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高三数学二轮复习教学案一体化:利用导数研究函数的性质


专题二——利用导数研究函数的性质 高考趋势 导数作为进入高中考试范围的新内容,在考试中占比较大.常利用导数研究函数的性质,主要是利用 导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值,这些内容都是近年来高考的重点和难点,大多数试题 以解答题的形式出现,通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间,其次求函 数的极值和最值,有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。 考点展示

1.二次函数 y ? f ( x) 的图象过原点且它的导函数 y ? f '( x) 的图象是如 图所示的一条直线,则 y ? f ( x) 图象的顶点在第 一 象限 即 a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立 设 g (a) ? a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x(a ? R) , 则对任意 x ? R , g (a ) 为单调递增函数 (a ? R) 所以对任意 a ? (0, ??) , g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0 2 即 ? x ? 2 x ? 0 ,∴ ?2 ? x ? 0 于是 x 的取值范围是 x | ?2 ? x ? 0? 方法二:由题设知: ax2 ? 3x ? (a ? 1) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立 即 a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立 ? x2 ? 2 x x2 ? 2 x ?0 于是 a ? 2 对任意 a ? (0, ??) 都成立,即 2 x ?2 x ?2 ∴ ?2 ? x ? 0 于是 x 的取值范围是 ?x | ?2 ? x ? 0? y 4 3 2 1 A C 点评:函数在某点处取得极值,则在这点处的导数为 0,反过来,函数的导数在某点的值为 0,则 在函数这点处取得极值。 2.如图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 的坐标分别 为 (0,,,,, 4) (2 0) (6 4) ,则 f ( f (0)) ? 函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数 f ?(1) ? 3 2 -2 ; . 45° , 3) 处的切线的倾斜角为 3.曲线 y ? x ? 2x ? 4 在点 (1 2 O B 1 2 3 4 5 6 1 x 变式 1.若 f(x)= ? 4.设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? 1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是 b ? ?1 2 b ' ? 0 ,在 x ? (?1, ??) 上恒成立, 由题意可知 f ( x) ? ? x ? x?2 x 5.设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R 有大于零的极值点,则 a 的取值范围 a ? ?1 即 b ? x( x ? 2) 在 x ? (?1, ??) 上恒成立,由于 x ? ?1 ,所以 b ? ?1 , 变式 2.已知函数 f1 ( x) ? 3 x ? p1 6.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有 f ( x) ≥ 0 ,则 2 , f2 ( x) ? 2 ? 3 x ? p2 ( x ? R, p1 , p2 为常数) .则 f1 ? x ? ? f 2 ?

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