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【名师一号】届高考数学大一轮总复习几何证明选讲计时双基练全等与相似文北师大版选修-精


计时双基练六十二

全等与相似

AD 1 1.(2016·牡丹江模拟)如图,正三角形 ABC 中,D,E 分别在 AC,AB 上, = ,AE= AC 3 BE,则有(
)

A.△AED∽△BED C.△AED∽△ABD 解析 在正三角形 ABC 中,

B.△AED∽△CBD D.△BAD∽△BCD

AD 1 = ,AE=BE, AC 3 CD BC 2 = , AD AE 1

在△AED 与△CBD 中,∠A=∠C, = 故△AED∽△CBD。 答案 B

2.在平行四边形 ABCD 中,E 为 CD 上一点,DE∶EC=2∶3,连接 AE,BE,BD,且 AE,

BD 交于点 F,则 S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=(

)

A.4∶10∶25 C.2∶3∶5

B.4∶9∶25 D.2∶5∶25

解析 由已知易得△DEF∽△BAF,且相似比为 2∶5,故 S△DEF∶S△ABF=4∶25。 而△BED 与△BEA 有同底 BE,高之比为 2∶5, 故 S△BED∶S△BEA=2∶5, 即(S△DEF+S△BEF)∶(S△ABF+S△BEF)=2∶5, 由比例的性质可得:S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25。 故选 A。 答案 A 1 3.如图,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 中点,F 是 AD 上一点,且 AF= AD,EG⊥CF 于 G, 4 则下列式子中不成立的是( )

1

A.EF·EC=EG·FC C.AE +AF =FG·FC 解析 由题意,正方形 ABCD 中,
2 2

B.EC =CG·GF D.EG =GF·GC
2

2

E 是 AB 中点,F 是 AD 上一点,
1 且 AF= AD,所以△AEF∽△BCE, 4 所以∠AEF=∠BCE, 所以∠FEC=90°, 因为 EG⊥CF,所以 EF·EC=EG·FC,AE +AF =EF =FG·FC,EG =GF·GC, 即 A,C,D 正确,故选 B。 答案 B 4.(2015·湖北卷)如图,PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,且 BC=3PB,则
2 2 2 2

AB =________。 AC

解析 由题意易知△PBA∽△PAC,则得 = 所以 PA =PB·PC,又 BC=3PB,
2

PB PA AB = 。 PA PC AC

AB PB 1 2 2 所以 PA =4PB ,即 PA=2PB,故 = = 。 AC PA 2
答案 1 2

5.(2016·茂名模拟)如图,已知 AB∥EF∥CD,若 AB=4,CD=12,则 EF=________。

解析 ∵AB∥CD∥EF, ∴

AB BC BC CD = , = , EF CF BF EF

2



BC BC 12 , = , EF BC-BF BF EF
4 =

∴4(BC-BF)=12BF,∴BC=4BF, ∴

BC 12 =4= ,∴EF=3。 BF EF

答案 3 4 6.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,AD=4,sin ∠ACD= ,则 CD 5 =________,BC=________。

AD 4 2 2 解析 在 Rt△ADC 中,AD=4,sin ∠ACD= = ,得 AC=5,CD= AC -AD =3, AC 5
又由射影定理 AC =AD·AB,得 AB= 25 9 ∴BD=AB-AD= -4= , 4 4 9 25 15 2 由射影定理 BC =BD·AB= × ,∴BC= 。 4 4 4 答案 3 15 4
2

AC2 25 = 。 AD 4

7.如图,在四边形 ABCD 中,EF∥BC,FG∥AD,求 +

EF FG 的值。 BC AD



由平行线分线段成比例定理得

EF AF FG FC = , = , BC AC AD AC


EF FG AF FC AC + = + = =1。 BC AD AC AC AC

8.如图所示,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,F 为 AB 上任意一点,CF 交 AD 于点 E。 求证:AE·BF=2DE·AF。

3

证明

过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M,交 FC 于点 N。 在△BCF 中,D 是 BC 的中点,DN∥BF, 1 ∴DN= BF。 2 ∵DN∥AF,∴△AFE∽△DNE, ∴

AE DE = 。 AF DN

1 AE 2DE 又 DN= BF,∴ = , 2 AF BF 即 AE·BF=2DE·AF。 1 1 9. (2016·南阳模拟)如图,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,AE= AC,BD= AB,点 3 3

F 在 BC 上,且 CF= BC。求证:

1 3

(1)EF⊥BC; (2)∠ADE=∠EBC。 证明 设 AB=AC=3a,则 AE=BD=a,CF= 2a。 (1) =

CE 2a 2 CF 2a 2 = , = = 。 CB 3 2a 3 CA 3a 3

又∠C 为公共角,故△BAC∽△EFC, 由∠BAC=90°,∴∠EFC=90°,∴EF⊥BC。

4

(2)由(1)得 EF= 2a,故 =

AE EF

a
2a



2 AD 2a 2 , = = , 2 FB 2 2a 2



AE AD = ,∵∠DAE=∠BFE=90°, EF FB

∴△ADE∽△FBE,∴∠ADE=∠EBC。 10. (2016·哈尔滨模拟)如图,已知在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E 是 AC 的中 点,ED 交 AB 的延长线于 F。

证: = 。 证明 ∵∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=90°, ∴∠1+∠2=90°,∠2+∠C=90°。∴∠1=∠C。 ∴△ABD∽△CAD,∴ = 。 又∵E 是 AC 的中点,∴DE=EC,∴∠3=∠C。 又∵∠3=∠4,∠1=∠C,∴∠1=∠4。 又∠F=∠F,△FBD∽△FDA, ∴

AB DF AC AF

AB BD AC AD

BD DF AB DF = ,∴ = 。 AD AF AC AF

5


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