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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修1-1:第二章 圆锥曲线与方程 单元同步测试]


第二章测试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知抛物线的准线方程为 x=-7, 则抛物线的标准方程为( A.x2=-28y C.y2=-28x B.y2=28x D.x2=28y )

p 解析 由条件可知2=7,

∴p=14,抛物线开口向右,故方程为 y2 =28x. 答案 B

1 2.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于2, 则 C 的方程是( x2 y2 A. 3 + 4 =1 x2 y2 C. 4 + 2 =1 ) x2 y2 B. 4 + =1 3 x2 y2 D. 4 + 3 =1

c 1 解析 依题意知 c=1,e=a=2,∴a=2,b2=a2-c2=3.故椭圆 C x2 y2 的方程为 4 + 3 =1. 答案 D
2

y2 3.双曲线 x -m =1 的离心率大于 2的充分必要条件是( 1 A.m>2 C.m>1 B.m≥1 D.m>2

)

1+m ? c? 解析 由 e2=?a?2= 1 =1+m>2,m>1.
? ?

答案

C

x2 y2 4.椭圆25+ 9 =1 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m,则 m 取最 大值时,P 点坐标是( A.(5,0)或(-5,0) C.(0,3)或(0,-3) 解析 |PF1|+|PF2|=2a=10, ) 5 3 3 5 3 3 B.(2, 2 )或(2,- 2 ) 5 3 3 5 3 3 D.( 2 ,2)或(- 2 ,2)

|PF1|+|PF2| 2 ∴|PF1|· |PF2|≤( ) =25. 2 当且仅当|PF1|=|PF2|=5 时,取得最大值, 此时 P 点是短轴端点,故选 C. 答案 C

x2 y2 5.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x, 它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为( x2 y 2 A.36-108=1 x2 y2 C.108-36=1 解析 于容易题. x2 y2 B. 9 -27=1 x2 y2 D.27- 9 =1 )

本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程,属

? 依题意知?c=6, ?c =a +b ,
2 2 2

b a= 3,

?a2=9,b2=27,

x2 y 2 所以双曲线的方程为 9 -27=1. 答案 B

6.在 y=2x2 上有一点 P,它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之 和最小,则点 P 的坐标是( A.(-2,1) C.(2,1) ) B.(1,2) D.(-1,2)

解析 如图所示, 直线 l 为抛物线 y=2x2 的准线, F 为其焦点, PN ⊥l,AN1⊥l,

由抛物线的定义知,|PF|=|PN|, ∴|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN1|, 当且仅当 A,P,N 三点共线时取等号, ∴P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1, 则可排除 A、C、D 项,故选 B. 答案 B

7.已知抛物线的顶点为原点,焦点在 y 轴上,抛物线上点 M(m, -2)到焦点的距离为 4,则 m 的值为( A.4 或-4 C.4 ) B.-2 D.2 或-2

p 解析 由题可知,2-(-2)=4,∴p=4. ∴抛物线的方程为 x2=-8y. 将(m,-2)代入可得 m2=16, ∴m=± 4.故选 A. 答案 A

8.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直 x 轴的直线交 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为( x2 2 A. 2 +y =1 x2 y2 C. 4 + 3 =1 x2 y2 B. 3 + 2 =1 x2 y2 D. 5 + 4 =1 b? ? A?1, a ?, ? ?
2

)

x2 y2 解析 依题意可设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0),则
2 2 2 2

b? ? b ? b ? 2b B?1,- a ?,又|AB|= a -?- a ?= a =3,∴2b2=3a.又 a2-b2=c2=1, ? ? ? ? x2 y2 ∴a=2,b= 3.故 C 的方程为 4 + 3 =1. 答案 C

9. 动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上, 且动圆恒与直线 x+2=0 相切, 则动圆必过点( A.(4,0) C.(0,2) ) B.(2,0) D.(0,-2)

解析 直线 x+2=0 是抛物线的准线,又动圆圆心在抛物线上, 由抛物线的定义知,动圆必过抛物线的焦点(2,0). 答案 B

x2 y2 10. 椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离分别为 d1, d2,焦距为 2c,若 d1,2c,d2 成等差数列,则椭圆的离心率为( )

1 A.2 3 C. 2

2 B. 2 3 D.4

解析 由椭圆的定义可知 d1+d2=2a, 又由 d1,2c,d2 成等差数列, c 1 ∴4c=d1+d2=2a,∴e=a=2. 答案 A

1 11.已知 F 是抛物线 y=4x2 的焦点,P 是该抛物线上的动点,则 线段 PF 中点的轨迹方程是( 1 A.x2=y-2 C.x2=2y-1 ) 1 B.x2=2y-16 D.x2=2y-2

1 解析 由 y=4x2?x2=4y,焦点 F(0,1), 设 PF 中点 Q(x,y)、P(x0,y0), 2x=0+x0, ? ? 则?2y=1+y0, 2 ? ?4y0=x0 , 答案 C

∴x2=2y-1.

x2 y2 12.已知 F1,F2 是双曲线a2-b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为双 |PF2|2 曲线左支上一点,若 |PF | 的最小值为 8a,则该双曲线的离心率的取值 1 范围是( ) B.(1,2) D.(1,2]

A.(1,3) C.(1,3]

|PF2|2 ?|PF1|+2a? 解析 |PF | = |PF | 1 1

2

4a2 =|PF1|+|PF |+4a≥8a, 1 4a2 当|PF1|=|PF |,即|PF1|=2a 时取等号. 1 又|PF1|≥c-a,∴2a≥c-a. ∴c≤3a,即 e≤3. ∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3] 答案 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答 案填在题中横线上) x2 y2 1 13.若双曲线 4 -b2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± 2x,则 b 等于 ________. b 1 解析 由题意知2=2,解得 b=1. 答案 1 14.若中心在坐标原点,对称轴为坐标轴的椭圆经过点 (4,0),离 3 心率为 2 ,则椭圆的标准方程为________. 解析 若焦点在 x 轴上,则 a=4, 3 由 e= 2 ,可得 c=2 3, ∴b2=a2-c2=16-12=4, x2 y2 椭圆方程为16+ 4 =1; 若焦点在 y 轴上,则 b=4,

3 c 3 3 由 e= 2 ,可得a= 2 ,∴c2=4a2. 1 又 a2-c2=b2,∴4a2=16,a2=64. x2 y2 ∴椭圆方程为16+64=1. x 2 y2 x2 y2 答案 16+64=1,或16+ 4 =1 x2 2 15.设 F1 和 F2 是双曲线 4 -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上, 且满足∠F1PF2=90° ,则△F1PF2 的面积为________. ||PF |-|PF ||=4, ? ?① 由题设知? |PF | +|PF | =20, ? ?②
1 2 1 2 2 2

解析

)

②-①2 得|PF1|· |PF2|=2. 1 ∴△F1PF2 的面积 S=2|PF1|· |PF2|=1. 答案 1 x2 y2 16.过双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2+y2=a2 的两条切线,切点分别为 A,B.若∠AOB=120° (O 是坐标原点),则双 曲线 C 的离心率为________. 解析 如图,设双曲线一个焦点为 F, 则△AOF 中,|OA|=a,|OF|=c,∠FOA=60° .

c ∴c=2a,∴e=a=2. 答案 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知抛物线 y2=6x,过点 P(4,1)引一条弦 P1P2 使它恰 好被点 P 平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解 设弦两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2).
2 ∵P1,P2 在抛物线上,∴y1 =6x1,y2 2=6x2.

两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). ∵y1+y2=2,∴k= y1-y2 6 = =3. x1-x2 y1+y2

∴直线的方程为 y-1=3(x-4),即 3x-y-11=0.
2 ? ?y =6x, 由? 得 y2-2y-22=0, ? ?y=3x-11,

∴y1+y2=2,y1· y2=-22. ∴|P1P2|= 1 2 230 1+9 22-4×?-22?= 3 .

18.(12 分)双曲线与椭圆有共同的焦点 F1(0,-5),F2(0,5),点 P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的标准方

程. 解 y2 由共同的焦点 F1(0,-5), F2(0,5),可设椭圆的方程为a2+

x2 y2 x2 =1(a>5),双曲线方程为b2- =1. a2-25 25-b2 16 ∵点 P(3,4)在椭圆上,∴ a2 + 9 =1.解得 a2=40 或 a2=10(舍 a -25
2

y2 x2 去).∴椭圆的标准方程为40+15=1. 又过点 P(3,4) 的双曲线的渐近线方程为 y = b x ,即 4 = 25-b2

b y 2 x2 2 ×3,∴b =16.∴双曲线的标准方程为16- 9 =1. 25-b2 x2 y2 19.(12 分)已知椭圆方程为 9 + 4 =1,在椭圆上是否存在点 P(x, y)到定点 A(a,0)(其中 0<a<3)的距离的最小值为 1,若存在,求出 a 的 值及 P 点的坐标;若不存在,说明理由. 解 设存在点 P(x,y)满足题设条件,则 |AP|2=(x-a)2+y2. x2 y2 x2 2 又∵ 9 + 4 =1,∴y =4(1- 9 ). x2 ∴|AP| =(x-a) +4(1- 9 )
2 2

5 9 4 =9(x-5a)2+4-5a2. 9 ∵|x|≤3,当|5a|≤3,又 0<a<3 5 4 即 0<a≤3时,|AP|2 的最小值为 4-5a2. 5? 4 15 ? 依题意,得 4-5a2=1,∴a=± 2 ??0,3?, ? ?

9 5 当5a>3,即3<a<3. 此时 x=3,|AP|2 取最小值(3-a)2. 依题意,得(3-a)2=1,∴a=2. 此时 P 点的坐标是(3,0). 故当 a=2 时,存在这样的点 P 满足条件,P 点坐标为(3,0). x 2 y2 20.(12 分)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0),直线 l 为圆 O:x2+y2 =b2 的一条切线,记椭圆 C 的离心率为 e. π (1)若直线 l 的倾斜角为3,且恰好经过椭圆 C 的右顶点,求 e 的大 小; (2)在(1)的条件下,设椭圆 C 的上顶点为 A,左焦点为 F,过点 A 与 AF 垂直的直线交 x 轴的正半轴于 B 点,且过 A,B,F 三点的圆恰 好与直线 l:x+ 3y+3=0 相切,求椭圆 C 的方程. 解 (1)如图, 设直线 l 与圆 O 相切于 E 点, 椭圆 C 的右顶点为 D,

则由题意易知,△OED 为直角三角形, π 且|OE|=b,|OD|=a,∠ODE=3, ∴|ED|= |OD|2-|OE|2=c(c 为椭圆 C 的半焦距).

c π 1 ∴椭圆 C 的离心率 e=a=cos3=2. c 1 (2)由(1)知,a=2, ∴可设 a=2m(m>0),则 c=m,b= 3m, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为4m2+3m2=1. ∴A(0, 3m),∴|AF|=2m. 直线 AF 的斜率 kAF= 3,∴∠AFB=60° . |AF| 在 Rt△AFB 中,|FB|= =4m, cos∠AFB ∴B(3m,0),设斜边 FB 的中点为 Q,则 Q(m,0), ∵△AFB 为直角三角形, ∴过 A, B,F 三点的圆的圆心为斜边 FB 的中点 Q, 且半径为 2m, ∵圆 Q 与直线 l:x+ 3y+3=0 相切, ∴ |m+3| =2m. 1+3

∵m 是大于 0 的常数,∴m=1. x2 y2 故所求的椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1. x2 y2 21. (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C: a2+b2=1(a>b>0) 的离心率 e= 2 3,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 与 圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A、B,且△OAB 的面积最大?若 存在,求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理 由.



(1)由 e=

2 c 3 2 2 = ,得 a = 3 a 2c .

又 a2-b2=c2,∴a2=3b2. 故椭圆的方程为 x2+3y2=3b2. 又椭圆上的点 P(x,y)到点 Q(0,2)的距离 d= ?x-0?2+?y-2?2= 3b2-3y2+?y-2?2 = 3b2+6-2?y+1?2 ∴当 y=-1 时,有 3b2+6=3,解得 b=1. x2 2 ∴椭圆的方程为 3 +y =1. 1 1 (2)S△AOB=2|OA|· |OB|sin∠AOB=2sin∠AOB, 1 当∠AOB=90° ,S△AOB 取最大值2, 此时点 O 到直线 l 距离 d=
2 2

1 2 2= 2 , m +n
2

m2 ∴m +n =2.又∵ 3 +n2=1, 3 1 解得:m2=2,n2=2. ∴点 M 的坐标为? 或?-
? ? ? 6 2? ? 6 2? ? 6 2? ?或?- , ?或? ,- ? , 2? ? 2 2? ?2 2? ? 2

6 2? ?. ,- 2 2?

1 故存在点 M,使△AOB 的面积为2. 22.(12 分)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(- 2,0),( 2, 6 0),离心率是 3 ,直线 y=t 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (3)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值. 解 c 6 (1)∵a= 3 ,且 c= 2,

∴a= 3,b= a2-c2=1. x2 2 ∴椭圆 C 的方程为 3 +y =1. (2)由题意知 P(0,t)(-1<t<1),

?y=t, 由?x2 2 ? 3 +y =1,

得 x=± 3?1-t2?,

∴圆 P 的半径为 3?1-t2?. 3 ∴ 3?1-t2?=|t|,解得 t=± 2 . 3 ∴点 P 的坐标是(0,± 2 ). (3)由(2)知,圆 P 的方程为 x2+(y-t)2=3(1-t2). ∵点 Q(x,y)在圆 P 上, ∴y=t± 3?1-t2?-x2≤t+ 3?1-t2?. 设 t=cosθ,θ∈(0,π), π 则 t+ 3?1-t2?=cosθ+ 3sinθ=2sin(θ+6), π 1 当 θ=3,即 t=2,且 x=0,y 取最大值 2.


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