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2011年4月高三湖北七市联考测试理科数学试题(含答案)


20 11 年 襄 阳

黄冈、荆州、宜昌 孝感、十堰、恩施

高三联合考试

数 学(理科)
命题单位:荆州 黄冈 襄阳 十堰 本试卷共 4 页,全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。

★ 祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,请考生认真阅读答题卷上的注意事项。 非网评

考生务必将自己的学校、 班级、姓名、 考号填写在答题卷密封线内, 将考号最后两位填在登分栏的座位号内。 网评考生务必将自己 的姓名、考号填写在答题卷上指定位置,贴好条形码或将考号对应数字涂黑。用 2B 铅笔将 试卷类型(A)填涂在答题卷相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卷上每题对应的答题区域内,答在试题 卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卷的清洁。考试结束后,请将答题卷上交。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。) 1. 已知集合 M = {(a + 3) + (b2-1)i,8},集合 N = {3i,(a2-1) + (b + 2)i},其中 a,b∈ R,i 是虚数单位,若满足 M = N,则 A.a = 3,b = 2 B.a =-3,b = 2 C.a =±3,b =-2 D.a =-3,b =-2
?x ? y ≥ 0 2. 已知 D 是由不等式组 ? 所确定的平面区域,则圆 x2 ? y 2 ? 4 在区域 D 内的面积为 ?x ? y ≥ 0

A. 2? 3. 若 ( x ? A.1

B. ?

C.

?
2

D.

?
4

a 5 ) 的展开式中 x 3 的系数为 10,则实数 a 的值为 x
B.2 C.-1 D.

1 2 4. 设随机变量 ? 服从正态分布 N (3,7),若 P(? ? a ? 2) ? P(? ? a ? 2) ,则 a =
A.1 B.2 C.3 D.4

b a b 5. 已知 a、b、c、d 是空间四条直线,如果 a ? c, ? c, ? d , ? d ,那么
湖北省七市(州)高三联合考试理科数学试题 A 卷第 1 页 (共 4 页)

A.a∥b 或 c∥d B.a∥b 且 c∥d C.a、b、c、d 中至多有一对直线互相平行 D.a、b、c、d 任何两条直线都不平行 6. 将 8 个志愿者名额全部分配给 3 所学校,每校至少有一个名额且各校名额互不相同,则分 配方法的种数为 A.21 B.20 C.12 D.11

7. 已知 f ( x) ?| x2 ? 2 x | ,a < b < c < d,且 f (a) = f (b) = f (c) = f (d),则 a + 2b + 2c + d = A.6 8. 在离心率为 B.8 C.4 D.5

y2 x2 6 的双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 中,F 为右焦点,过 F 点倾斜角为 60° 的直 a b 5 ???? ??? ? 线与双曲线右支相交于 A、B 两点且点 A 在第一象限,若 AF ? mFB ,则 m =

A.2

B.3

C.4

D.5

?(1 ? 3a) x ? 10a 9. 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ? 7 ?a

x≤6 , 若 数 列 {an} 满 足 an ? f ( n) ( n * ), 且 对 于 ?N x?6

n ? N? ,总有 an ? an ?1 成立,则实数 a 的取值范围是

1 A. ( , 1) 3

1 1 B. ( , ) 3 2

1 5 C. ( , ) 3 8

5 D. ( , 1) 8

10. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦· 曼德尔布罗特(Benoit B.Mandelbrot)在 20 世纪 70 年 B· 代创立的一门新学科,它的创立,为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 图按照 A.13 的分形规律生长成一个树形图,则第 10 行的空心圆点的个数是 B.21 C.34 D.55

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。将答案填在答题卷相应位置上。) 11. 不共线的三个平面向量 a、b、c 两两所成的角相等,且| a | = | b | = 1,| c | = 3,则| a + b + c |= ▲ .

湖北省七市(州)高三联合考试理科数学试题 A 卷第 2 页 (共 4 页)

12. 在集合 {x | x ?

n? 1 , ? 1, , , n 2 ? 2010}中任取一个元素,所取元素恰好满足方程 cos x ? 2 3 的概率是 ▲ . D
角三角形, C = 90° AB = BD = 2AE, ∠ , 则面 CDE 与面 ABC 所成的角的正切值为 ▲ . E A E D F C B C

13. 如图,已知 BD⊥ 平面 ABC,AE∥BD,△ ABC 是等腰直

14. 如图,设矩形 ABCD (AB > AD)的周长为 20,把三角 形 ABC 沿 AC 折起来,AB 折过去后,交 DC 于点 F, 设 AB = x, 则△ ADF 的面积最大时的 x 的值为 ▲ .

15. 若曲线 f ( x,y) ? 0 (或 y ? f ( x) )在其上两个不同点处 的切线 重合,则称这条切线为 曲线 f ( x,y ) ? 0 (或
y ? f ( x) )的自公切线,则下列方程的曲线存在自公切

A

B

线的有 ▲

(填上所有正确的序号). ② y 2 ? x2 ? 1 ③ y ? 2 sin x ? 3cos x ④ y ? x cos x

① | x | ?1 ? 4 ? y2

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 16. (本大题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 (sin x ? cos x) . (1)求函数 f (x)的最小正周期和值域; 6 ? 3? ? (2)若函数 f (x)的图象过点 (?, ) , ? ? ? ,求 f ( ? ? ) 的值. 5 4 4 4

17. (本大题满分 12 分) 箱子里装有 10 个大小相同的编号为 1、2、3 的小球,其中 1 号球有 2 个,2 号球有 m 个, 1 3 号球有 n 个, m < n. 且 从箱子里一次摸出两个球, 号码是 2 号和 3 号各一个的概率是 . 3 (1)求 m,n 的值; (2)从箱子里一次任意摸出两个球,设得到小球的编号数之和为 ? ,求随机变量 ? 的分布列 和数学期望.

18. (本大题满分 12 分) 如 图 , 在 五 棱 锥 P - ABCDE 中 , PA ⊥ 平 面

P

湖北省七市(州)高三联合考试理科数学试题 A 卷第 3 页 (共 4 页)

A

E D

B

C

ABCDE,AB∥CD,AC∥DE,AE∥BC,∠ ABC = 45° AB ? 2 ,BC = 2AE = 2,△ PAB , 是等腰三角形. (1)求证:平面 PCD⊥ 平面 PAC; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小.

19. (本大题满分 12 分)

1 椭圆的两焦点坐标分别为 F1 (? 3 ,0) 和 F2 ( 3 , ,且椭圆过点 ( 3 , ) . 0) ? 2 (1)求椭圆方程; 6 (2)过点 (? , 作直线 l 交该椭圆于 M、 两点(直线 l 不与 x 轴重合), 为椭圆的左顶点, N A 0) 5 试判断∠ MAN 的大小是否为定值,并说明理由.

20. (本大题满分 13 分) 设数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ?

n(a1 ? an ) (n ?N* ) ;数列 {bn } 满足 b1 ? 3b2 ? 32 b3 ? ? 2

n (n ?N* ) . 3 (1)求证:数列 {an } 是等差数列; ?3n?1 bn ?
a (2)若 a1 ? 1, 2 ? 2 ,求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; a 4 (3)在(2)的条件下,设数列 { n } 前 n 项和为 Tn ,试比较 Tn 与 (2n2 ? 3n ? 2) ? 2n?1 的大小. bn 3

21. (本大题满分 14 分) 已 知 函 数 g ( x)?

m ?1 ? ln x (m ?R) . x (1)求 ? 的值; f ( x) ? mx ?

1 ? ? l nx在 [1 , +∞) 上 为 增 函 数 , 且 ? ? (0, ) , ? 为 常 数 , xs i n ?

(2)若 y ? f ( x) ? g ( x) 在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围;
湖北省七市(州)高三联合考试理科数学试题 A 卷第 4 页 (共 4 页)

2e ,若在[1,e]上至少存在一个 x0,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立,求 m 的取 x 值范围(e 是常数,e = 2.718281……).
(3)设 h( x) ?

20 11 年 4 月 七 市 高 中 联 考 统 一 测 试 高三数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择题:D BBCA 二.填空题:11.2 三.解答题: 16.(1)解: f ( x) ? 2(
2 2 ? sin x ? cos x) ? 2 sin( x ? ) 2 2 4

CACCB 12.

1 3

13.

10 2

14. 5 2

15.③④

2分 4分 6分

∴ 函数的最小正周期为 2? ,值域为 { y | ? 2 ≤ y ≤ 2} . (2)解:依题意得: 2sin(? ? ∵

?
2

)?

3? ? ? ,∴ 0 ? ? ? ? 4 4 4 2 ? ? 4 ∴ cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? 4 4 5 ?? ?

?

6 ? 3 , sin(? ? ) ? 5 4 5

8分

f(

?
4

? ? ) ? 2sin ? ? 2sin[(? ?
? sin(? ?
=2(

?
4

)?

?
4

]

?
4

) cos

?
4

? cos(? ?

?
4

) sin
=

?
4

10 分 12 分 2分 4分 5分
P(? ? 4) ? C C ?C 13 ? C 45
1 2 1 5 2 10 2 3

3 2 4 2 7 2 ? ? ? ? ) 5 2 5 2 10

7 2 5

17.(1)解:由已知有 又 m ? n ? 8 , m ? n ,∴

1 1 1 Cm ? Cn mn ? ? ,∴ mn ? 15 , 2 3 45 C10

?m ? 3 ?n ? 5 ?

(2)解: ? 的可能取值为 2,3,4,5,6
P(? ? 2) ? C 1 ? C 45
2 2 2 10

P(? ? 3) ?

C ?C 2 ? 2 C10 15
1 2 1 3

湖北省七市(州)高三联合考试理科数学试题 A 卷第 5 页 (共 4 页)

?

P

2 1 45

3 2 15

4 13 45

5 1 3

6 2 9

P(? ? 5) ?

1 1 C3C5 1 ? 2 C10 3

P(? ? 6) ?

C52 2 ? 2 C10 9

10 分

? 的分布列为

? 的数学期望为: E? ? 2 ?

1 2 13 1 2 23 ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6? ? ? 4.6 45 15 45 3 9 5

12 分

18.(1)证明:在 ?ABC 中, AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC
? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? cos 45? ? 2

2分 4分 6分 Q P

∴ AC ? BC ? AB , AB ? AC ,又 AB∥CD,∴ CD⊥ AC
2 2 2

由 PA ? 平面 ABCDE 得:PA⊥ CD,∴ CD⊥ 平面 PAC , ∴ 平面 PCD⊥ 平面 PAC (2)解法一:由(1)知,△ PAC 是等腰直角三角形 取 PC 中点 F,连结 AF,则 AF⊥ PC 又 CD⊥ 平面 PAC ,∴ CD⊥ AF 故 AF⊥ 平面 PCD 过 P 作 PQ∥AB 且 PQ = AB, ∵ AB∥CD,∴ PQ∥CD,因此点 Q 在平面 PCD 内 连结 AQ,则 AQ∥PB ∴ PB 与平面 PCD 所成角等于 AQ 与平面 PCD 所成角 10 分 连结 QF,则∠ AQF 就是 AQ 与平面 PCD 所成角 在△ PAB 中, PB ? PA2 ? AB2 ? 2 ∴ AQ = PB = 2 在△ PAC 中,AF = 1,∴ sin ?AQF ?
AF 1 ? AQ 2

8分 A F E D B C

∴ AQ 与平面 PCD 所成角为 30° ,即 PB 与平面 PCD 所成角为 30° . 解法二:设点 B 到平面 PCD 的距离为 d,PB 与平面 PCD 所成角为 ? 在三棱锥 B-PCD 中, PC ? PA2 ? AC 2 ? 2 在直角梯形 ACDE 中, ?EAC ? ?ACB ? 45? ,∴ CD ? AE ? cos ?EAC ?
S?PCD ? 2 , 2

12 分

1 1 2 2 CD ? PC ? ? 2 ? ? 2 2 2 2 1 1 2 1 ? sin135? ? 在三棱锥 P ? BCD 中, S?BCD ? BC ? CD ? sin ?BCD ? ? 2 ? 2 2 2 2
湖北省七市(州)高三联合考试理科数学试题 A 卷第 6 页 (共 4 页)

8分

由 VB ? PCD ? VP ? BCD 得; ∴ sin ? ?

1 1 S?PCD ? d ? S?BCD ? PA ,解得:d = 1 3 3

10 分

d 1 ? , ? ? 30? PB 2 即 PB 与平面 PCD 所成角为 30? . ???? ???? ???? ? 解法三:以 AB 、AC 、 为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系,则 AP
P(0,0, 2 ),B( 2 ,0,0),C(0, 2 ,0) 在直角梯形 ACDE 中, ?EAC ? ?ACB ? 45? ,∴ CD ? AE ? cos ?EAC ? ∴ D( ?
2 , 2 ,0) 2
2 ,, 0 0) 2 2 2

12 分

8分

???? ???? ? ???? PB ? ( 2 , , 2 ),PC ? (0, 2 , 2 ), 0 ? ? CD ? (?

设 n = (x,y,z)为平面 PCD 的一个法向量,则
?( x,y,z ) ? (0, 2 , 2 ) ? 0 ? 2 y ? 2z ? 0 ? ? ? ,即 ? ? 2 2 y ,, ?0 0 0) x?0 ?( x, ,z ) ? (? ?? ? 2 ? 2 ? ?x ? 0 ?y ? z ?

10 分

不妨取 n = (0,1,1),则
| ( 2 , , 2 ) | ? | (0,, | 0 ? 1 1) ??? ? ∴ PB 与 n 的夹角为 120° ???? cos ? PB , ?? n ( 2 , , 2 ) ? (0,, 0 ? 1 1) ?? 1 2

故 PB 与平面 PCD 所成角为 120° -90°= 30?

12 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 1 1 则 2a ? ( 3 ? 3 ) 2 ? ? ( 3 ? 3 ) 2 ? ? 4 ,得 a ? 2 , b ? 1 4 4 2 x ∴ 椭圆方程为 ? y2 ? 1. 4
19.(1)解:由题意,设椭圆方程为 (2)解:当直线 MN⊥ x 轴时,直线 MN 的方程为 x ? ?

4分

6 x2 ,代入椭圆方程 ? y2 ? 1 得 5 4

y??

4 6 4 6 4 ,∴ M (? , ), (? , ) ? N 5 5 5 5 5

4 4 设直线 MN 与 x 轴交于点 P,且 A(-2,0);得 AP ? , ? PN 5 5
∴ ?NAP ?

?

4

,得 ?MAN ?

?

2

∴ 若 ?MAN 的大小为定值,则必为

?
2



6分

湖北省七市(州)高三联合考试理科数学试题 A 卷第 7 页 (共 4 页)

下面判断当直线 MN 的斜率存在且不为 0 时 ?MAN 的大小是否为定值

?
2

6 设直线 MN 的方程为: x ? ky ? , 5
6 ? ? x ? ky ? 5 12 64 ? 联立直线 MN 和曲线 C 的方程可得: ? 2 得: (k 2 ? 4) y 2 ? ky ? ? 0, 5 25 ? x ? y2 ? 1 ?4 ? 12k 64 设 M ( x1 ,y1 ) , N ( x2 ,y2 ) ,则 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? ? 5(k 2 ? 4) 25( k 2 ? 4) ???? ???? ? 4 16 则 AM ? AN ? ( x1 ? 2,y1 )( x2 ? 2,y2 ) ? (k 2 ? 1) y1 y2 ? k ( y1 ? y2 ) ? ?0 5 25

8分

10 分

∴ ?MAN ?

?

2

∴ ?MAN 的大小为定值 20.(1)解:∵ Sn ?

?
2

. ①

12 分

n(a1 ? an ) ,∴ 2Sn ? n(a1 ? an ) 2 当 n≥ 2 时, 2Sn?1 ? (n ? 1)(a1 ? an?1 ) ②
进而 a1 ? (n ? 1)an ?1 ? nan ④

① -② 得: 2an ? a1 ? nan ? (n ? 1)an ?1 ,即 a1 ? (n ? 2)an ? (n ? 1)an ?1



③ -④ 2(n ? 1)an ? (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ,由于 n≥ 2,∴ an ?1 ? an ? an ? an ?1 得 所以数列 {an } 是等差数列.
a (2)解:由(1)知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ? 1, 2 ? 2 ,所以 an ? n n ∵ b1 ? 3b2 ? 32 b3 ? ? ? 3n?1 bn ? ⑤ 3 1 n ?1 ∴ 当 n = 1 时, b1 ? ,当 n≥ 2 时, b1 ? 3b2 ? 32 b3 ? ? ? 3n?2 bn?1 ? ⑥ 3 3 1 1 1 由⑤ -⑥ 得: 3n?1 bn ? ,∴ bn ? n ,而 b1 ? 也符合, 3 3 3 1 故 an ? n , bn ? n , ? N? n 3

4分

7分

(3)解:

an ? n ? 3n ,∴ Tn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? 3n bn



3Tn ? 1 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? n ? 3n?1

⑧ 10 分

⑦ -⑧ 并化简得: Tn ? 所以

3[(2n ? 1)3n ? 1] 4

4 Tn ? (2n ? 1)3n ? 1 3
湖北省七市(州)高三联合考试理科数学试题 A 卷第 8 页 (共 4 页)

4 Tn ? (2n2 ? 3n ? 2) ? 2n?1 ? (2n ? 1)[3n ? (n ? 2)2n?1 ] ? 1 3 1 因为 3n ? (2 ? 1)n ? 2n ? Cn 2n?1 ? ?≥ 2n ? n ? 2n?1 ? (n ? 2)2n?1
所以 3n ≥ (n ? 2)2n?1 对于 n ? N? 成立, ∴ 3n ? (n ? 2)2n?1 ≥ 0 ,又由于 2n-1 >. 0 4 所以 Tn ? (2n2 ? 3n ? 2) ? 2n?1 ? (2n ? 1)[3n ? (n ? 2)2n?1 ] ? 1 ? 0 3 4 所以 Tn ? (2n2 ? 3n ? 2) ? 2n?1 . 3 21.(1)解:由题意: g ?( x) ? ? +∞ )上恒成立
2

13 分

1 1 x sin ? ? 1 ? ≥ 0 在[1,+∞ )上恒成立,即 2 ≥ 0 在[1, x sin ? x x sin ?
2分

? ∵ ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? 0 ,故 x sin ? ? 1 ≥ 0 在[1,+∞ )上恒成立,
只需 1 ? sin ? ? 1 ≥ 0 ,即 sin ? ≥ 1 ,只有 sin ? ? 1

? 又 ? ? (0, ) ,∴ ? ?

?
2



4分

m ? 2 ln x x m 2 mx2 ? 2x ? m ( f ( x) ? g ( x))? ? m ? 2 ? ? x x x2 ∵ f (x)-g (x)在其定义域内为单调函数,
(2)解: f ( x) ? g ( x) ? mx ? ∴ mx2-2x + m≥ 0 或 mx2-2x + m≤ 0 在[1,+∞ )上恒成立, 2x 2x 即 m≥ 或 m≤ 在[1,+∞ )上恒成立,故 m≥ 1 或 m≤ 0, 2 1? x 1 ? x2 综上,m 的取值范围是(-∞ ,0]∪ [1,+∞ ) (3)解:构造函数 F(x) = f (x)-g (x)-h (x),则 F ( x) ? mx ?

8分

m 2e ? 2 ln x ? x x

m 2e ≤ 0, 2 ln x ? ? ?0, x x ∴ 在[1,e]上不存在一个 x0,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) .
当 m≤ 0 时,由 x∈ [1,e]得: mx ?

10 分

m 2 2e mx ? 2 x ? m ? 2e ? ? ? x 2 x x2 x2 2 ∵ x∈ [1,e],∴ 所以 2e-2x≥ 0,mx + m > 0
当 m > 0 时, F ?( x) ? m ?
2

∴ F ?( x) ? 0 在[1,e]上恒成立,故 F(x)在[1,e]上单调递增, m m 4e ∴ F ( x)max ? F (e) ? me ? ? 4 ,只要 me ? ? 4 ? 0 ,解得: m ? 2 e e e ?1 4e 故 m 的取值范围是 ( 2 , ?) ? e ?1
湖北省七市(州)高三联合考试理科数学试题 A 卷第 9 页 (共 4 页)

12 分

14 分

m 2e 2e ? 2x ln x ? 2 ln x ? ?0 ? m? x x x2 ? 1 2 2 (?2 x ? 2) ln x ? (2 x ? 4ex ? 2) 2e ? 2 x ln x ?0 令 F ( x) ? , F ?( x) ? 2 ( x 2 ? 1)2 x ?1 4e ∴ F(x)在[1,e]上单调递减,故 F ( x)min ? 2 e ?1 4e ∴ m? 2 . 14 分 e ?1
另:∵ x∈ [1,e],∴ f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? mx ?

湖北省七市(州)高三联合考试理科数学试题 A 卷第 10 页 (共 4 页)


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