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2007年上海市高中数学竞赛(新知杯)初赛试卷[1].


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2007 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
(2007 年 3 月 25 日 星期日 上午 8:30—10:30) 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1. 方 程

x1 ? 1 + 2 x2 ? 4 + 3 x3 ? 9 =

1 ( x1 + x2 + x3 ) 2









( x1 , x2 , x3 ) = _______________.
2. 有一条长度为 1 的线段 EF ,其端点 E , F 在边长为 3 的正 方形 ABCD 的四边上滑动,当 EF 绕着正方形的四边滑动 一 周 时 , EF 的 中 点 M 所 形 成 的 轨 迹 的 长 是 _______________. 3. 复数数列 {an } 满足 a1 = 0 , an = an ?1 + i ( n ≥ 2 , i 为虚
2

A

D

E B

M F C

数单位) ,则它的前 2007 项的和为_______________.
o

4. 已知 α ? l ? β 是大小为 45 的二面角, C 为二面角内一定点,且到半平面 α 和 β 的 距离分别为 2 和 6 , A , B 分别是半平面 α , β 内的动点,则 ? ABC 周长的最小 值为_______________. 5. 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 中 点 与 点 的 对 应 法 则 f : P ( m, n ) → P '

(

m, n

)

( m ≥ 0, n ≥ 0 )

. 若 一 段 曲 线 在 对 应 法 则 f 下 对 应 椭 圆 的 一 段 弧

x2 y2 + = 1( x ≥ 0, y ≥ 0 ) ,则这段曲线的方程是________________. a2 b2
6. 已知 f ( n ) = cos

nπ ,计算: f (1) ? f ( 3) ?L ? f ( 2n ? 1) = _______________. 4 x + xn ? 2 7. 已知数列 { xn } 满足 x1 = 0 , x2 = 1 , xn = n ?1 ( n ≥ 3) ,则数列 { xn } 的通项公 2
式 xn = _______________.

8. 已知圆 M : ( x ? 1) + ( y ? 3) = 4 ,过 x 轴上的点 P ( a, 0 ) 存在圆 M 的割线 PBA ,
2 2

使得 PA = BA ,则点 P 的横坐标 a 的取值范围是_______________.

二、解答题

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1 1 1 + = 的正整数 x y n

1 1 1 + = 的正整数对有 ( 6,3) , ( 4, 4 ) , ( 3, 6 ) 三个, x y 2

则 S ( 2 ) = 3 .求出使得 S ( n ) = 2007 的所有正整数 n .

10. (本题满分 14 分) 已知关于 x 的方程 x sin θ ? ( sin θ + 2 ) x + 6 x ? 4 = 0 有三个正
3 2

9 sin 2 θ ? 4 sin θ + 3 实根,求 u = 的最小值. (1 ? cos θ )( 2 cos θ ? 6sin θ ? 3sin 2θ + 2 )

11. (本题满分 16 分) 已知抛物线 y = 2 px ( p > 0 ) ,AB
2

是 过 焦 点 F 的 弦 , 如 果 AB 与 x 轴 所 成 的 角 为

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θ ?0 <θ <

? ?

π?

? ,求 ∠AOB . 2?

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A2 ,…, An ,则在 Cn2 个角 ∠Ai OA j (1 ≤ i < j ≤ n ) 中,至少有 2007 个不超过 120o .

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