 l1:y=x,l2:ax-y=0,其中 a 为实数,当这两 ? π? 条直线的夹角在?0,12?内变动时,a 的取值范围是 ( ) ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? A.(0,1) B.? , 3? C.? ,1?∪(1, 3) D.(1, 3) ? ? 3 ? ? 3 ?

解 析

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1.已知两条直线 l1:y=x,l2:ax-y=0,其中 a 为实数,当这两 ? π? 条直线的夹角在?0,12?内变动时,a 的取值范围是 ( C ) ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? A.(0,1) B.? , 3? C.? ,1?∪(1, 3) D.(1, 3) ? ? 3 ? ? 3 ?

解 析
π 直线 l1 的倾斜角为 ,依题意 l2 的倾斜角的取值范围为 4
?π ?π π? ?π π? π π? ?π π π ? ? - , ?∪? , + ?,即? , ?∪? , ?,从而 l2 的斜率 ?4 12 4 ? ?4 4 12? ?6 4 ? ?4 3 ?

a

? 的取值范围为? ? ?

? 3 ? ,1?∪(1, 3). 3 ?

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2.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2= 0 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围是 A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] ( )

解 析

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2.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2 上有且只有两个点到直线 4x-3y-2= 0 的距离等于 1,则半径 r 的取值范围是 A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] ( A )

解 析
因为圆心(3,-5)到直线 4x-3y-2=0 的距离为 |4×3-3×?-5?-2| =5, 2 2 4 +3 所以当半径 r=4 时, 圆上有 1 个点到直线 4x-3y-2=0 的距

离等于 1,当半径 r=6 时,圆上有 3 个点到直线 4x-3y-2= 0 的距离等于 1, 所以圆上有且只有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离等于 1

时,4<r<6.

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x2 y2 3.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的 a b 焦点 F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐 近线方程为 A.y=± 3x 3 B.y=± x 3 C.y=± 2x ( 2 D.y=± x 2 )

解 析

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x2 y2 3.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个公共的 a b 焦点 F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐 近线方程为 A.y=± 3x 3 B.y=± x 3 C.y=± 2x ( A ) 2 D.y=± x 2

解 析
?x +2=5, ? 0 ? 2 ?y0=8x0, ?

设点 P(x0,y0).依题意得,焦点 F(2,0),
于是有 x0=3,y2=24; 0

?a2+b2=4, ? ? 9 24 由此解得 a2=1,b2=3, ?a2- b2 =1, ? b 因此该双曲线的渐近线方程是 y=± x=± 3x. a

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4.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距 离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 17 9 A. B.3 C. 5 D. 2 2 ( )

解 析

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4.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距 离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 17 9 A. B.3 C. 5 D. 2 2 ( A )

解 析
记抛物线 y =2x 的焦点为
2

?1 ? F?2,0?,准线是 ? ?

l,由抛物线的定义知

点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离,因此要求点 P 到点 (0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转 化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值, 结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点 F 到点(0,2)的距离.
?1? ? ?2+22= ?2?

因此所求的最小值等于

17 2 ,选 A.

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x2 y2 5.如果 + =-1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,那么它的半 k-2 1-k 焦距 c 的取值范围是___________.

解 析

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x2 y2 5.如果 + =-1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,那么它的半 k-2 1-k

(1,+∞) 焦距 c 的取值范围是___________.

解 析
y2 x2 将原方程化成标准方程为 - =1. k-1 k-2

由题意知 k-1>0 且 k-2>0,解得 k>2.

又 a2=k-1,b2=k-2,所以 c2=a2+b2=2k-3>1, 所以 c>1,故半焦距 c 的取值范围是(1,+∞).

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6.若点(3,1)是抛物线 y2=2px 一条弦的中点,且这条弦所在直线的 斜率为 2,则 p=________.

解 析

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6.若点(3,1)是抛物线 y2=2px 一条弦的中点,且这条弦所在直线的

2 斜率为 2,则 p=________. 解 析
设弦两端点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),
?y2=2px ? 1 1 ? 2 则 ?y2=2px2 ?

y1-y2 2p ,两式相减得, = =2. x1-x2 y1+y2

又∵y1+y2=2,∴p=2.

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7.已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,则以 AB 为直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小 值是________.

解 析

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7.已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,经过 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,则以 AB 为直径的圆在 x 轴上所截得的弦长的最小

2 3 值是________.

解 析
由抛物线定义得以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切, 利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式,再求弦长 的最小值. 设以 AB 为直径的圆的半径为 r, 则|AB|=2r≥4, r≥2,且圆心到 x 轴的距离是 r-1,所以在 x 轴上所截得 的弦长为 2 r2-?r-1?2=2 2r-1≥2 3, 即弦长的最小值 是 2 3.

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8.(10 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴顶点为(0,2), 它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A,B,且 → → AP=2PB. (1)求椭圆的方程;(2)求 m 的取值范围.

解 析

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8.(10 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴顶点为(0,2), 它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A,B,且 → → AP=2PB. (1)求椭圆的方程;(2)求 m 的取值范围.

解 析
解 (1)由题意,知椭圆的焦点在 y 轴上, y2 x2 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),
由题意,知 a=2,b=c,又 a2=b2+c2,则 b= 2, y2 x2 所以椭圆方程为 4 + 2 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知直线 l 的斜率存在,

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8.(10 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴顶点为(0,2), 它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A,B,且 → → AP=2PB. (1)求椭圆的方程;(2)求 m 的取值范围.

解 析

设其方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立,

?y2+2x2=4, ? 即? ?y=kx+m, ?

消去 y,得(2+k2)x2+2mkx+m2-4=0,

Δ=(2mk)2-4(2+k2)(m2-4)>0,

? ?x1+x2=- 2mk2, 2+k ? 由根与系数的关系,知? m2-4 ?x · = ? 1 x2 2+k2 , ?

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8.(10 分)已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O,一个长轴顶点为(0,2), 它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形,直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m),与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A,B,且 → → AP=2PB. (1)求椭圆的方程;(2)求 m 的取值范围. → → 解 析 又AP=2PB,即有(-x1,m-y1)=2(x2,y2-m),
?x +x =-x , ? 1 2 2 所以-x1=2x2.则? ?x1x2=-2x2, ? 2 ? 2mk ? m2-4 ? ?2 所以 2? . 2 =-2? 2+k ?2+k ?

整理,得(9m2-4)k2=8-2m2,又 9m2-4=0 时等式不成立,
8-2m2 4 2 2 所以 k = 2 >0,得9<m <4,此时 Δ>0. 9m -4 ? ? 2? ?2 所以 m 的取值范围为?-2,-3?∪?3,2?. ? ? ? ?

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x2 y2 9. 分)已知中心在原点的椭圆 C: 2+ 2=1 的一个焦点为 F1(0,3), (12 a b 3 M(x,4)(x>0)为椭圆 C 上一点,△MOF1 的面积为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OM 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,且以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由.

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4

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5 6 7 8 9

解 析



(1)因为椭圆 C 的一个焦点为 F1(0,3),

x2 y2 所以 c=3,b2=a2+9,则椭圆 C 的方程为 2+ 2 =1, a a +9 1 3 因为 x>0,所以 S ?OMF1 =2×3×x=2,解得 x=1. 故点 M 的坐标为(1,4). 1 16 因为点 M(1,4)在椭圆上,所以 2+ 2 =1, a a +9 得 a4-8a2-9=0,
解得 a2=9 或 a2=-1(不合题意,舍去),
x2 y2 则 b2=9+9=18,所以椭圆 C 的方程为 9 +18=1. (2)假设存在符合题意的直线 l 与椭圆 C 相交于 A(x1,y1),B(x2,

y2)两点,其方程为 y=4x+m(因为直线 OM 的斜率 k=4),

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

?y=4x+m, ? 2 2 由?x y 消去 y 化简,得 18x2+8mx+m2-18=0. ? 9 +18=1, ? m2-18 8m 进而得到 x1+x2=- 18 ,x1·2= 18 . x

解 析

因为直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,
所以 Δ=(8m)2-4×18×(m2-18)>0, 化简得 m2<162,解得-9 2<m<9 2. 因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点,
→ → 所以OA· =0,所以 x1x2+y1y2=0. OB

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

解 析
又 y1y2=(4x1+m)(4x2+m)=16x1x2+4m(x1+x2)+m2,
x1x2+y1y2=17x1x2+4m(x1+x2)+m2
17?m2-18? 32m2 = - 18 +m2=0. 18

解得 m=± 102.由于± 102∈(-9 2,9 2), 所以符合题意的直线 l 存在,且所求的直线 l 的方程为 y=4x+ 102或 y=4x- 102.

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 且斜率为 2 的直线 交椭圆 E 于 P、Q 两点,若△PF1F2 为直角三角形,则椭圆 E 的 离心率为 5 A. 3 ( 2 B. 3 2 C. 3 1 D. 3 )

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.已知椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1 且斜率为 2 的直线 交椭圆 E 于 P、Q 两点,若△PF1F2 为直角三角形,则椭圆 E 的 离心率为 5 A. 3 ( A ) 2 B. 3 2 C. 3 1 D. 3

解 析
由题意可知,∠F1PF2 是直角,且 tan∠PF1F2=2, |PF2| 2a 4a ∴ =2,又|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|= ,|PF2|= . |PF1| 3 3 ?2a? ?4a? 2 根据勾股定理得? 3 ? +? 3 ?2=(2c)2, ? ? ? ?

c 5 所以离心率 e=a= 3 .

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的 最小值为 A.1 B.2 2 C. 7 D.3 ( )

解 析

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1

B组

专项能力提升

7 2 3 4 6 5 2.由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的

最小值为 A.1

( C ) B.2 2 C. 7 D.3 如图所示,设直线上一点 P,

解 析

切点为 Q,圆心为 M,则|PQ|即为切线长, MQ 为圆 M 的半径,长度为 1,
|PQ|= |PM|2-|MQ|2 = |PM|2-1,

要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,

此题转化为求直线 y=x+1 上的点到圆心 M 的最小距离, |3-0+1| 设圆心到直线 y=x+1 的距离为 d,则 d= 2 2=2 2. 1 +?-1? 所以|PM|的最小值为 2 2.
所以|PQ|= |PM|2-1≥ ?2 2?2-1= 7.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.(2011· 四川)在抛物线 y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1=-4,x2 =2 的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同 时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切,则抛物线顶点的坐标为( A.(-2,-9) B.(0,-5) C.(2,-9) D.(1,-6) )

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.(2011· 四川)在抛物线 y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1=-4,x2 =2 的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同 时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切,则抛物线顶点的坐标为( A.(-2,-9) B.(0,-5) C.(2,-9) D.(1,-6) )

解 析

当 x1=-4 时,y1=11-4a;当 x2=2 时,y2=2a

11-4a-2a+1 -1,所以割线的斜率 k= =a-2.设直线与抛物 -4-2 线的切点横坐标为 x0,由 y′=2x+a 得切线斜率为 2x0+a, ∴2x0+a=a-2,∴x0=-1.
∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为 y+ a+4=(a-2)(x+1),即(a-2)x-y-6=0.

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3.(2011· 四川)在抛物线 y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1=-4,x2 =2 的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同 时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切,则抛物线顶点的坐标为( A ) A.(-2,-9) B.(0,-5) C.(2,-9) D.(1,-6)

解 析
圆 5x2+5y2=36 的圆心到切线的距离 d= 6 .由题意得 2 ?a-2? +1

6 6 = ,即(a-2)2+1=5.又 a≠0, 5 ?a-2?2+1
∴a=4,此时,y=x2+4x-5=(x+2)2-9,

顶点坐标为(-2,-9).

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

x2 y2 4.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的 a b 另一个交点为 M,与 y 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆 的离心率为________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

x2 y2 4.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的 a b 另一个交点为 M,与 y 轴的交点为 B,若|AM|=|MB|,则该椭圆

6 3 的离心率为________.

解 析
由题意知 A 点的坐标为(-a,0),

设直线的方程为 y=x+a,
∴B 点的坐标为(0,a),故 M
2 2

? a a? 点的坐标为?-2,2?, ? ?
2 2

6 代入椭圆方程得 a =3b ,∴2a =3c ,∴e= 3 .

练出高分
1

B组

专项能力提升

7 2 3 4 6 5 x2 y2 → → 5. 已知曲线 a - b =1 与直线 x+y-1=0 相交于 P、 两点, Q 且OP· OQ 1 1 =0(O 为原点),则a-b的值为________.

解 析

练出高分
1

B组

专项能力提升

7 2 3 4 6 5 x2 y2 → → 5. 已知曲线 a - b =1 与直线 x+y-1=0 相交于 P、 两点, Q 且OP· OQ 1 1 2 =0(O 为原点),则a-b的值为________. x2 y2 解 析 将 y=1-x 代入 a - b =1, 得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.

由题意,知 a≠b.

a+ab 2a 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= ,x x = . a-b 1 2 a-b → → OP· =x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2) =2x1x2-(x1+x2)+1. OQ
2a+2ab 2a 所以 - +1=0, a-b a-b

1 1 即 2a+2ab-2a+a-b=0,即 b-a=2ab,所以a-b=2.

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过 F 的直线交该抛物线于 A,B 两 点,则|AF|+4|BF|的最小值为________.

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过 F 的直线交该抛物线于 A,B 两 9 2 点,则|AF|+4|BF|的最小值为________.

解 析

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义可得|AF|+4|BF|

? ? p? 1? p 1 5 ? ? ? =x1+ +4?x2+2?=x1+ +4?x2+2?=x1+4x2+ , 设直线 AB 的方程为 ky=x ? 2 2 2 ? ? ? ? ?ky=x-1, ? 1 2 - ,联立抛物线方程得方程组? 消元整理得 y2-2ky-1=0,由 2 ? ?y2=2x

根与系数的关系可得 y1y2=-1, A, 在抛物线上, 又 B 代入方程得 y2y2=2x1· 2 2x 1 2 1 5 =4x1x2 =1,即 x1x2 = ,因此根据基本不等式|AF|+4|BF|=x1 +4x2 + 4 2 5 5 9 9 ≥2 x1×4x2+ =2+ = ,当且仅当 x1=4x2 时取得最小值 . 2 2 2 2

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

x2 y2 7.(13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1 的左,右顶 9 5 点分别为 A,B,右焦点为 F.设过点 T(t,m)的直线 TA,TB 与此 椭圆分别交于点 M(x1,y1),N(x2,y2),其中 m>0,y1>0,y2<0. (1)设动点 P 满足:|PF|2-|PB|2=4,求点 P 的轨迹; 1 (2)设 x1=2,x2= ,求点 T 的坐标; 3 (3)设 t=9, 求证: 直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关).

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析
(1)解 设 P(x, 由题知 F(2,0), y), B(3,0), A(-3,0),

则|PF|2=(x-2)2+y2,|PB|2=(x-3)2+y2,

由|PF|2-|PB|2=4,得(x-2)2+y2-[(x-3)2+y2]=4, 9 9 化简,得 x=2.故点 P 的轨迹方程是 x=2. 1 (2)解 将 x1=2,x2=3分别代入椭圆方程, ? ?1 5? 20? 并考虑到 y1>0,y2<0,得 M?2,3?,N?3,- 9 ?. ? ? ? ? y-0 x+3 则直线 MA 的方程为 = ,即 x-3y+3=0 5 2+3 3-0 y-0 x-3 直线 NB 的方程为 20 =1 ,即 5x-6y-15=0. - 9 -0 3-3

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析
?x-3y+3=0, ? 联立方程? ?5x-6y-15=0, ?

10 解得 x=7,y= , 3

所以点 T

? 10? 的坐标为?7, 3 ?. ? ?

(3)证明

如图所示,点 T 的坐标为(9,m),

y-0 x+3 直线 TA 的方程为 = , m-0 9+3 y-0 x-3 直线 TB 的方程为 = , m-0 9-3 x2 y2 分别与椭圆 9 + 5 =1 联立方程,

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析
解得
?3?80-m2? 40m ? ? ? M? 2 , 2 ?, 80+m ? ? 80+m

?3?m2-20? 20m ? ? ? N? 2 ,- 2?. 20+m ? ? 20+m

直线 MN 的方程为

3?m2-20? 20m y+ x- 20+m2 20+m2 40m 20m =3?80-m2? 3?m2-20?. + - 80+m2 20+m2 80+m2 20+m2

令 y=0,解得 x=1,所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点(1,0).


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