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1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)


§1.4.2 正弦函数余弦函数的性质
【教材分析】 《正弦函数和余弦函数的性质》 是普通高中课程标准实验教材必修4中的内容, 是正弦 函数和余弦函数图像的继续, 本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数 和余弦函数的性质。 【教学目标】 1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质;会求含有 sin x, cos x 的三角式的 性质;会应用正、余弦的

值域来求函数 y ? a sin x ? b(a ? 0) 和函数

y ? a cos2 x ? b cos x ? c (a ? 0) 的值域
2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、 提出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯. 3. 在解决问题的过程中,体验克服困难取得成功的喜悦. 【教学重点难点】 教学重点:正弦函数和余弦函数的性质。 教学难点:应用正、余弦的定义域、值域来求含有 sin x, cos x 的函数的值域 【学情分析】 知识结构:在函数中我们学习了如何研究函数,对于正弦函数余弦函数图像的学习使学 生已经具备了一定的绘图技能,类比推理画出图象,并通过观察图象,总结性质的能力。 心理特征:高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式,并了解了三角函数的周期性, 但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强;能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确 的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入,往往会造成错误的结果。 【教学方法】 1.学案导学:见后面的学案。 2.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精 讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1.学生的学习准备:预习“正弦函数和余弦函数的性质” ,初步把握性质的推导。 2.教师的教学准备:课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。 【课时安排】1 课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标。 (一)问题情境 复习:如何作出正弦函数、余弦函数的图象? 生:描点法(几何法、五点法) ,图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入:研究一个函数的性质从哪几个方面考虑? 生:定义域、值域、单调性、周期性、对称性等

提出本节课学习目标——定义域与值域 (二)探索研究 给出正弦、余弦函数的图象,让学生观察,并思考下列问题:

1.定义域 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R (或 (??,??) ). 2.值域 (1)值域 因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度, 所以 | sin x |? 1, | cos x |? 1 , 即 ? 1 ? sin x ? 1,?1 ? cos x ? 1 也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是 [?1,1] . (2)最值 正弦函数 y ? sin x, x ? R ①当且仅当 x ?

?
2

? 2k? , k ? Z 时,取得最大值1

? 2k? , k ? Z 时,取得最小值 ? 1 2 余弦函数 y ? cos x, x ? R ①当且仅当 x ? 2k? , k ? Z 时,取得最大值 1
②当且仅当 x ? ? ②当且仅当 x ? 2k? ? ? , k ? Z 时,取得最小值 ? 1 3.周期性 由 sin(x ? 2k? ) ? sin x, cos(x ? 2k? ) ? cos x, (k ? Z ) 知: 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的. 定义:对于函数 f (x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f (x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 由此可知, 2? ,4? ,?,?2? ,?4? ,?,2k? (k ? Z , k ? 0) 都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数 f (x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f (x) 的最小正周期. 根据上述定义,可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数, 2k? ? k ? Z , k ? 0? 都是它的 周期,最小正周期是 2? . 4.奇偶性

?

由 sin(? x) ? ? sin x, cos(? x) ? cos x 可知: y ? sin x ( x ? R )为奇函数,其图象关于原点 O 对称

y ? cos x ( x ? R )为偶函数,其图象关于 y 轴对称
正弦函数 y ? sin x( x ? R) 的对称中心是 ? k? ,0?? k ? Z ? , 对称轴是直线 x ? k? ? 5.对称性

?
2

?k ? Z ? ;
? ?

余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的对称中心是 ? k? ? 对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ?

?

? , 0??k ? Z ?, 2 ?

(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与

x 轴(中轴线)的交点).
6.单调性 从 y ? sin x, x ? [? 当 x ? [?

? ?

, ] 时,曲线逐渐上升, sin x 的值由 ? 1 增大到1 2 2 ? ? 当 x ? [ , ? ] 时,曲线逐渐下降, sin x 的值由 1 减小到 ? 1 2 2
结合上述周期性可知:

? ?

, ? ] 的图象上可看出: 2 2

? 2k? ]( k ? Z ) 上都是增函数,其值从 ? 1 增大 2 2 ? ? 到 1 ;在每一个闭区间 [ ? 2k? , ? ? 2k? ]( k ? Z ) 上都是减函数,其值从1 减小到 ? 1 . 2 2 余弦函数在每一个闭区间 [2k? ? ? ,2k? ](k ? Z ) 上都是增函数,其值从 ? 1 增加到 1 ;余 弦函数在每一个闭区间 [2k? ,2k? ? ? ](k ? Z ) 上都是减函数,其值从 1 减小到 ? 1 .
正弦函数在每一个闭区间 [? 三、例题分析 例 1、求函数 y=sin(2x+ )的单调增区间. 解析:求函数的单调增区间时,应把三角函数符号后面的角看成一个整体,采用换元的 方法,化归到正、余弦函数的单调性.
? 3

?

? 2k? ,

?

? ? ? ,函数 y=sinz 的单调增区间为[ ? ?2k? , ? 2 k? ]. 2 2 3 ? ? ? ? 5? ? ? k? ≤x≤ ? k? 由 ? ?2k? ≤2x+ ≤ ? 2 k? 得 2 2 12 3 12 ? 5? ? k? ](k∈Z) ? k? , 故函数 y=sinz 的单调增区间为 [ ? 12 12
解:令 z=2x+ 点评: “整体思想”解题 变式训练 1. 求函数 y=sin(-2x+ 解:令 z=-2x+
? )的单调增区间 3

? ? ,函数 y=sinz 的单调减区间为[ 3 2

?2k? ,

3? ? 2 k? ] 2

故函数 sin(-2x+

? )的单调增区间为[ 3

?

例 2:判断函数 f ( x) ? sin( x ?

3 4

3? ) 的奇偶性 2

7? ? ? k? , ? ? k? ](k∈Z) . 12 12

解析: 判断函数的奇偶性, 首先要看定义域是否关于原点对称, 然后再看 f ( x ) 与 f (? x) 的关系,对(1)用诱导公式化简后,更便于判断. 解:∵ f ( x) ? sin( x ?

3x 3? ) = ? cos , 4 2 3x 3x ∴ f (? x) ? ? cos(? ) ? ? cos 4 4 3 3? ) 为偶函数. 所以函数 f ( x) ? sin( x ? 4 2

3 4

点评:判断函数的奇偶性时, 判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤. 变式训练 2. f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x ) 解:函数的定义域为 R,

f (? x) ? l g [ s i? x( ? ) ? 12 s= lg(? sin x ? 1 ? sin 2 x ) n xi n ]
= lg(sin x ? 1 ? sin 2 x )?1 = ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x ) = ? f ( x) 所以函数 f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x )为奇函数. 例 3. 比较 sin2500、sin2600 的大小 解析:通过诱导公式把角度化为同一单调区间,利用正弦函数单调性比较大小 解:∵y=sinx 在[ 又

? 3? ?2k? , ? 2k? ](k∈Z) ,上是单调减函数, 2 2

2500<2600 ∴ sin2500>sin2600

点评:比较同名的三角函数值的大小,找到单 调区间,运用单调性即可,若比较复杂, 先化间;比较不同名的三角函数值的大小,应先化为同名的三角函数值,再进行比较. 变式训练 3. cos 解:cos
15? 14? 、cos 8 9

15? 14? ? cos 8 9

由学生分析,得到结论,其他学生帮助补充、纠正完成。 五、反思总结,当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。 课堂小结: 1、数学知识:正、余弦函数的图象性质,并会运用性质解决有关问题 2、数学思想方法:数形结合、整体思想。 达标检测: 一、选择题

1.函数 y ? 2 sin 2x 的奇偶数性为(

).

A.

奇函数

B. 偶函数 D. 非奇非偶函数


C.既奇又偶函数
2.下列函数在 [

?
2

, ? ] 上是增函数的是(
B. y=cosx

A. y=sinx C. y=sin2x 3.下列四个函数中,既是 ? 0, A. y ? sin x C. y ? cos x 二、填空题

D. y=cos2x

? ?

??

? 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是( 2?
B. y ? sin 2x D. y ? cos 2x

).

4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。 ① cos x ? 2 ② 2sin x ? 3 ③ sin 2 x ? 5sin x ? 6 ? 0 ④ cos2 x ? 0.5

__________________________________________________________ 5.不等式 sin x ≥ ?
三、解答题 6.求出数 y ? sin x ?
2 的解集是______________________. 2

?? 1 ? ? x ? , x ? ? ?2? , 2? ? 的单调递增区间. ?3 2 ?
2、D 3、A 6、 [ 4、④

参考答案:1、A

5? ? 2 k? ] 5、 [? ? 2k? ? x ? 4 5
六、发导学案、布置预习。

?

5? , 2? ] 3

如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x ? ? 七、板书设计

?
8

对称,求 a 的值.

正弦函数和余弦函数的性质 一、正弦函数的性质 例1

二、余弦函数的性质 例2 定义域、值域、单调、奇偶、周期对称 例3 八、教学反思 (1)根据学生学习知识的发展过程,在推导性质的过程中让学生自己先独思考,然后小 组交流,再来纠正学生错误结论,充分体现了学生的主体性,让学生活起来。 (2)关注学生的表达,表现,学生的情感需求,课堂明显就活跃,学生的积极性完全被

调动起来, 很多学生想表达自己的想法。 这对这些学生的后续学习的积极性是非常有帮助的。 (3)判断题、例题的选择都是根据我们以往对学生的了解而设置的,帮助学生辨析,缩 短认识这些知识的时间,减少再出现类似错误的人数,在学生学习困惑时给与帮助。 九、学案设计(见下页)

§1.4.2 正弦函数余弦函数的性质
课前预习学案 一、预习目标 探究正弦函数、余弦函数的周期性,周期,最小正周期;会比较三角函数值的大小,会 求三角函数的单调区间. 二、预习内容

1. _____________________________________________________________________ 叫做周期函数,___________________________________________叫这个函数的周期. 2. _____________________________________叫做函数的最小正周期. 3.正弦函数, 余弦函数都是周期函数, 周期是____________, 最小正周期是________.
4. 由 诱 导 公 式 _________________________ 可 知 正 弦 函 数 是 奇 函 数 . 由 诱 导 公 式 _________________________可知,余弦函数是偶函数. 5.正弦函数图象关于____________________对称, 正弦函数是_____________.余弦函数 图象关于________________对称,余弦函数是_____________________. 6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数, 其值从-1 增大到 1; 在 每一个闭区间_________________上都是减函数,其值从 1 减少到-1. 7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数, 其值从-1 增大到 1; 在 每一个闭区间______________上都是减函数,其值从 1 减少到-1. 8.正弦函数当且仅当 x=___________时, 取得最大值 1,当且仅当 x=_________________ 时取得最小值-1. 9.余弦函数当且仅当 x=______________时取得最大值 1;当且仅当 x=__________时 取得最小值-1.

10.正弦函数 y ? 3sinx 的周期是___________________________. 11.余弦函数 y ? cos2x 的周期是___________________________. 12.函数 y=sinx+1 的最大值是__________,最小值是_____________,y=-3cos2x 的最 大值是_____________,最小值是_________________.

13.y=-3cos2x 取得最大值时的自变量 x 的集合是_________________. 14.把下列三角函数值从小到大排列起来为:_____________________________
4 sin ? , 5

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

5 ? cos ? , 4

sin

32 ?, 5

cos

5 ? 12

课内探究学案 一、学习目标:会根据图象观察得出正弦函数、 余弦函数的性质;会求含有 sin x, cos x 的 三 角 式 的 性 质 ; 会 应 用 正 、 余 弦 的 值 域 来 求 函 数 y ? a s i nx ? b(a ? 0) 和 函 数
2 y ? a c o s x ? b c o s ? c (a ? 0) 的值域 x

学习重难点:正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。 二、学习过程 例 1、求函数 y=sin(2x+ )的单调增区间. 解:
? 3

变式训练 1. 求函数 y=sin(-2x+ 解:

? )的单调增区间 3

例 2:判断函数 f ( x) ? sin( x ? 解:

3 4

3? ) 的奇偶性 2

变式训练 2. f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin 2 x ) 解:

例 3. 比较 sin2500、sin2600 的大小 解:

变式训练 3. cos 解:

15? 14? 、cos 8 9

三、反思总结 1、数学知识: 2、数学思想方法: 四、当堂检测 一、选择题

1.函数 y ? 2 sin 2x 的奇偶数性为( A. 奇函数

).

B. 偶函数 D. 非奇非偶函数


C.既奇又偶函数
2.下列函数在 [

?
2

, ? ] 上是增函数的是(

A. y=sinx

B. y=cosx

C. y=sin2x 3.下列四个函数中,既是 ? 0, A. y ? sin x C. y ? cos x 二、填空题

D. y=cos2x

? ?

??

? 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是( 2?
B. y ? sin 2x D. y ? cos 2x

).

4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。 ① cos x ? 2 ② 2sin x ? 3 ③ sin 2 x ? 5sin x ? 6 ? 0 ④ cos2 x ? 0.5

__________________________________________________________ 5.不等式 sin x ≥ ?
三、解答题 6.求出数 y ? sin x ?
2 的解集是______________________. 2

?? 1 ? ? x ? , x ? ? ?2? , 2? ? 的单调递增区间. ?3 2 ?

课后练习与提高 一、选择题 π 1.y=sin(x- )的单调增区间是( 3 π 5π A. [kπ- ,kπ+ ] (k∈Z) 6 6 7π π C. [kπ- , kπ- ] (k∈Z) 6 6 ) π 5π B. [2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z) 6 6 7π π D. [2kπ- ,2kπ- ] (k∈Z) 6 6

2.下列函数中是奇函数的是( ) A. y=-|sinx| B. y=sin(-|x|) C. y=sin|x| D. y=xsin|x| 3.在 (0,2π) 内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围是( ) π π 5π A .( , )∪( π, ) 4 2 4 C. ( π 5π , ) 4 4 B. ( D.( π ,π) 4 π 5π 3π ,π)∪( , ) 4 4 2

二、填空题 4.Cos1,cos2,cos3 的大小关系是______________________. π 5.y=sin(3x- )的周期是__________________. 2 三、解答题 6.求函数 y=cos2x - 4cosx + 3 的最值


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