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2015-2016高一数学第一学期期末试卷A


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2015-2016 学年第一学期期末试卷(A) 高一数学
第 I 卷 (填空题)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 不需要写出解答过程,请把答案 直接填写在答题卡的相应位置上 . ......... 1. 设全集 U ? ?1,2,3,4?, A ? ?1,3?, B ? ?1,4?,Cu ? A ? B ? ? 2. 已知幂函数 . .

y ? x? 的图像过点 ? 2, 2 ? ,则 f ? 4 ? =


3. 求值: lg 3 2 ? lg 3 5 ? 4. 设 f ( x) ? ?

?2e x ?1 , x ? 2, ? ,则 f ( f (2)) ? 2 ? ?log3 ( x ? 1), x≥2



5. 已知扇形的周长是 8cm,圆心角是 2 rad,则该扇形的面积是 6. 函数 f ? x ? ? 9 x ? 3x ?1 ? 4 的定义域为





? ?? ? 7. 把 函 数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 的 图 象 向 右 平 移 个单位后得到的图象对应的解析式 4? 4 ?
g ? x? =
8. 计算: cos4 75? ? sin 4 75? = . .

9. 函数 y ? sin x ? 3cos x 在 ? 0, ? ? 上的减区间为 10. 已知 sin ? ? cos ? ? ?

. .

1 ?0 ? ? ? ? ? ,则 tan? = 5

11. 比较大小: cos2015

?

sin 2015? (用“<”或“>”连接)。
( ▲) 3 ? ? 4 成立,这个整数是 ? sin 50 cos50?

12. 请在括号内填写一个整数,使得等式



1

责任,就是对自己要求去做的事情有一种爱!

人合教育--镇江直营校区 13. 方程 log 2 ( x ? 8) ?

x 的所有根的和为 2



14. 已知函数 f ? x ? ? a sin x ?

2 ? 8 ,若 f ? ?2013? ? 2 ,则 f ? 2013? = 2 ?1
x



第 II 卷(解答题)
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出必要的文字说 .... 明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知在直角坐标系 xOy 中,角的始边为 x 轴正半轴,已知 ? , ? 均为锐角,且角 ? 和 ? ? ? 的 终边与单位圆交点横坐标分别为 (1)求 tan ? 的值; (2)求角 ? 终边与单位圆交点的纵坐标.

4 5 和 . 5 13

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log2

x ? log2 2 x . 4

(1)解不等式 f ( x ) ? 0 ; (2)当 x ??1,4? 时,求 f ( x ) 的值域.

2

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人合教育--镇江直营校区 17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? cos x ( x ??? ,2? ?) . (1)判断函数 f ( x ) 的单调性,并求函数 f ( x ) 的值域; (2)证明:方程 f ( x ) ? x ? ? 在 ?? ,2? ? 上必有一根.

18. (本小题满分 16 分) 如图 , A, B, C , H 四个小朋友在草坪上游戏 , 根据游戏规则 , A, B, C 三人围成一个三角形 ,

B , H , C 三人共线, H 在 B, C 两人之间. B, C 两人相距 20 m, A, H 两人相距 h m, AH 与 BC 垂
直. (1)当 h ? 10 时,求 A 看 B, C 两人视角的最大值; (2)当 A 在某位置时,此时 B 看 A, C 视角是 C 看 A, B 视角的 2 倍,求 h 的取值范围.
A

B

H

C

3

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人合教育--镇江直营校区 19. (本小题满分 16 分) 已知 ? ? (0, ) , x ?R,函数 f ( x) ? sin2 ( x ? ? ) ? sin2 ( x ? ? ) ? sin2 x .

?

2

(1)求函数 f ( x ) 的奇偶性; (2) 是否存在常数 ? ,使得对任意实数 x , f ( x) ? f ( 如果不存在,请说明理由.

?
2

? x) 恒成立;如果存在,求出所有这样的 ? ;

20.(本小题满分 16 分) 已知 a, x ?R,函数 f ( x) ? sin 2 x ? (2 2 ? 2a )sin( x ?

?
4

)?

2 2

cos( x ? ) 4

?

.

(1)设 t ? sin x ? cos x ,把函数 f ( x ) 表示为关于 t 的函数 g (t ) , 求 g (t ) 表达式和定义域;

? ?? (2)对任意 x ? ?0, ? ,函数 f ( x ) ? ?3 ? 2a 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2?

4

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高一数学期末检测答案及评分标准
一、填空题(每题5分)

1.

?2?

2. 2

1 3. 3
?
8. 13. 4

4. 2

5.4cm

2

?log3 4,?? ? 6.
11. ?

?? ? cos? 2 x ? ? 4? ? 7.
12. 1

3 2

?? ? ? ,? ? ? 9. ? 6
14. 12

3 10. 4 ?

二、解答题

4 cos ? ? ,??2 5 15. 解:(1)由题意可得 分
? ?? ? ? ? ? 0, ? , ? 2?
? tan ? ?

cos ?? ? ? ? ?

5 ,?? 13 4分

3 ? sin ? ? 1 ? cos2 ? ? ,??6 5 分

sin ? 3 ? .?? cos ? 4 7分

(2)

?0 ? ? ? ? ? ? , ?sin(? ? ? ) ?

12 ,?? 13 9分

sin? ? sin ? ??? ? ? ? ? ? ? ???
=

11分 13分

sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ??

12 4 5 3 33 ? ? ? ? .?? = 13 5 13 5 65 14分
【说明】本题来源于必修四第112页第4题改编.考查任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关 系、和差角公式;考查角的变换能力.

16.解:(1)

f ?x? ? (log2 x ? 2) ? ?log2 x ? 1?????2 分
log2 x ? t, ? f ? x ? ? g ? t ? ? ? t ? 2 ? ? ?t ? 1?
.



由 f ( x ) ? 0 ,可得 ?t ? 2??t ? 1? ? 0 ?t ? 2 或 t ? ?1 , ……4分
5

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?log2 x ? 2, ? x ? 4 ,……5分



log2 x ? ?1, ?0 ? x ?

1 2 .……6分

? 1? ? 0, ? ? ?4,?? ? ?不等式的解集是 ? 2 ? .……7分

? 1? 9 ? f ?x ? ? g ?t ? ? ? t ? ? ? x ??1,4? ?t ? ?0,2? , ? 2 ? 4 ,……9分 (2)? , ……8分
9 ?1? f min ( x ) ? g ? ? ? ? 4 ,……11分 ?2?

2

f max ( x) ? g ? 2 ? ? 0

,……13分

? 9 ? ? ? ,0 ? ? f ( x ) 的值域是 ? 4 ? .……14分
【说明】本题考查对数的运算、对数函数的性质、简单的对数不等式;考查一元二次不等式解法、 二次函数性质;考查换元法和整体思想.

17. 解:(1)

?? ,2? ?内 f1 ?x? ? ln x 是增函数, f 2 ?x? ? cos x 也是增函数, ……2分

? f ( x ) ? ln x ? cos x 在 ?? ,2? ? 内是增函数.……3分
? f min ( x) ? f ?? ? ? ln ? ? 1 ? ln

?
e ,……4分
,……5分

f max ( x) ? f ? 2? ? ? ln2? ? 1 ? ln2? e

? ? ? ln , ln 2?e? ? ? .……6分 ?函数 f ( x ) 的值域是 ? e
(2)设 g ?x? ? 由

f ?x? ? x ? ? ? ln x ? cos x ? x ? ? ,……8分
,……10分

g ?? ? ? ln ? ? 1 ? ln e ? 1 ? 0

g?2? ? ? ln 2? ? 1 ? ? ? ln e 2 ? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 0 ,……12分

? g?? ? ? g?2? ? ? 0 ,……13分 ?方程 f ( x ) ? x ? ? 在 ?? ,2? ? 必有一根.……14分
【说明】考查函数单调性的判断和应用;考查零点判定;考查数据估算能力.

6

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人合教育--镇江直营校区 18. 解:(1)设

CH ? x, ?BH ? 20 ? x , x ? ?0,20 ?

[注:如果讨论 x ? 0,20 不扣分]

tan ?BAH ?

20 ? x 10 ,

tan ?CAH ?

x 10 ,……2分

1 当

?

1?

20 ? x x ? ?0 ? 10 10 ,即 x ? 10 时, 此时 ?BAH ? ?CAH ? 45 .

??BAC ? 90? .……4分

2 当

?

1?

20 ? x x ? ?0 10 10 ,即 x ? 10 时,……5分

20 ? x x ? 10 tan ?BAC ? tan ? ?BAH ? ?CAH ? ? 10 200 20 ? x x ?0 1? ? 2 ? ? x ? 10 10 10 =
?0? ? ?BAC ? 180? , ??BAC ? 90? .……6分
? 综上: AH ? BH ? 10 时,最大视角是 90 .……8分

(2)

? tan ?ABH ?

h h ; tan ?ACH ? 20 ? x x ,……10分

?ABH ? 2?ACH , ? tan ?ABH ? tan 2?ACH ,

h ? ? 20 ? x

h x ? h 2 ? 3x 2 ? 80 x ? 400 ? ? 3x ? 20 ?? x ? 20 ? 2 h ? ? 1? ? ? ? x? ,……13分 2?
? h ? (0,20) .……16分

? x ? ?0,20? 时, h2 ? (0,400) ,……15分

117 (4) 改编.考查两角和与差公式;考查分类讨论思想;考查阅读理解 【说明】本题根据必修四课本 P

能力、建模能力、数学化能力、运算能力和应用数学解决问题的能力. 19. (法一)解:(1)定义域是 x ?R ,……1分

f (? x) ? sin2 ? ? x ? ? ? ? sin2 ? ? x ? ? ? ? sin2 (? x)

……2分

7

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? sin2 ? x ? ? ? ? sin2 ? x ? ? ? ? sin2 x ? f ( x)
∴函数 f ( x ) 是偶函数.……5分

,……4分

? f ( x) ? f ( ? x) 2 (2) ,
?sin2 ? x ? ? ? ? sin2 ? x ? ? ? ? sin2 x ? cos2 ? x ? ? ? ? cos2 ? x ? ? ? ? cos2 x
移项得: cos?2x ? 2? ? ? cos?2x ? 2? ? ? cos 2x ? 0 ,……9分 展开得: cos 2x?2 cos 2? ? 1? ? 0 ,……12分 ,……7分

?

对于任意实数 x 上式恒成立,只有

cos 2? ?

1 2 .……14分

? 0 ? 2? ? ? ,……15分



??

? 6 .……16分

(法二)

f ?x ? ?

1 ? cos?2 x ? 2? ? 1 ? cos?2 x ? 2? ? 1 ? cos 2 x ? ? 2 2 2 ……3分 ? 1 ? cos 2 x?2 cos 2? ? 1? 2 .……5分

1

定义域是 x ?R,……6分



f ??x? ?

1 ? cos( ?2 x ) ? 2cos 2? ? 1? 1 ? cos 2 x ? 2cos 2? ? 1? ? ? f ? x? 2 2 ,……9分

∴该函数在定义域内是偶函数.……10分

f ( x) ? f ( ? x) 2 (2)由 恒成立,

?

?? ? 1 ? cos 2? ? x ??2 cos 2? ? 1? 1 ? cos 2 x?2 cos 2? ? 1? ?2 ? ? 2 2 ∴ ,

1 ? cos 2 x?2 cos 2? ? 1? 1 ? cos 2 x?2 cos 2? ? 1? ? 2 2 ∴ ,……12分
化简可得: cos 2x?2 cos 2? ? 1? ? 0 对于任意实数 x 上式恒成立,……13分
8

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只有

cos 2? ?

1 2 ,……14分

? 0 ? 2? ? ? ,……15分



??

? 6 .……13分 ? 6.

【说明】本题来源于必修四课本第121页例3.考查三角变形公式和函数奇偶性的判定;考查恒成立问

题.本题也可用特殊与一般思想探求出

??

?? ? t ? sin x ? cos x ? 2 sin? x ? ? ? ? 2 , 2 4? ? 20. 解:(1)∵ ,……2分
? sin x cos x ? t2 ?1 2 .……3分

?

?



f ?x ? ? 2 sin x cos x ? ?2 ? a ??sin x ? cos x ? ?

4 sin x ? cos x .……4分

4 f ?x ? ? g ?t ? ? t 2 ? ?2 ? a ?t ? ? 1 ? ? 2,0 ? ? ? 0, 2 ? ? ,……7分 t ∴ ,……6分 定义域: ?

?? ? ?? ? ? x ? ?0, ? ? t ? sin x ? cos x ? 2 sin? x ? ? ? 1, 2 4? ? 2?, ? (2) ,……9分
4 t 2 ? ?2 ? a ?t ? ? 1 ? ?3 ? 2a t ∵函数 f ( x ) ? ?3 ? 2a 恒成立,∴ 恒成立 , t 2 ? 2t ? 4 ? 2 ? ?t ? 2?a t ,……11分
?a ? t 2 ? 2t 4 ? 2t 2 ? ? t ? ? p?t ? t ? 2 t ?t ? 2? t ,……13分

? ?

得:

?t ? 2 ? 0 ,……12分
设 1 ? t1 ? t 2 ? ∴函数

2,

? t1t 2 ? 2 ? p?t 2 ? ? p?t1 ? ? ?t 2 ? t1 ?? ? tt ? ??0 1 2 ? ? ∵ ,……14分

? ) ? ? p1 ? ? .3 p ?t ? 在 ? ?1, 2 ? 上是递减函数,……15分 ?a ? p ma( x x ……16分

【说明】本题考查考查同角正弦函数和余弦函数的基本关系、函数单调性的证明和应用;考查恒成 立问题的处理方法;考查整体思想和换元法;考查运算变形能力.
9

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